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【摘 要】應试教育的大环境下，学生容易陷入一种模式化、套路化的思维误区。多数学生运用题海战术学习数学，很少去思索习题本身所蕴含的价值。对此，本文着重讨论如何对基础的高中数学习题进行深度转化。笔者认为具体包括三个步骤，一是从“理论”到“实践”;二是思维转化;三是理论概括。经过这三个步骤，习题的价值可以得到发挥，高中生的综合学习能力也能得到提升。
【关键词】高中数学;习题;深度拓展
【中图分类号】G633.5 【文献标识码】A 【文章编号】1671-8437（2020）16-0149-02
高中数学习题数量多，种类繁杂，对学生来说无疑是一个很大的挑战。其实，数学习题具有灵活性，不能够简单地根据框架和套路解题，那样只是得到一个结果，而不能理解其本质内涵。在高中数学习题教学的“深度拓展”中，教师的一项重大责任在于使习题摆脱“一道题目”等诸如此类的价值判断，让其价值在学生的成长道路上得到充分展现。
1 “理论”为“实践”之基
如何让学生熟练掌握和运用“理论”呢？
第一，应当是识记。有的人认为识记只是单纯的记忆，没有技术含量，也没有其他更值得深入探寻的方向。其实不然，识记并不只是简单的机械记忆，在识记的过程中，学生要初步理解公式、定理。这一步在以后学生分析和拓展习题内涵的过程中有着关键作用。如果学生在学习的过程中轻易忽略“识记”，直接进行后续的思维活动，则会浪费时间和精力，因此“识记”是必不可缺的。教师也应当提醒学生，不能因为简单而忽略、轻视这一步。如有关集合的概念和运算，子集、真子集、补集、交集、并集等，又如函数的三要素——定义域、值域、对应法则，这些都是非常基础的，学生需要掌握。
如题：已知集合，，则集合用列举法表示是____。这道题本身不具有难度，但其中有一个概念是需要学生识记的，即“列举法”。因为有了这个限定词，学生就不能用集合表示，而是需要将元素一个一个写出来。如果学生不明白“列举法”这个概念，就很容易出现错误。
第二，在识记的基础上运用。这一步骤相对基础，高中生是有能力自己学习、理解、掌握的。教师可以稍稍进行提点，但切忌将思路方法和盘托出，这样不仅会中断学生的独立思考，而且会使学生产生依赖性。长此以往，不利于学生思维的发展。
经过练习，教师可以发现学生已经基本可以熟练运用概念，如函数的单调性、奇偶性、周期性以及函数图象变化等。然后可以通过具体习题检验学生水平，如题：已知函数在区间（-∞，4）上是减函数，则的取值范围是？因为函数的图象是开口方向朝上的，若该函数在区间（-∞，4）上是减函数，则，解得。这道题也并不难，对学生的主要要求是掌握函数的图象。
不过即便是熟悉了概念，学生也仅是触及到了概念的皮毛，在习题的拓展中，他们还将接触到更为广阔的知识领域。
2 习题深度探析过程中的思维转换
习题的深度探析的一个重要依托是思维转化。要深度解剖习题，对其的研究分析就不能流于表面[1]。而透过表面发现本质的关键在于通过“思维转换”的方法进行探析。常见的思维转换方法有“难易转换”“化繁为简”“转换目标”等，具体包括将复杂的式子设为另一个元，或者对等式和不等式的两边进行移项。这些看似简单的方法，其实正是思维转化的体现。通过这些例子可以看到，解题的思路非常明晰地从一种转换为另一种。在转换过程中，习题的拓展深度已经被部分挖掘出来。
但是要突破刻板思维并非易事。难点在于，学生原来已拥有一定程度的思维定势。如虽然看到题干中的这一个条件，但是学生很可能下意识地忽略都不小于零这个“反面条件”。而对于有些题目，正是要反其道而行之，需要运用“反面条件”解题。这个思维的突破需要不断地练习，久而久之，学生就会逐渐养成新的思维方式。虽然从本质上来说，这也是一种“思维惯势”，但已经有所进步了。
另外，一旦在思维转化上有所突破，学生将会迎来一个新问题——“学习高原”。这个概念简单来说就是指学生在后期的学习中进步缓慢。这个问题继思维转化之后，成为学生提高思维能力的又一大障碍。对此，笔者认为最佳的办法就是创新[2]。长久持续的思维训练必不可少，但是更重要的是创新。学生的创新能力越强，突破“学习高原”的速度也就越快，在思维转化上也将更上一层楼。这对于习题的“深度拓展”来说，是具有积极意义的。
3 习题价值的高度体现——普遍性的理论概括
在进行了基础识记和思维转化两个步骤之后，习题的“深度拓展”没有完结，还可以进一步挖掘、提炼习题的核心意义。在这里，习题的价值能够得到高度体现。
