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摘要：数学建模活动是基于数学思维，运用模型解决实际问题的综合实践活动。文章以“体重与脉搏”教学为例，对恒温动物的体重与脉搏进行分析与探究，让学生体会建立数学模型的一般步骤，激发学生应用数学的意识，提高学生发现、分析、解决问题的能力，同时提升学生的数学抽象、数学建模、数据分析等数学素养。
关键词：数学建模;体重;脉搏率
生活中，事物与事物之间是有联系的，揭示这些联系是数学的意义所在，数学建模就是这样的一个数学活动。“体重与脉搏”是课程标准中的一个建模课题，其目的是让学生经历一次完整的数学建模过程，让学生初步体验提出问题、建立模型、求解模型、检验、优化模型等建模活动，并通过活动，展示学生数学抽象、逻辑推理、数学建模、数据处理等数学素养。
该问题的分析线索比较长，学生很难自主地建模求解，在过程中容易出现目标不明确、无法操作等问题。因此，笔者采用问题呈现的形式引导学生将核心问题拆分成容易达成的小目标，引导他们按照一定的脉络进行下去。
一、 中学数学建模现状分析
（1）初中学生已学过确定型的函数模型（如：一次函数、反比例函数和二次函数），在高中阶段学习了函数的基本研究内容和方法，但运用函数知识来解决实际问题的能力不足，在实践技能上对图形计算器的操作还不够熟练，在思想观念上对拟合型的函数模型缺乏科学认识，在数学应用上缺乏运用函数模型来阐述自然规律的意识，在函数方法上难以想到运用对数运算特性来转化数据。
（2）本节内容最大的难点是“用跨学科知识分析评判所得函数模型阐释恒温动物体重与脉搏率之间内在联系的合理性”。首先应排除影响脉搏率的其他非主要因素，从而由生物学常识形成模型假设，再运用数学运算和逻辑推理分析所得模型的科学性。此外，由于动物间体重差异太大，在数据处理上也存在难点，运用对数运算转化数据需要教师的启发引导。
（3）由于在自然情景中所得数据并非处于容易处理的“理想状态”，所以需要运用信息技术支持教学。本节课运用图形计算器可以直观展示数据对应的散点图并建立函数模型，快捷地转化数据重构函数模型，因此为教学提供了极大的支持。
二、 中学数学建模策略
（一）情境设疑，启迪思考
（PPT展示人的脉搏率从婴儿时期到长大成人的变化）
师：你发现了什么规律？
生：随着人慢慢长大，脉搏率在变小。
师：大家觉得影响脉搏率的主要因素是什么？
生：是不是会和性别、年龄、身高、体重等因素有关系。
问题1：如果将研究范围扩展到恒温动物，你觉得影响脉搏率的主要因素是什么？
预设：性别、年龄、身高这些因素就不合适了，那么应该是体重会影响脉搏率！
【设计意图】
引导学生在实际情境中发现问题和提出问题，以开放的问题引导学生提出本节课研究的主题，即运用数学方法研究恒温动物体重与脉搏率之间的内在联系。
（二）技术应用，建立模型
师：要研究两个量的关系，就需要有相应的数据支持，请大家阅读教材提供的种恒温动物的体重与脉搏率对应的数据。动物名[体重（单位：g）/脉搏率（单位：次/分）]
鼠（25/670）大鼠（200/420）
豚鼠（300/300）兔（2000/205）
小狗（5000/120）大狗（30000/85）
羊（50000/70）马（450000/35）
问题2：为研究方便，将体重和脉搏率分别用W和f表示，观察这组数据，你能发现什么？
【师生活动】随着体重逐渐增大，脉搏率逐渐减小，这两个量之间有函数关系。利用图形计算器将数据绘制到直角坐标系中，得到散點图如图1，再猜想函数类型。
【预设1】
生1：我觉得是反比例函数。
生2：根据表格数据对应的乘积并不是一个常数，所以肯定不是反比例函数。
【预设2】可能会是一个单调递减的指数函数或幂函数模型。
师生共同探讨分析这些函数的特点，对猜想的模型进行初步的验证。之后利用图形计算器的拟合功能，拟合函数模型f=1790.86·x-0.298257，如图2。
【设计意图】
