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本课例是青岛版六年级数学下册《数学与生活》中的排列问题。本节课通过创设师生排队照相的生活情境，在现实生活问题抽象成数学问题的过程中渗透符号意识，培养了学生的推理能力，并逐步完善了学生的数学模型思想。
一、自主设计，培养学生的符号意识
【教学片段】
师：谁想和老师合影？
师：如果我们两个想站成一横排照相，应该怎样站呢？
生1：老师站在左边，丁嘉站在右边。
生2：丁嘉站在左边，老师站在右边。
生3：只要交换老师和丁嘉的位置就可以了。
师：两人站成一横排来照相，只需要交换两个人的位置就可以得到不同的排法。
师：哪位同学还想上来和我们两个一起合影？
师：怎样安排我们三个人的位置呢？
生1：老师站在中间，丁嘉和邓志豪站在两边。
生2：老师站在左边，丁嘉站在中间，邓志豪站右边。
生3：丁嘉站在左边，邓志豪站在中间，老师站在右边。
师：老师觉得这样换来换去有些麻烦，弄得我们三个人手忙脚乱的，有没有更好的方式来取代我们三个人，也让你们能更加直观地安排我们的位置？
生1：可以用小卡片来代替老师你们三个人。
生2：我觉得可以用三个字母来表示。
生3：我觉得可以用不同的图形来表示。
……
【课例评析】
新《数学课程标准》指出：在数学教学中应注重发展学生的符号意识，“建立符号意识有助于学生理解符号的使用是数学表达和进行数学思考的重要形式”。因此，这一环节的设计，在激发学生的学习和探究欲望的同时，既注重培养了学生的符号意识，又为后面合作探究三个人的排列方法埋下了伏笔，把新知引发到学生的“最近发展区”。
二、合作探究，培养学生的逻辑思维
在经历“无序”到“有序”的排列方法这一思维过程时，教材虽呈现了基本的教学思路，但小学生抽象能力弱，怎样在有限的四十分钟里有效地实现从复杂到简单，从未知到已知的转化，这是本课的重点，也是学生思考的难点。为了有效地培养学生的逻辑思维，提升思考层次，我精心设计，让学生经历了“无序的操作—有序的思考—方法的优化”过程。
【教学片段】
学生以小组为单位合作探究三个人照相的排列后，汇报交流。
第一个小组的排法是这样的（如图所示）
师：刚才这个小组的排法全面吗？
生：很全面。
师：哪个小组还有不同的排法？
生：我们小组是这样想的：把他们三个人分别用A、B、C来表示，我们组先把A放在最前面，然后对B和C进行排序，只要交换他们的位置就可以得到两种排法，以此类推，我们就知道一共有六种不同的排法。
【课例评析】
这一过程的学习活动，隐含着一条数学思想方法的主线，即有序思考。学生在小组合作、汇报交流中，通过动手操作、有序思考来解决问题，从而将生活问题转化成数学问题，增强了数学思维的含量。在教学中鼓励学生与同伴交流，引导学生展开讨论，使学生在合作中学会知识、体验学习的乐趣，学生的思维活动也更加活跃。
三、自主尝试，培养学生的推理能力
【教学片段】
师：四个人自由地排成一行照相，会出现多少种排法呢？猜一猜？
生1：八种。
生2：二十四种。
……
师：你们的猜想对吗？能不能在不摆的基础上尝试着把你所想的排法写出来，如果在写的过程中感到有困难那就可以借助于摆的方式来探究。
（学生自主尝试。）
师：在给四个人排序的时候你们是怎么做的？
生1：我们先确定左起第一个位置上的人，把他固定好了之后，剩下的三个人我们就按照刚才所学习的三个人的排法去做。这样的话，就会有六种不同的排法。因为这四个人都可以当左起第一个位置上的人，所以我们组只排了一部分，就知道了一共有二十四种不同的排法。
生2：我们组没有摆，也没有写，我们是在刚才计算三个人排序的算式上直接用1×2×3×4 得到也是二十四种排法的。
【课例评析】