通过思维转换，学生可以明确一系列的解题方法和解题思路。这些方法和思路存在于人脑中时，并不能自动形成一个清晰完整的体系[3]。对此，教师可以引导学生，让其通过归纳整理的方法小结，使其具有系统性。最简单的归类方法就是按照题目的类型整理，稍有难度的是按照解题思路分类。这个习题的小结可以帮助学生理顺思维，突破某些刻板思维，从而达到对习题了然于心。如题：求证20202021>20212020。一般来说，学生如果没有过多思考，就会按照第一直觉直接从具体数字入手，但是在这过程中，部分学生会发现难以证明。那么教师在教学中要如何指导学生解题呢？以一般化的思路导入是最恰当不过的。首先，引导学生将解题思路拓展，跳出原有就题目解题目的思维，进而退到最基本的情形，然后再逐步归纳，不难得出（且）。其次，通过数学归纳法证明此一般性命题的正确性，接着据此求证特殊性命题，结果就迎刃而解了。此外，教师还可以引导学生进行进一步的一般化探索。经过分析论证，可以得到更为一般的结论：当时，;当时，。至此，学生所解决的问题，就不再是一道题，而是一类题，在日后的学习中学生就能够轻易地解决此类问题。最后，教师要耐心指引，引导学生养成积极正面的心态，同时，也可以与学生一起交流，营造良好的思维活动氛围。
如向量AB乘向量CD，这个向量运算除了课本上提到的方法，还有另一种方法，即向量AB乘向量CD等于[（AD2+BC2）-（AC2+BD2）]。这个公式可以在“验错”过程中检验。而经过多次对于不同题型的验证，可以知道，这个公式是正确的。
总之，数学作为一门逻辑性极强的学科，其习题的研究自然而然也需要强大的逻辑思维。所以，对数学习题“深度拓展”的理论研究，理应立足于综合的思维过程。未来，随着数学学科的深入发展，数学习题的研究也一定会迎来崭新的变革。然而千变万化，内涵却将永远延续。因此，对于数学习题的“深度拓展”，也要持续贯穿于学生的学习与生活之中。教师需要不断研习和改良习题，并帮助学生对习题进行深度探究，这有助于学生数学思维的综合发展，也会对其终生发展产生影响。
【参考文献】
[1]沈健.简约而不简单——谈高中数学习题教学的“深度拓展”[J].高考，2019（14）.
[2]丁祥，谈高中数学习题教学中的思维拓展[J].数理化解题研究，2015（17）.
[3]张朱樱，高中教学延伸拓展教学的多维研究思路[J].数学大世界（上旬），2017（5）.
【关键词】高中数学;习题;深度拓展
【中图分类号】G633.5 【文献标识码】A 【文章编号】1671-8437（2020）16-0149-02
高中数学习题数量多，种类繁杂，对学生来说无疑是一个很大的挑战。其实，数学习题具有灵活性，不能够简单地根据框架和套路解题，那样只是得到一个结果，而不能理解其本质内涵。在高中数学习题教学的“深度拓展”中，教师的一项重大责任在于使习题摆脱“一道题目”等诸如此类的价值判断，让其价值在学生的成长道路上得到充分展现。
1 “理论”为“实践”之基
如何让学生熟练掌握和运用“理论”呢？
第一，应当是识记。有的人认为识记只是单纯的记忆，没有技术含量，也没有其他更值得深入探寻的方向。其实不然，识记并不只是简单的机械记忆，在识记的过程中，学生要初步理解公式、定理。这一步在以后学生分析和拓展习题内涵的过程中有着关键作用。如果学生在学习的过程中轻易忽略“识记”，直接进行后续的思维活动，则会浪费时间和精力，因此“识记”是必不可缺的。教师也应当提醒学生，不能因为简单而忽略、轻视这一步。如有关集合的概念和运算，子集、真子集、补集、交集、并集等，又如函数的三要素——定义域、值域、对应法则，这些都是非常基础的，学生需要掌握。
如题：已知集合，，则集合用列举法表示是____。这道题本身不具有难度，但其中有一个概念是需要学生识记的，即“列举法”。因为有了这个限定词，学生就不能用集合表示，而是需要将元素一个一个写出来。如果学生不明白“列举法”这个概念，就很容易出现错误。
第二，在识记的基础上运用。这一步骤相对基础，高中生是有能力自己学习、理解、掌握的。教师可以稍稍进行提点，但切忌将思路方法和盘托出，这样不仅会中断学生的独立思考，而且会使学生产生依赖性。长此以往，不利于学生思维的发展。