让学生感悟画散点图能够将表格数据更加直观地呈现，也是研究函数模型的最基本的手段之一。通过图形计算器、Excel等都可以实现。引导学生进行数据分析，落实数据分析核心素养。
（三）模型假设，阐释规律
问题3：为何脉搏率f和体重w之间大致满足f=k·W-13的关系？
根据生物学常识我们可得到以下模型假设：
（1）生物学家认为，睡眠中的恒温动物依然会消耗体内能量，主要是为了保持体温;
（2）研究表明，消耗的能量E与心脏的血流量Q成正比;
（3）血流量Q是单位时间流过的血量，脉搏率f是单位时间心跳的次数，心脏每次收缩挤压出来的血量为q;
（4）心脏每次收缩挤压出来的血量q与心脏大小（生物体体重W）成正比;生物体体重W与体积V成正比、体表散热量与体表面积S成正比。
师：你能运用以上4条模型假设来分析f=k·W-13的合理性吗？
【追问1】你能根据以上模型假设，建立脉搏率f与体重W关系的函数关系吗？
【师生活动】学生以6人小组为单位，从生物学知识和假设中提炼信息，给出各个变量的符号标记，分组讨论“这里需要的数学关系是什么”“如何用数学语言去刻画变量间的关系”等问题。鼓励学生以小组为单位，借助西沃电子设备展示自己推导的含有参数的数学关系式，对存在困难的小组和个人，教师予以适当的指导，让其通过模仿达到预期的效果。 生1：我们组由第3条得到f=Qq，由第2条得到Q=k1E，由第4条得到q=k2W，W=k3V，接下来还需要找到Q与W之间的关系，我们还没有想好。
师：其他小组有补充的吗？
生2：第1条告诉我们，能量消耗主要是用来维持体温，再由第4条体表散热量与体表面积成正比，那么消耗的能量E与体表面积S成正比，如果能够知道S与V的关系就好了。
生3：我们认为可以把睡眠状态的动物看成一个球，根据球的体积和表面积与半径的关系，得到S=k4V23。
生4：可以简洁地写出这些量之间的关系如下：Q∝E∝S∝V23∝W23，q∝W，则f=Qq=k·W-13。
师：我们成功地将脉搏率表示为一个相对容易测量的量即体重的函数。
【追问2】为何利用图形计算器拟合的函数并非完全符合f=k·W-13的规律？
生：影响脉搏率的因素还有很多，为研究方便，模型假设是在理想状态下，不考虑其他影响因素，所以会有一定的差异。
【设计意图】
用跨学科知识分析评判所得函数模型阐释恒温动物体重与脉搏率之间内在联系的合理性，首先应排除影响脉搏率的其他非主要因素，从而由生物学常识形成模型假设，在运用数学运算和逻辑推理分析所得模型的科学性，通过小组合作的形式突破教学难点。
（四）科学计算，求解模型
师：通过理论分析得到体重与脉搏率的关系，现在问题得到解决了吗？
生：还需要求解系数。
问题4：如何求解模型中的系数k？
【预设1】只需代入其中的一组数据就可以求出。
师：你觉得取哪一组数据比较合适？
生：任选一组均可。
师：我们称之为待定系数法，选择不同的数据得到不同的系数。
【预设2】利用8组数据求出8个k，再取它们的算术平均数。
对于同学们提出的各种方法，教师应予以及时的表扬与肯定，具体用哪种方法求得的系数更好，因时间限制及学生判断“好”或“不好”的定量分析的知识欠缺，可让学生课后自学最小二乘法后再分析判断。
师：取算术平均数是统计学中常用的一种数据处理方法。现在请大家利用手中的图形计算器采用求平均数的方法求出k。
【设计意图】
让学生体会求解系数方法是不唯一的，取一组数据代入求解与求算术平均数相比，显然后者对数据的利用更加充分，也使得模型的稳定性更好。在求解模型时，可以优先考虑取平均数，同时感受数学建模中求解模型的运算过程，培养学生数学运算的核心素养。此处，可以根据不同的条件选择计算工具进行求解，如Excel、图形计算器、普通的科学计算器均可操作。
（五）采集数据，检验模型
问题5：如何检验所求的数学模型的合理性？
【预设】可取表格中的数据代入检验;利用图形计算器在散点图上画出所求得的函数图像，对比点与曲线的位置来验证模型是否合理;用我们自己的体重与脉搏率的数据代入检验。
