掌握七种题型 轻松求解最值

• 作 者: 辛永红
• 出 处: 甘肃教育
• 发表日期: 2011年2期
• 关键词: 数学教学 三角函数 类型 最值 求解

　　〔关键词〕 数学教学；三角函数；类型；最值；求解
　　〔中图分类号〕 G633.6
　　〔文献标识码〕 Ｃ
　　〔文章编号〕 1004—0463(2011)01（B）—0079—02
　　
　　三角函数的最值问题是高考命题中的一个重要知识点，它在高考题中出现的形式多种多样，一般和其他知识点相结合.这里笔者将三角函数的最值问题分为7种类型，现介绍如下.
　　题型一：求形如f（x）=Asinx+Bcosx+C的函数的最值.
　　这种题型利用正弦、余弦函数的有界性进行求解.
　　f(x)=Asinx+Bcosx+C=■sin（x+?渍）+C，
　　 其中tan?渍=■，?渍=arctan■，则f(x)max=■+C，此时，x=2k?仔+■-?渍，k?缀Z；f(x)min=-■+C，此时，x=2k?仔+■-?渍，k?缀Z.
　　例1 已知f(x)=■sinx+3cosx+2，求f(x)的值域.
　　解：∵f（x）=■sinx+3cosx+2，
　　∴f（x）=2■sin（x+ ■），
　　∵-1≤sin(x+■)≤1，
　　∴-2■≤2■sin（x+■）≤2■，
　　∴-2■≤f(x) ≤2■，
　　∴f（x）?缀[-2■，2■].
　　题型二：求形如f（x）=Asin2x+Bsinx+Ｃ的函数的最值.
　　利用换元法，设u=sinx，通过x的范围确定u 的范围，然后把三角函数转化为关于u的一元二次函数之后，在u的范围内求f(u)=Au2+Bu+C的范围.
　　例2已知f(x)=cos2x+sinx，x?缀- ■, ■，求f(x)的值域.
　　解：设u=sinx，x?缀- ■, ■，
　　∴-■≤sinx≤■，即-■≤u≤■，
　　由f(x)=cos2x+sinx=-sin2x+sinx+1 得，
　　f(u)=-u2+u+1，（-■≤u≤■）
　　由下图知： ■f（－■）≤f（u）≤ f（■）=■.
　　∴f(x)∈■，■.
　　■
　　题型三：求形如f（x)=a（sinx+cosx)+bsinxcosx +c或 f（x)=a（sinx-cosx)+bsinxcosx +c的函数的最值.
　　首先，设u=sinx+cosx或u=sinx－cosx得，u?缀 [-■,■]，
　　∵u2=sin2x+2sinxcosx+cos2x=1+2sinxcosx
　　或u2=sin2x-2sinxcosx+cos2x=1-2sinxcosx，
　　∴sinxcosx=■或sinxcosx=■,
　　∴f（u)=■u2+au+c-■或 f（u)=-■u2+au+c+■，
　　u?缀[-■,■].
　　然后，若题目条件中给出自变量x的取值范围，那么根据x的取值范围，求出u的范围.最后，求f（u)在u的范围内的最值.
　　例3 求函数f（x)=sinxcosx+sinx+cosx的最值.
　　解：设u=sinx+cosx，u∈[-■,■]，
　　则f（u)=■u2+u-■，
　　即求f（u)=■u2+u-■在[-■,■]上的最值.
　　ymax=f（■)=■＋■，ymin f（-1)=-1.
　　■
　　题型四：求形如f（x)=asin2x+bsinxcosx+ccos2x的函数的最值.
　　首先利用降幂公式cos2x=■或sin2x=■化为关于2x的三角函数，再根据题型一求最值.
　　例4 求函数y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x的值域.
　　解：y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x
　　=■+sin2x+■=sin2x+cos2x+2
　　=■sin（2x+■) +2，∴y∈[2-■ ,2+■].
　　题型五：求形如y=f［g（x)］的函数的最值.
　　首先称u=g（x)为内函数，y=f（u)为外函数，可以先讨论清楚内函数u=g（x)的取值范围，再讨论外函数y=f（u)的取值范围.
　　例5 求函数y=log2（1+sinx)+log2（1-sinx)，当
　　x∈ （- ■ ,■]时的值域.
　　解：y=log2（1+sinx)+log2（1-sinx)
　　=log2（1+sinx)（1-sinx)=log2（1-sin2x)=log2cos2x，
　　设u=cos2x，∵x∈ （- ■ ,■], ∴u∈[■,1].
　　∴y=log2u∈ [-1,0]，
　　∴原函数的值域为[-1,0].
　　题型六：求形如y=Asinxcos2x或y=Asin2xcosx，A>0的函数的最值.
　　例６求y=Asinxcos2x的值域.
　　解：这里首先要保证y>0，则给出的x的取值范围要保证sinx>0或cosx>0，先把y=Asinxcos2x两边平方得：
　　y2=A2sin2xcos2xcos2x=■A22sin2xcos2xcos2x，
　　∵■≥■，
　　∴2sin2xcos2xcos2x≤■，∴ y2≤■A2■=■，
　　∴y ≤■A.
　　题型七：求形如y=■的函数的最值.
　　把y=■看成动点P（sinx，cosx)与定点M（a，b)两点连线的斜率的最值问题.令X=sinx，Y=cosx，由于X2+Y2=1，故动点P（sinx，cosx)在单位圆上.
　　例7求y=■的值域.
　　解：把y=■看成动点P（sinx，cosx)与定点A（2，2)两点连线的斜率的最值问题（如下图）.令X=sinx，Y=cosx，由于X2+Y2=1，
　　∴动点P（sinx，cosx)在单位圆上.
　　设过点A（2，2)的圆的切线方程为y－2=k(x-2)，即kx-y+2-2k=0，圆心O到切线的距离d=■≤r,∵r=1，
　　∴■≤ 1 ，
　　解得■≤ k≤■ ,
　　故原函数的值域是[■，■] .
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　　?笙 编辑：谢颖丽