经过练习，教师可以发现学生已经基本可以熟练运用概念，如函数的单调性、奇偶性、周期性以及函数图象变化等。然后可以通过具体习题检验学生水平，如题：已知函数在区间（-∞，4）上是减函数，则的取值范围是？因为函数的图象是开口方向朝上的，若该函数在区间（-∞，4）上是减函数，则，解得。这道题也并不难，对学生的主要要求是掌握函数的图象。
不过即便是熟悉了概念，学生也仅是触及到了概念的皮毛，在习题的拓展中，他们还将接触到更为广阔的知识领域。
2 习题深度探析过程中的思维转换
习题的深度探析的一个重要依托是思维转化。要深度解剖习题，对其的研究分析就不能流于表面[1]。而透过表面发现本质的关键在于通过“思维转换”的方法进行探析。常见的思维转换方法有“难易转换”“化繁为简”“转换目标”等，具体包括将复杂的式子设为另一个元，或者对等式和不等式的两边进行移项。这些看似简单的方法，其实正是思维转化的体现。通过这些例子可以看到，解题的思路非常明晰地从一种转换为另一种。在转换过程中，习题的拓展深度已经被部分挖掘出来。
但是要突破刻板思维并非易事。难点在于，学生原来已拥有一定程度的思维定势。如虽然看到题干中的这一个条件，但是学生很可能下意识地忽略都不小于零这个“反面条件”。而对于有些题目，正是要反其道而行之，需要运用“反面条件”解题。这个思维的突破需要不断地练习，久而久之，学生就会逐渐养成新的思维方式。虽然从本质上来说，这也是一种“思维惯势”，但已经有所进步了。
另外，一旦在思维转化上有所突破，学生将会迎来一个新问题——“学习高原”。这个概念简单来说就是指学生在后期的学习中进步缓慢。这个问题继思维转化之后，成为学生提高思维能力的又一大障碍。对此，笔者认为最佳的办法就是创新[2]。长久持续的思维训练必不可少，但是更重要的是创新。学生的创新能力越强，突破“学习高原”的速度也就越快，在思维转化上也将更上一层楼。这对于习题的“深度拓展”来说，是具有积极意义的。
3 习题价值的高度体现——普遍性的理论概括
在进行了基础识记和思维转化两个步骤之后，习题的“深度拓展”没有完结，还可以进一步挖掘、提炼习题的核心意义。在这里，习题的价值能够得到高度体现。
通过思维转换，学生可以明确一系列的解题方法和解题思路。这些方法和思路存在于人脑中时，并不能自动形成一个清晰完整的体系[3]。对此，教师可以引导学生，让其通过归纳整理的方法小结，使其具有系统性。最简单的归类方法就是按照题目的类型整理，稍有难度的是按照解题思路分类。这个习题的小结可以帮助学生理顺思维，突破某些刻板思维，从而达到对习题了然于心。如题：求证20202021>20212020。一般来说，学生如果没有过多思考，就会按照第一直觉直接从具体数字入手，但是在这过程中，部分学生会发现难以证明。那么教师在教学中要如何指导学生解题呢？以一般化的思路导入是最恰当不过的。首先，引导学生将解题思路拓展，跳出原有就题目解题目的思维，进而退到最基本的情形，然后再逐步归纳，不难得出（且）。其次，通过数学归纳法证明此一般性命题的正确性，接着据此求证特殊性命题，结果就迎刃而解了。此外，教师还可以引导学生进行进一步的一般化探索。经过分析论证，可以得到更为一般的结论：当时，;当时，。至此，学生所解决的问题，就不再是一道题，而是一类题，在日后的学习中学生就能够轻易地解决此类问题。最后，教师要耐心指引，引导学生养成积极正面的心态，同时，也可以与学生一起交流，营造良好的思维活动氛围。
如向量AB乘向量CD，这个向量运算除了课本上提到的方法，还有另一种方法，即向量AB乘向量CD等于[（AD2+BC2）-（AC2+BD2）]。这个公式可以在“验错”过程中检验。而经过多次对于不同题型的验证，可以知道，这个公式是正确的。
总之，数学作为一门逻辑性极强的学科，其习题的研究自然而然也需要强大的逻辑思维。所以，对数学习题“深度拓展”的理论研究，理应立足于综合的思维过程。未来，随着数学学科的深入发展，数学习题的研究也一定会迎来崭新的变革。然而千变万化，内涵却将永远延续。因此，对于数学习题的“深度拓展”，也要持续贯穿于学生的学习与生活之中。教师需要不断研习和改良习题，并帮助学生对习题进行深度探究，这有助于学生数学思维的综合发展，也会对其终生发展产生影响。
【参考文献】
[1]沈健.简约而不简单——谈高中数学习题教学的“深度拓展”[J].高考，2019（14）.
[2]丁祥，谈高中数学习题教学中的思维拓展[J].数理化解题研究，2015（17）.
[3]张朱樱，高中教学延伸拓展教学的多维研究思路[J].数学大世界（上旬），2017（5）.