师：下面咱们来现场采集一下同学们的脉搏率与体重的数据吧，给大家10秒钟，数出自己的脉搏数，再把相应的数据填入表格（设计一张简单的表格用以记录学生体重与脉搏率）。
【追问】这么多的数据，用哪组数据检验呢？
生：选几个数据，大中小的数据都试试看，或者利用所有数据的算术平均数。也可以通过描点，把数据与所得函数模型的图像进行对比。
【设计意图】
模型建立后，检验是数学建模过程中非常重要且必不可少的环节。若误差在允许范围内的，说明模型是合理的，可以推广应用;若误差较大，则模型需要优化或重新建立。通过这个环节，学生体会检验方法是不唯一的，可代入具体数据代数检验，也可借助函数图像，看点在函数模型附近的情况进行直观判断。教师通过采集脉搏数据这一活动环节，让学生有一个简单的数据收集的体验，也使学生的课堂参与感更强。同时，因为采集到的数据并非睡眠状态下的脉搏率，点会在曲线的上方位置，以此让学生体会到数据的采集要考虑多方面的因素，要体现科学性。
（六）转换数据，重构模型
由于动物间体重差异太大，在平面直角坐标系画散点图时，在坐标系内的呈现并不“友好”，且横轴和纵轴的单位长度不一致，图形有失真，各点的分布很不均匀。
问题6：我们是否可以对数据进行转换，使两个变量间的关系在坐标系中更直观地展示出来？
【预设】调整横纵轴的单位;增加一些动物的体重与脉搏率的数据，使点的分布更加均匀;
因为数据都是正数，可以把数据开根号，使数据的差距缩小;把数据同时取对数等。
[设计意图]通过小组讨论和教师的启发引导，主要想解决的是幂函数在y轴附近变化速度太快的问题。运用对数运算转化数据，突破数据处理上的难点。对f=k·W-13两边取自然对数，得到lnf=lnk+-13lnW，最终使得数据的分布近似于线性分布，如图3，于是形成了对数线性模型，使得数据的呈現更加直观，从而增强了数据分析的科学性，也对数学建模的过程进行了一次优化。当然，数据的转换方法不是唯一的，针对同学们提出的各种不同的想法，教师要给予及时的肯定和鼓励。
（七）回顾方法，总结提升
问题7：我们一起经历了一次相对完整的数学建模过程，具体步骤是哪些呢？
【设计意图】
由学生归纳提炼出数学建模的步骤：实际情境、提出问题、建立模型、求解模型、检验模型、优化模型、应用模型。学生亲历这个过程，运用所学知识解决实际问题，体会学习数学的兴趣和价值，从而明白数学是有用的。希望同学们能够用数学的眼光观察现实世界，用数学的方法研究现实世界，用数学的语言表达现实世界。
三、 中学数学模型教学反思
（一）精心设计问题链，引领思考
数学问题链是指数学教学中围绕某一问题进行渐进式的、全方位的设问而形成的一连串问题，具有指向明确、思路清晰并有内在逻辑等特点，教师根据教学目标和学情，将知识转化为具有层次性和系统性的一组教学问题序列。
“体重与脉搏”一课需要突破的难点较多，如利用跨专业背景知识来阐释模型、数据的计算与检验等，不宜开门见山地提出寻找体重与脉搏率之间的关系。本设计以数学问题链教学为学生提供数学思考的基本脉络，让学生在思维脉络中产生问题、研究问题。
（二）小组合作探究，突破难点
数学建模课程在大学阶段比较普遍，高中阶段并不常见，即使是老师的数学建模能力也是有限的，但是数学建模又是数学学科六大素养之一，其重要性不言而喻。在这个现状下，小组合作探究的方式就显得尤为重要，在运用跨学科背景知识阐释模型这一环节，通过各小组的互相讨论和补充，解决了这个问题。在这个过程中，学生自由发挥、自主探究、相互学习并分享研究的结果，体会数学学习的乐趣。
（三）信息技术辅助，提高效率
数学建模活动离不开信息技术。本节课采用多样化的信息技术辅助教学，图形计算器作散点图、拟合函数模型、进行数学运算，通过希沃授课助手展示学生的研究过程及成果，利用PPT播放人从婴儿时期到成人的脉搏率变化的动画等，让学生从烦琐的数据运算和机械的作图中解脱出来，给问题的解决提供更多的思维空间，极大地提高了课堂效率。
参考文献：
[1]施爽爽.亲力亲为，落地数学建模核心素养——“茶水最佳饮用问题”教学设计与反思[J].中学教研（数学），2020（6）：5-8.