这一环节是在学生掌握了有序思考的基础上，引导学生运用“猜想—验证—结论”的数学方法，由三个人排列类推出四个人排列的排列与计算方法，有效地培养了学生的推理能力。同时我改变了问题的呈现形式，不是直接提出问题，而是抛出了一个挑战性的话题，鼓励学生在不动手操作的情形下，抛开手中的学具试着写出四个人排序的情况，如果实在不行则可以借助卡片边摆边写。这样的操作要求，体现了“义务教育阶段的数学课程要面向全体学生，适应学生个性发展的需要”的教学理念。
四、主动建构，培养学生的模型思想
【教学片段】
师：刚才我们一起研究了两个人、三个人、四个人分别有多少种不同的排法，借助于刚才的方法，怎样求五个人排成一横行共有多少种排法？
生：可以用算式1×2×3×4×5来求出一共有一百二十种不同的排法。
师：这样列式的依据是什么？
生：在四个人照相的基础上，先固定左起第一个位置，将其余四个人进行排序，四个人排序有二十四种排法，也就是当A为左起第一个位置上的数可以有二十四种排法，这五个人分别都可以做左起第一个位置上的数，所以有五个二十四，即1×2×3×4×5，一百二十种。
师：你的思路真清晰，能借助知识的迁移得出五个人排序的方法，真不错。那么六个人呢？N个人呢？
生：我们可以从1开始，有几个人就乘到几。
【课例评析】
以上环节的设计是缘于数学学习是学生自主建构模型的过程。所以让学生在经历了“熟悉的两个人、三个人照相的生活情境，在解决这个现实问题的过程中，引导学生通过观察、实践、探索、思考、交流等活动，逐步建立解决两个人、三个人的排列方法，并迁移类推出四个人的方法，归纳、概括得到五人、六人……N个人排列的计算方法”的探究过程，最终形成数学模型的建构，完善了学生的模型思想。
总之，本课通过以上几个环节的教学，培养了学生从生活经验和客观现实出发，在解决排列问题的过程中学习、理解和应用数学，帮助学生建构了数学模型，主动建立了自己的认知结构，完善了学生的数学模型思想，从而达到了全面提升学生数学素养的目的。
（作者单位：山东省青岛市鞍山二路小学）
一、自主设计，培养学生的符号意识
【教学片段】
师：谁想和老师合影？
师：如果我们两个想站成一横排照相，应该怎样站呢？
生1：老师站在左边，丁嘉站在右边。
生2：丁嘉站在左边，老师站在右边。
生3：只要交换老师和丁嘉的位置就可以了。
师：两人站成一横排来照相，只需要交换两个人的位置就可以得到不同的排法。
师：哪位同学还想上来和我们两个一起合影？
师：怎样安排我们三个人的位置呢？
生1：老师站在中间，丁嘉和邓志豪站在两边。
生2：老师站在左边，丁嘉站在中间，邓志豪站右边。
生3：丁嘉站在左边，邓志豪站在中间，老师站在右边。
师：老师觉得这样换来换去有些麻烦，弄得我们三个人手忙脚乱的，有没有更好的方式来取代我们三个人，也让你们能更加直观地安排我们的位置？
生1：可以用小卡片来代替老师你们三个人。
生2：我觉得可以用三个字母来表示。
生3：我觉得可以用不同的图形来表示。
……
【课例评析】
新《数学课程标准》指出：在数学教学中应注重发展学生的符号意识，“建立符号意识有助于学生理解符号的使用是数学表达和进行数学思考的重要形式”。因此，这一环节的设计，在激发学生的学习和探究欲望的同时，既注重培养了学生的符号意识，又为后面合作探究三个人的排列方法埋下了伏笔，把新知引发到学生的“最近发展区”。
二、合作探究，培养学生的逻辑思维
在经历“无序”到“有序”的排列方法这一思维过程时，教材虽呈现了基本的教学思路，但小学生抽象能力弱，怎样在有限的四十分钟里有效地实现从复杂到简单，从未知到已知的转化，这是本课的重点，也是学生思考的难点。为了有效地培养学生的逻辑思维，提升思考层次，我精心设计，让学生经历了“无序的操作—有序的思考—方法的优化”过程。
