论文部分内容阅读
摘要：本文基于牛顿第二定律，对排球、鼓和人进行受力分析，进而分析其运动状态，最终通过数学建模，得出团队最佳协作策略，解决了如何提高同心鼓游戏效率的问题。通过受力分析，运用牛顿第二定律，在理想状态下，建立受力分析模型。在受力分析模型下，将第一次排球与鼓面碰撞作为示例，分析其运动状况，将运动过程分为四个，得到四个运动模型，最终得到了在理想状态下，团队的最佳协作策略，给出在该策略下的颠球高度。最后在灵敏度测试和优化阶段理想状态下，持续观察每一次排球与同心鼓碰撞后排球的颠球高度，将同心鼓的颠球过程抽象化，作其抽象化的运动轨迹图，更加直观的观测排球的最佳颠球高度。
关键词：碰撞，动量守恒，回归分析模型
1 引言
本文创新之处在于找出自变量与最佳高度之间的关系，利用物理学原理进行转化，将复杂的物理过程抽象化，运用猜想与假设法以及整体和隔离法。最终得到含有相关自变量和因变量之间的非线性回归方程，拟建立了回归分析模型
1 问题重述与分析
同心鼓是一项团队协作能力拓展项目，多根绳均匀固定在鼓身上，每根绳长度相同。每人牵拉一根绳使鼓面保持水平。球从距离鼓面中心上方40cm处竖直落下，由队员合力将球颠起，并在鼓面上跳动。在颠球过程中，队员只可抓住绳子末端，不能接触其它部位。参数由题目给出，球被颠起的高度应该距离鼓面40cm以上，若低于40cm，则项目停止，连续颠球的次数尽可能的多。
问题一：理想状态下，每个人都精确控制用力方向、时机、力度，讨论团队的最佳协作策略，并给出颠球高度。通过对排球、鼓和人进行受力分析，将物理学模型转化为所求的数学模型
问题二：考虑现实情形，鼓面可能会倾斜，要求建立模型描述队员的发力时机和力度与某一特定时刻的鼓面倾斜角的关系，并填写表1，参数由题给出。对所求最佳策略下的颠球高度建立的模型进行优化，将未考虑的因素作为自变量，改变颠球高度及次数。考虑队员的实际情况，可能会导致鼓面倾斜，通过对同心鼓受力分析，研究其物理状态，找到与模型一中的联系，建立相应数学模型。
问题三：考虑现实情况，根据模型二，试判断问题一中给出的策略是否需要调整？如果需要，如何调整？通过对比模型一和模型二，将未考虑的现实因素进行模型调优，使建立的数学模型更贴近现实情况下的要求，提高数学模型求解的准确性。
问题四：当鼓面发生倾斜时，球跳动的方向不再竖直，需要队员调整拉绳的策略。假设条件由题给出，避免排球被弹出，将排球调整为竖直状态弹跳，请给出在可精确控制条件下所有队员的发力时机及力度，结合现实情况，分析实施效果如何。在优化模型基础上，分析排球在第一次碰撞后的运动轨迹及在第二次碰撞前排球和同心鼓的受力情况，再由第二次碰撞时排球的速度方向，求出排球受同心鼓的合力情况和鼓面的倾斜角度，根据优化模型得出队员在第二次碰撞的最佳发力时机及力度。
2模型假设
1）问题一中假设理想情况就是队员都可以控制用力方向、时机、力度且均相同;所有矢量向下为正方向;队员数为8人，队员间最小距离为60且不计绳长的影响;排球与同心鼓发生碰撞后，在理想状态下，不改变系统动能
2）问题二中假设所求的0. 1s时的倾斜角度，0.Is指的是，运动了0. 1s，且规定发力时机中的-0.1，指的队员提前0.1秒施力;假设8个队员是等间 距站位;假设每个队员之间的角度恒为π/4，整个运动过程是不会改变队员之间的角度
3模型的建立与求解
3.1问题一的模型建立与求解
3.1.1模型建立与求解
①排球未接触鼓时，做自由落体运动，据此建立数学模型。G为排球受到的重力，m1为排球的质量，a1为排球的加速度，方向为竖直向下，受力分析如下：
根据牛顿第二定律得知：G=m1a1 （11），重力与质量的关系为：G =mg （1.2），由（1.1）和（1 2）得出在排球做自由落体运动时：ai=g（1.3），由匀加速直线运动规律得到排球的速度、加速度和时间之间的微分關系如下：