[2]唐恒均，张维忠.数学问题链教学的理论与实践[M].上海：华东师范大学出版社，2021.
作者简介：
王燕，浙江省杭州市，浙江省萧山中学。
关键词：数学建模;体重;脉搏率
生活中，事物与事物之间是有联系的，揭示这些联系是数学的意义所在，数学建模就是这样的一个数学活动。“体重与脉搏”是课程标准中的一个建模课题，其目的是让学生经历一次完整的数学建模过程，让学生初步体验提出问题、建立模型、求解模型、检验、优化模型等建模活动，并通过活动，展示学生数学抽象、逻辑推理、数学建模、数据处理等数学素养。
该问题的分析线索比较长，学生很难自主地建模求解，在过程中容易出现目标不明确、无法操作等问题。因此，笔者采用问题呈现的形式引导学生将核心问题拆分成容易达成的小目标，引导他们按照一定的脉络进行下去。
一、 中学数学建模现状分析
（1）初中学生已学过确定型的函数模型（如：一次函数、反比例函数和二次函数），在高中阶段学习了函数的基本研究内容和方法，但运用函数知识来解决实际问题的能力不足，在实践技能上对图形计算器的操作还不够熟练，在思想观念上对拟合型的函数模型缺乏科学认识，在数学应用上缺乏运用函数模型来阐述自然规律的意识，在函数方法上难以想到运用对数运算特性来转化数据。
（2）本节内容最大的难点是“用跨学科知识分析评判所得函数模型阐释恒温动物体重与脉搏率之间内在联系的合理性”。首先应排除影响脉搏率的其他非主要因素，从而由生物学常识形成模型假设，再运用数学运算和逻辑推理分析所得模型的科学性。此外，由于动物间体重差异太大，在数据处理上也存在难点，运用对数运算转化数据需要教师的启发引导。
（3）由于在自然情景中所得数据并非处于容易处理的“理想状态”，所以需要运用信息技术支持教学。本节课运用图形计算器可以直观展示数据对应的散点图并建立函数模型，快捷地转化数据重构函数模型，因此为教学提供了极大的支持。
二、 中学数学建模策略
（一）情境设疑，启迪思考
（PPT展示人的脉搏率从婴儿时期到长大成人的变化）
师：你发现了什么规律？
生：随着人慢慢长大，脉搏率在变小。
师：大家觉得影响脉搏率的主要因素是什么？
生：是不是会和性别、年龄、身高、体重等因素有关系。
问题1：如果将研究范围扩展到恒温动物，你觉得影响脉搏率的主要因素是什么？
预设：性别、年龄、身高这些因素就不合适了，那么应该是体重会影响脉搏率！
【设计意图】
引导学生在实际情境中发现问题和提出问题，以开放的问题引导学生提出本节课研究的主题，即运用数学方法研究恒温动物体重与脉搏率之间的内在联系。
（二）技术应用，建立模型
师：要研究两个量的关系，就需要有相应的数据支持，请大家阅读教材提供的种恒温动物的体重与脉搏率对应的数据。动物名[体重（单位：g）/脉搏率（单位：次/分）]
鼠（25/670）大鼠（200/420）
豚鼠（300/300）兔（2000/205）
小狗（5000/120）大狗（30000/85）
羊（50000/70）马（450000/35）
问题2：为研究方便，将体重和脉搏率分别用W和f表示，观察这组数据，你能发现什么？
【师生活动】随着体重逐渐增大，脉搏率逐渐减小，这两个量之间有函数关系。利用图形计算器将数据绘制到直角坐标系中，得到散點图如图1，再猜想函数类型。
【预设1】
生1：我觉得是反比例函数。
生2：根据表格数据对应的乘积并不是一个常数，所以肯定不是反比例函数。
【预设2】可能会是一个单调递减的指数函数或幂函数模型。
师生共同探讨分析这些函数的特点，对猜想的模型进行初步的验证。之后利用图形计算器的拟合功能，拟合函数模型f=1790.86·x-0.298257，如图2。
【设计意图】
让学生感悟画散点图能够将表格数据更加直观地呈现，也是研究函数模型的最基本的手段之一。通过图形计算器、Excel等都可以实现。引导学生进行数据分析，落实数据分析核心素养。
（三）模型假设，阐释规律
问题3：为何脉搏率f和体重w之间大致满足f=k·W-13的关系？