【教学片段】
学生以小组为单位合作探究三个人照相的排列后，汇报交流。
第一个小组的排法是这样的（如图所示）
师：刚才这个小组的排法全面吗？
生：很全面。
师：哪个小组还有不同的排法？
生：我们小组是这样想的：把他们三个人分别用A、B、C来表示，我们组先把A放在最前面，然后对B和C进行排序，只要交换他们的位置就可以得到两种排法，以此类推，我们就知道一共有六种不同的排法。
【课例评析】
这一过程的学习活动，隐含着一条数学思想方法的主线，即有序思考。学生在小组合作、汇报交流中，通过动手操作、有序思考来解决问题，从而将生活问题转化成数学问题，增强了数学思维的含量。在教学中鼓励学生与同伴交流，引导学生展开讨论，使学生在合作中学会知识、体验学习的乐趣，学生的思维活动也更加活跃。
三、自主尝试，培养学生的推理能力
【教学片段】
师：四个人自由地排成一行照相，会出现多少种排法呢？猜一猜？
生1：八种。
生2：二十四种。
……
师：你们的猜想对吗？能不能在不摆的基础上尝试着把你所想的排法写出来，如果在写的过程中感到有困难那就可以借助于摆的方式来探究。
（学生自主尝试。）
师：在给四个人排序的时候你们是怎么做的？
生1：我们先确定左起第一个位置上的人，把他固定好了之后，剩下的三个人我们就按照刚才所学习的三个人的排法去做。这样的话，就会有六种不同的排法。因为这四个人都可以当左起第一个位置上的人，所以我们组只排了一部分，就知道了一共有二十四种不同的排法。
生2：我们组没有摆，也没有写，我们是在刚才计算三个人排序的算式上直接用1×2×3×4 得到也是二十四种排法的。
【课例评析】
这一环节是在学生掌握了有序思考的基础上，引导学生运用“猜想—验证—结论”的数学方法，由三个人排列类推出四个人排列的排列与计算方法，有效地培养了学生的推理能力。同时我改变了问题的呈现形式，不是直接提出问题，而是抛出了一个挑战性的话题，鼓励学生在不动手操作的情形下，抛开手中的学具试着写出四个人排序的情况，如果实在不行则可以借助卡片边摆边写。这样的操作要求，体现了“义务教育阶段的数学课程要面向全体学生，适应学生个性发展的需要”的教学理念。
四、主动建构，培养学生的模型思想
【教学片段】
师：刚才我们一起研究了两个人、三个人、四个人分别有多少种不同的排法，借助于刚才的方法，怎样求五个人排成一横行共有多少种排法？
生：可以用算式1×2×3×4×5来求出一共有一百二十种不同的排法。
师：这样列式的依据是什么？
生：在四个人照相的基础上，先固定左起第一个位置，将其余四个人进行排序，四个人排序有二十四种排法，也就是当A为左起第一个位置上的数可以有二十四种排法，这五个人分别都可以做左起第一个位置上的数，所以有五个二十四，即1×2×3×4×5，一百二十种。
师：你的思路真清晰，能借助知识的迁移得出五个人排序的方法，真不错。那么六个人呢？N个人呢？
生：我们可以从1开始，有几个人就乘到几。
【课例评析】
以上环节的设计是缘于数学学习是学生自主建构模型的过程。所以让学生在经历了“熟悉的两个人、三个人照相的生活情境，在解决这个现实问题的过程中，引导学生通过观察、实践、探索、思考、交流等活动，逐步建立解决两个人、三个人的排列方法，并迁移类推出四个人的方法，归纳、概括得到五人、六人……N个人排列的计算方法”的探究过程，最终形成数学模型的建构，完善了学生的模型思想。
总之，本课通过以上几个环节的教学，培养了学生从生活经验和客观现实出发，在解决排列问题的过程中学习、理解和应用数学，帮助学生建构了数学模型，主动建立了自己的认知结构，完善了学生的数学模型思想，从而达到了全面提升学生数学素养的目的。
（作者单位：山东省青岛市鞍山二路小学）