②同心鼓上升但未与排球碰撞的过程中，做匀减速直线运动。理想状态下，受力情况如图2、3所示：
图4同心鼓在竖直向上的合力FN作用下向上运动由匀减速直线运动的规律，得同心鼓的速度、加速度和时间之间的微分关系如下：
③在排球和同心鼓在发生碰撞的过程中，根据物理学原理建立碰撞过程。由于排球与同心鼓碰撞的过程属于非完全弹性碰撞，假设物体发生弹性形变后的恢复系数为e。由动量守恒定律，得到如下公式：排球与同心鼓发生非完全弹性碰撞的过程中，从能量的角度来看，排球与同心鼓的动能变为形变势能，也有一部分能量转化为克服摩擦力所产生的热能，因此碰撞过程中，两物体的动能不守恒，且所组成的系统的动能发生损耗，假设系统动能的损耗为△E1，则有：
3.1.2 模型灵敏度分析与检验
在理想状态下，排球与同心鼓的碰撞是在同一竖直方向上，如图5所示：
3.2 问题二的模型建立与求解
3.2.1 问题二的模型建立与求解
在问题一的②过程中，排球正在做自由落体运动，需要求，在0. 1s时同心鼓鼓面的倾斜角度。需要判断在0. 1s时，排球与鼓面是否碰撞，此时va=0，a=g，t=0.1，将这些条件带入（1.31）、（1.32）得到：x = 4.9cm<40cm，由此得知，此时无碰撞。
在现实情况下，同心鼓鼓面初始状态较绳子水平时下降了11cm，此时假设绳子与同心鼓鼓面的夹角为a，当队员们用力拉绳后，打破了同心鼓的平衡状态，使得同心鼓运动。绳与同心鼓鼓面有一个夹角为θ。因现实因素，可能存在同心鼓受力不均不能水平上升，使鼓面出现倾斜，假设同心鼓倾斜的角度为s。 由受力分析可得，在竖直方向上队员们对同心鼓的合力与每一名队员的作用力呈正相关，使得同心鼓发生倾斜的作用力为恒力，欲使同心鼓向上做加速运动，夹角θ需大于夹角a，通过分析绳对鼓的作用力，可得出：
θ=α+β
（21）
在排球与同心鼓碰撞过程中，排球与鼓的各部分运动状态与问题一中的③、④过程的运动状态相同。区别为同心鼓做向上的加速运动时，加速度发生变化，设该加速度为ax，则有：
3.3 问题三的问题求解
3.3.1 问题的求解及改进
答：在问题一中，是理想状态下，需要改变第一问中对同心鼓的受力分析方程， 在问题二中考虑现实状况的影响因素，则将该阶段的受力分析调整如下：
3.4 问题四的模型建立与求解
3.4.1 问题四的模型建立与求解
4. 模型评价、改进与推广
4.1 模型评价：
优点：模型根据物理学原理推导，有充分理论依据，可靠性较高。使用回归分析预测模型建立多个自变量与因变量间非线性函数关系。将不易观察的运动过程抽象转化成直观明了的图像。缺点：采用物理模型，虽考虑现实因素，但不全面，在求解时对数据进行简化操作，使得结果与真实值会存在一定的偏差。
4.2 模型改进：
（1）可以采用多组数据进行检验，进一步优化模型的稳定性，减轻对自变量的依赖性，让模型更加牢固
（2）应将队员的性别比例，以及队员在水平面上可以运动的距离范围考虑在模型中，提高模型所得数据的准确性。
4.3 模型推广：
除使用回归线性预测模型以及物理运动模型评价外，还可以尝试使用模糊算法评价，在对系统模型认识不够深刻的情况下可以方便我们理解系统的模型，进行分析。
（指导老师： 刘晓光）
参考文献
[1]路峻嶺，顾晨，秦联华，任乃敬，马泊一.关于碰撞问题的进一步讨论[J].大学物理，2019，38 （08）：5-9+13.
[2]姜启源，谢金星《数学建模》.北京：高等教育出版社，2003.8.
[3]金玉国，从回归分析到结构方程模型：线性因果关系的建模方法论[J].山东经济，2008 （02）：19-24.