根据生物学常识我们可得到以下模型假设：
（1）生物学家认为，睡眠中的恒温动物依然会消耗体内能量，主要是为了保持体温;
（2）研究表明，消耗的能量E与心脏的血流量Q成正比;
（3）血流量Q是单位时间流过的血量，脉搏率f是单位时间心跳的次数，心脏每次收缩挤压出来的血量为q;
（4）心脏每次收缩挤压出来的血量q与心脏大小（生物体体重W）成正比;生物体体重W与体积V成正比、体表散热量与体表面积S成正比。
师：你能运用以上4条模型假设来分析f=k·W-13的合理性吗？
【追问1】你能根据以上模型假设，建立脉搏率f与体重W关系的函数关系吗？
【师生活动】学生以6人小组为单位，从生物学知识和假设中提炼信息，给出各个变量的符号标记，分组讨论“这里需要的数学关系是什么”“如何用数学语言去刻画变量间的关系”等问题。鼓励学生以小组为单位，借助西沃电子设备展示自己推导的含有参数的数学关系式，对存在困难的小组和个人，教师予以适当的指导，让其通过模仿达到预期的效果。 生1：我们组由第3条得到f=Qq，由第2条得到Q=k1E，由第4条得到q=k2W，W=k3V，接下来还需要找到Q与W之间的关系，我们还没有想好。
师：其他小组有补充的吗？
生2：第1条告诉我们，能量消耗主要是用来维持体温，再由第4条体表散热量与体表面积成正比，那么消耗的能量E与体表面积S成正比，如果能够知道S与V的关系就好了。
生3：我们认为可以把睡眠状态的动物看成一个球，根据球的体积和表面积与半径的关系，得到S=k4V23。
生4：可以简洁地写出这些量之间的关系如下：Q∝E∝S∝V23∝W23，q∝W，则f=Qq=k·W-13。
师：我们成功地将脉搏率表示为一个相对容易测量的量即体重的函数。
【追问2】为何利用图形计算器拟合的函数并非完全符合f=k·W-13的规律？
生：影响脉搏率的因素还有很多，为研究方便，模型假设是在理想状态下，不考虑其他影响因素，所以会有一定的差异。
【设计意图】
用跨学科知识分析评判所得函数模型阐释恒温动物体重与脉搏率之间内在联系的合理性，首先应排除影响脉搏率的其他非主要因素，从而由生物学常识形成模型假设，在运用数学运算和逻辑推理分析所得模型的科学性，通过小组合作的形式突破教学难点。
（四）科学计算，求解模型
师：通过理论分析得到体重与脉搏率的关系，现在问题得到解决了吗？
生：还需要求解系数。
问题4：如何求解模型中的系数k？
【预设1】只需代入其中的一组数据就可以求出。
师：你觉得取哪一组数据比较合适？
生：任选一组均可。
师：我们称之为待定系数法，选择不同的数据得到不同的系数。
【预设2】利用8组数据求出8个k，再取它们的算术平均数。
对于同学们提出的各种方法，教师应予以及时的表扬与肯定，具体用哪种方法求得的系数更好，因时间限制及学生判断“好”或“不好”的定量分析的知识欠缺，可让学生课后自学最小二乘法后再分析判断。
师：取算术平均数是统计学中常用的一种数据处理方法。现在请大家利用手中的图形计算器采用求平均数的方法求出k。
【设计意图】
让学生体会求解系数方法是不唯一的，取一组数据代入求解与求算术平均数相比，显然后者对数据的利用更加充分，也使得模型的稳定性更好。在求解模型时，可以优先考虑取平均数，同时感受数学建模中求解模型的运算过程，培养学生数学运算的核心素养。此处，可以根据不同的条件选择计算工具进行求解，如Excel、图形计算器、普通的科学计算器均可操作。
（五）采集数据，检验模型
问题5：如何检验所求的数学模型的合理性？
【预设】可取表格中的数据代入检验;利用图形计算器在散点图上画出所求得的函数图像，对比点与曲线的位置来验证模型是否合理;用我们自己的体重与脉搏率的数据代入检验。
师：下面咱们来现场采集一下同学们的脉搏率与体重的数据吧，给大家10秒钟，数出自己的脉搏数，再把相应的数据填入表格（设计一张简单的表格用以记录学生体重与脉搏率）。
【追问】这么多的数据，用哪组数据检验呢？
