一道高考题的多种解法

• 作 者: 孙丹
• 出 处: 考试·高考数学版
• 发表日期: 2011年12期

　　2011年江苏高考数学卷第18题共3小题，其中第（1）（2）两小问难度不大，第（3）小问是证明题，将考生的答案罗列出来，有12种居多.现列举四种较为典型的解法如下.
　　
　　18. 如图，在平面直角坐标系xOy中，M、N分别是椭圆x24+y22=1的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P、A两点，其中P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC，并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为k
　　对任意k>0，求证：PA⊥PB
　　解法一 利用求根公式求出点B坐标，再代入斜率公式求斜率.
　　将直线PA的方程y=kx代入x24+y22=1,解得x=±21+2k2.记μ=21+2k2,则P(μ,μk),A(-μ,-μk).于是C(μ,0).故直线AB的斜率为0+μkμ+u=k2,其方程为y=k2(x-μ),代入椭圆方程得(2+k2)x2-2μk2x-μ2(3k2+2)=0,解得x=μ(3k2+2)2+k2或x=-μ.因此Bμ(3k2+2)2+k2,μk32+k2.于是直线PB的斜率k1=μk32+k2-μkμ(3k2+2)2+k2-μ=-1k.因此k1k=-1,所以PA⊥PB.
　　解法二 几何法
　　设P(m,km),A(-m,-km),C(m,0)
　　直线AC的方程为:y=k2(x-m),代入椭圆方程x24+y22=1,得
　　1+k22x2-(k2m)x+k2m22-4=0
　　设AB的中点Q，则2xQ=xA+xB=k2m1+k22=2k2m2+k2,所以xQ=k2m2+k2,yQ=-km2+k2
　　所以PQ2=k2m2+k2-m2+-km2+k2-km2=(k6+6k4+9k2+4)m2(2+k2)2
　　AQ2=k2m2+k2+m2+-km2+k2+km2=(k6+6k4+9k2+4)m2(2+k2)2
　　所以PQ=AQ,所以PA⊥PB.
　　解法三 见到中点和斜率用点差法构造斜率形式.
　　设P(m,n),B(s,t),则A(-m,-n),C(m,0).
　　kAC=0-(-n)m-(-m)=n2m=k2,由A，C，B三点共线知kAB=t-(-n)s-(-m)=n+tm+s=k2.
　　由题意P,B两点都在椭圆上，可得
　　m24+n22=1……(1)
　　s24+t22=1……(2)
　　(1)-(2):(m+s)(m-s)4+(n+t)(n-t)2=0，即n+tm+s•n-tm-s=-12,
　　所以kPB=n-tm-s=-1k,所以PA⊥PB.
　　解法四 轨迹法
　　设P(m,n),则A(-m,-n),C(m,0).
　　则直线AC的方程为：y+n=n2m(x+m)……(1)
　　过点P且与AP垂直的直线方程为：y-n=-mn(x-m)……(2)
　　(1)×(2):y2-n2=-12(x2-m2)
　　整理得x24+y22=m24+n22,由点P在椭圆上有m24+n22=1,
　　所以x24+y22=1，即（1）（2）两直线交点在椭圆上，得证.