[4]王长春，从能量的角度讨论两体碰撞问题[J].大学物理，2005 （09）：18-19+22.
[5]卓金武.《MATLAB在数学建模中的应用》（第2版）北京：北京航空航天大学出版社.
[6]韩晓霞，动量守恒定律与能量守恒定律的适用范围研究[J].济南职业学院学报，2013 （04）：90-91+94.
关键词：碰撞，动量守恒，回归分析模型
1 引言
本文创新之处在于找出自变量与最佳高度之间的关系，利用物理学原理进行转化，将复杂的物理过程抽象化，运用猜想与假设法以及整体和隔离法。最终得到含有相关自变量和因变量之间的非线性回归方程，拟建立了回归分析模型
1 问题重述与分析
同心鼓是一项团队协作能力拓展项目，多根绳均匀固定在鼓身上，每根绳长度相同。每人牵拉一根绳使鼓面保持水平。球从距离鼓面中心上方40cm处竖直落下，由队员合力将球颠起，并在鼓面上跳动。在颠球过程中，队员只可抓住绳子末端，不能接触其它部位。参数由题目给出，球被颠起的高度应该距离鼓面40cm以上，若低于40cm，则项目停止，连续颠球的次数尽可能的多。
问题一：理想状态下，每个人都精确控制用力方向、时机、力度，讨论团队的最佳协作策略，并给出颠球高度。通过对排球、鼓和人进行受力分析，将物理学模型转化为所求的数学模型
问题二：考虑现实情形，鼓面可能会倾斜，要求建立模型描述队员的发力时机和力度与某一特定时刻的鼓面倾斜角的关系，并填写表1，参数由题给出。对所求最佳策略下的颠球高度建立的模型进行优化，将未考虑的因素作为自变量，改变颠球高度及次数。考虑队员的实际情况，可能会导致鼓面倾斜，通过对同心鼓受力分析，研究其物理状态，找到与模型一中的联系，建立相应数学模型。
问题三：考虑现实情况，根据模型二，试判断问题一中给出的策略是否需要调整？如果需要，如何调整？通过对比模型一和模型二，将未考虑的现实因素进行模型调优，使建立的数学模型更贴近现实情况下的要求，提高数学模型求解的准确性。
问题四：当鼓面发生倾斜时，球跳动的方向不再竖直，需要队员调整拉绳的策略。假设条件由题给出，避免排球被弹出，将排球调整为竖直状态弹跳，请给出在可精确控制条件下所有队员的发力时机及力度，结合现实情况，分析实施效果如何。在优化模型基础上，分析排球在第一次碰撞后的运动轨迹及在第二次碰撞前排球和同心鼓的受力情况，再由第二次碰撞时排球的速度方向，求出排球受同心鼓的合力情况和鼓面的倾斜角度，根据优化模型得出队员在第二次碰撞的最佳发力时机及力度。
2模型假设
1）问题一中假设理想情况就是队员都可以控制用力方向、时机、力度且均相同;所有矢量向下为正方向;队员数为8人，队员间最小距离为60且不计绳长的影响;排球与同心鼓发生碰撞后，在理想状态下，不改变系统动能
2）问题二中假设所求的0. 1s时的倾斜角度，0.Is指的是，运动了0. 1s，且规定发力时机中的-0.1，指的队员提前0.1秒施力;假设8个队员是等间 距站位;假设每个队员之间的角度恒为π/4，整个运动过程是不会改变队员之间的角度
3模型的建立与求解
3.1问题一的模型建立与求解
3.1.1模型建立与求解
①排球未接触鼓时，做自由落体运动，据此建立数学模型。G为排球受到的重力，m1为排球的质量，a1为排球的加速度，方向为竖直向下，受力分析如下：
根据牛顿第二定律得知：G=m1a1 （11），重力与质量的关系为：G =mg （1.2），由（1.1）和（1 2）得出在排球做自由落体运动时：ai=g（1.3），由匀加速直线运动规律得到排球的速度、加速度和时间之间的微分關系如下：
②同心鼓上升但未与排球碰撞的过程中，做匀减速直线运动。理想状态下，受力情况如图2、3所示：
图4同心鼓在竖直向上的合力FN作用下向上运动由匀减速直线运动的规律，得同心鼓的速度、加速度和时间之间的微分关系如下：