生：选几个数据，大中小的数据都试试看，或者利用所有数据的算术平均数。也可以通过描点，把数据与所得函数模型的图像进行对比。
【设计意图】
模型建立后，检验是数学建模过程中非常重要且必不可少的环节。若误差在允许范围内的，说明模型是合理的，可以推广应用;若误差较大，则模型需要优化或重新建立。通过这个环节，学生体会检验方法是不唯一的，可代入具体数据代数检验，也可借助函数图像，看点在函数模型附近的情况进行直观判断。教师通过采集脉搏数据这一活动环节，让学生有一个简单的数据收集的体验，也使学生的课堂参与感更强。同时，因为采集到的数据并非睡眠状态下的脉搏率，点会在曲线的上方位置，以此让学生体会到数据的采集要考虑多方面的因素，要体现科学性。
（六）转换数据，重构模型
由于动物间体重差异太大，在平面直角坐标系画散点图时，在坐标系内的呈现并不“友好”，且横轴和纵轴的单位长度不一致，图形有失真，各点的分布很不均匀。
问题6：我们是否可以对数据进行转换，使两个变量间的关系在坐标系中更直观地展示出来？
【预设】调整横纵轴的单位;增加一些动物的体重与脉搏率的数据，使点的分布更加均匀;
因为数据都是正数，可以把数据开根号，使数据的差距缩小;把数据同时取对数等。
[设计意图]通过小组讨论和教师的启发引导，主要想解决的是幂函数在y轴附近变化速度太快的问题。运用对数运算转化数据，突破数据处理上的难点。对f=k·W-13两边取自然对数，得到lnf=lnk+-13lnW，最终使得数据的分布近似于线性分布，如图3，于是形成了对数线性模型，使得数据的呈現更加直观，从而增强了数据分析的科学性，也对数学建模的过程进行了一次优化。当然，数据的转换方法不是唯一的，针对同学们提出的各种不同的想法，教师要给予及时的肯定和鼓励。
（七）回顾方法，总结提升
问题7：我们一起经历了一次相对完整的数学建模过程，具体步骤是哪些呢？
【设计意图】
由学生归纳提炼出数学建模的步骤：实际情境、提出问题、建立模型、求解模型、检验模型、优化模型、应用模型。学生亲历这个过程，运用所学知识解决实际问题，体会学习数学的兴趣和价值，从而明白数学是有用的。希望同学们能够用数学的眼光观察现实世界，用数学的方法研究现实世界，用数学的语言表达现实世界。
三、 中学数学模型教学反思
（一）精心设计问题链，引领思考
数学问题链是指数学教学中围绕某一问题进行渐进式的、全方位的设问而形成的一连串问题，具有指向明确、思路清晰并有内在逻辑等特点，教师根据教学目标和学情，将知识转化为具有层次性和系统性的一组教学问题序列。
“体重与脉搏”一课需要突破的难点较多，如利用跨专业背景知识来阐释模型、数据的计算与检验等，不宜开门见山地提出寻找体重与脉搏率之间的关系。本设计以数学问题链教学为学生提供数学思考的基本脉络，让学生在思维脉络中产生问题、研究问题。
（二）小组合作探究，突破难点
数学建模课程在大学阶段比较普遍，高中阶段并不常见，即使是老师的数学建模能力也是有限的，但是数学建模又是数学学科六大素养之一，其重要性不言而喻。在这个现状下，小组合作探究的方式就显得尤为重要，在运用跨学科背景知识阐释模型这一环节，通过各小组的互相讨论和补充，解决了这个问题。在这个过程中，学生自由发挥、自主探究、相互学习并分享研究的结果，体会数学学习的乐趣。
（三）信息技术辅助，提高效率
数学建模活动离不开信息技术。本节课采用多样化的信息技术辅助教学，图形计算器作散点图、拟合函数模型、进行数学运算，通过希沃授课助手展示学生的研究过程及成果，利用PPT播放人从婴儿时期到成人的脉搏率变化的动画等，让学生从烦琐的数据运算和机械的作图中解脱出来，给问题的解决提供更多的思维空间，极大地提高了课堂效率。
参考文献：
[1]施爽爽.亲力亲为，落地数学建模核心素养——“茶水最佳饮用问题”教学设计与反思[J].中学教研（数学），2020（6）：5-8.
[2]唐恒均，张维忠.数学问题链教学的理论与实践[M].上海：华东师范大学出版社，2021.
作者简介：
王燕，浙江省杭州市，浙江省萧山中学。