③在排球和同心鼓在发生碰撞的过程中，根据物理学原理建立碰撞过程。由于排球与同心鼓碰撞的过程属于非完全弹性碰撞，假设物体发生弹性形变后的恢复系数为e。由动量守恒定律，得到如下公式：排球与同心鼓发生非完全弹性碰撞的过程中，从能量的角度来看，排球与同心鼓的动能变为形变势能，也有一部分能量转化为克服摩擦力所产生的热能，因此碰撞过程中，两物体的动能不守恒，且所组成的系统的动能发生损耗，假设系统动能的损耗为△E1，则有：
3.1.2 模型灵敏度分析与检验
在理想状态下，排球与同心鼓的碰撞是在同一竖直方向上，如图5所示：
3.2 问题二的模型建立与求解
3.2.1 问题二的模型建立与求解
在问题一的②过程中，排球正在做自由落体运动，需要求，在0. 1s时同心鼓鼓面的倾斜角度。需要判断在0. 1s时，排球与鼓面是否碰撞，此时va=0，a=g，t=0.1，将这些条件带入（1.31）、（1.32）得到：x = 4.9cm<40cm，由此得知，此时无碰撞。
在现实情况下，同心鼓鼓面初始状态较绳子水平时下降了11cm，此时假设绳子与同心鼓鼓面的夹角为a，当队员们用力拉绳后，打破了同心鼓的平衡状态，使得同心鼓运动。绳与同心鼓鼓面有一个夹角为θ。因现实因素，可能存在同心鼓受力不均不能水平上升，使鼓面出现倾斜，假设同心鼓倾斜的角度为s。 由受力分析可得，在竖直方向上队员们对同心鼓的合力与每一名队员的作用力呈正相关，使得同心鼓发生倾斜的作用力为恒力，欲使同心鼓向上做加速运动，夹角θ需大于夹角a，通过分析绳对鼓的作用力，可得出：
θ=α+β
（21）
在排球与同心鼓碰撞过程中，排球与鼓的各部分运动状态与问题一中的③、④过程的运动状态相同。区别为同心鼓做向上的加速运动时，加速度发生变化，设该加速度为ax，则有：
3.3 问题三的问题求解
3.3.1 问题的求解及改进
答：在问题一中，是理想状态下，需要改变第一问中对同心鼓的受力分析方程， 在问题二中考虑现实状况的影响因素，则将该阶段的受力分析调整如下：
3.4 问题四的模型建立与求解
3.4.1 问题四的模型建立与求解
4. 模型评价、改进与推广
4.1 模型评价：
优点：模型根据物理学原理推导，有充分理论依据，可靠性较高。使用回归分析预测模型建立多个自变量与因变量间非线性函数关系。将不易观察的运动过程抽象转化成直观明了的图像。缺点：采用物理模型，虽考虑现实因素，但不全面，在求解时对数据进行简化操作，使得结果与真实值会存在一定的偏差。
4.2 模型改进：
（1）可以采用多组数据进行检验，进一步优化模型的稳定性，减轻对自变量的依赖性，让模型更加牢固
（2）应将队员的性别比例，以及队员在水平面上可以运动的距离范围考虑在模型中，提高模型所得数据的准确性。
4.3 模型推广：
除使用回归线性预测模型以及物理运动模型评价外，还可以尝试使用模糊算法评价，在对系统模型认识不够深刻的情况下可以方便我们理解系统的模型，进行分析。
（指导老师： 刘晓光）
参考文献
[1]路峻嶺，顾晨，秦联华，任乃敬，马泊一.关于碰撞问题的进一步讨论[J].大学物理，2019，38 （08）：5-9+13.
[2]姜启源，谢金星《数学建模》.北京：高等教育出版社，2003.8.
[3]金玉国，从回归分析到结构方程模型：线性因果关系的建模方法论[J].山东经济，2008 （02）：19-24.
[4]王长春，从能量的角度讨论两体碰撞问题[J].大学物理，2005 （09）：18-19+22.
[5]卓金武.《MATLAB在数学建模中的应用》（第2版）北京：北京航空航天大学出版社.
[6]韩晓霞，动量守恒定律与能量守恒定律的适用范围研究[J].济南职业学院学报，2013 （04）：90-91+94.