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[摘 要] 针对文科数学的教学现状，探讨了在文科数学课程教学中引入案例教学法的必要性，就案例的设计进行了分析，并就案例教学法的具体实践进行了有益的探索。
[关 键 词] 文科数学；案例教学；实践
[中图分类号] G642 [文献标志码] A [文章编号] 2096-0603（2017）01-0048-02
目前，许多高校都在文科类专业中开设了文科数学课程，讲授的内容主要包括微积分、线性代数和概率論与数理统计的基本知识。近几十年来，数学的应用发生了根本的变化，已经深入到了科学、工程、经济、社会、生活等几乎所有的领域。特别需要指出的是，数学的思想和方法对社会科学已产生了巨大的影响，在许多方面，数学已经成为解决问题的关键[1]。所以，在文科学生中开展数学知识的教育就显得非常重要，一方面可以拓宽学生知识面，更重要的是可以有效地加强文科学生数学思维和逻辑思维的训练。显而易见，对于文科学生来讲，我们不能简单照搬理工科学生的教学方式，不能过分强调数学的推理性和计算技巧，而应以数学素养和理性思维训练为主，在教学思路、教学内容和教学方式方面进行大力改革。当然，这也并不是说我们对文科学生只讲思想而不涉及任何的数学计算。事实上，学生必须要掌握一定的数学基础才能很好地体会数学的奥妙，才能进行必要的理性思维训练。如何兼顾文科学生的特点进行有效的数学理性思维的训练，是我们教学中必须思考和解决的问题。通过长期的探索与实践，我们认为，在教学中引入案例教学法是解决该问题的有效手段之一。实践表明，通过引入案例教学法，极大地调动了学生的学习热情，在巩固基础知识的同时，学生的抽象思维、逻辑思维等在案例分析过程中得到了有效的训练，逻辑推理、抽象判断能力得到了明显提高。现就笔者在文科数学的教学实践过程中运用案例教学法的体会进行总结，与同仁交流。
一、文科数学课程中采用案例教学法的必要性
由于多方面的原因，高校中一般很少有专职的文科数学教师团队，文科数学课程的授课任务往往是由讲授理工科数学课程的教师兼任，教学方式也几乎是照搬理工科数学课程的模式。教学内容是理工科的压缩版，只是难度有所降低，在教学中也往往只注重知识的传授、公式的推导和题目的计算，几乎不重视数学思想的传授和数学思维的训练。结果是教师不愿意教，学生也不愿意学，文科数学课程成了教师、学生共同的负担，导致有些专业最后取消这门课程。这就要求我们必须改变原有的教学思路，尝试新的教学方式，努力提高文科学生的数学素质，实现开设文科数学的目的与初衷。
从知识发展的角度来看，文科数学课程的很多内容，如，微积分中导数的概念及定积分的定义、线性代数中线性方程组的建立与求解、随机数学中的假设检验与参数估计等，完全源自实际问题，就是一个个活生生的案例。讲授这些内容的过程，其实就是进行案例教学的过程。所以，在文科数学课程的教学中，与其说要引入案例教学法，不如认为案例教学一直就存在于教学的全过程。毫无疑问，在文科数学课程的教学中提倡案例教学法，是回归知识产生的本质，其必要性是毋庸置疑的。
二、案例的设计
案例教学法是一种以案例为基础的教学法，案例依据所学知识设计，教师扮演着设计者和激励者的角色，鼓励学生积极参与讨论。在案例教学过程中，学生要进行问题的描述整理、数学模型的建立、模型的求解、解的讨论和应用等。案例教学要能起到有效地激发学习兴趣、巩固所学知识、掌握实践应用等作用。所以，设计恰当的案例非常重要。
微积分、线性代数、随机数学课程教学中要求掌握的不少内容都可以看作案例的素材，比如，导数的定义、定积分的定义、重积分的计算、微分方程、线性方程组、矩阵特征值、数学期望、参数估计、假设检验等。在实际应用中，这类实例的解决，都需要经过问题分析、数学模型的建立、求解及解的讨论等阶段，而这些阶段则是案例分析中非常重要的步骤。所以，可以针对这些知识点，构造恰当的实例，通过实例的求解过程介绍相关知识，一举两得。
显然，只将教学内容的基本知识点设计成案例明显不够。我们还需要从政治、经济、生活、工作中遇到的各种数学问题入手，设计一些典型的案例。在我们课程的实践中，我们设计了许多这样的案例，如，女士应穿鞋跟多高的鞋子、公交巴士车门高度如何设计、预测谷物总产量、保险费率如何设计、交通信号灯时长设定、法庭审判证据采信问题、牛顿冷却定律与破案问题等。通过这些丰富的案例，最大限度地调动学生学习的积极性，让学生真正体会到数学的应用无处不在。
三、应用实践
文科数学课程的教学内容较多，每个内容都不可能讲得很深，如何安排案例的有机融入是个关键。这对授课教师提出了较高的要求。具体实施时，要合理安排案例内容与教学内容本身的讲解时间，案例讲解要有一定深度，又不要本末倒置。一些案例要在课堂上展开讲授，一些案例要作为延伸性内容让学生课后考虑。
下面是我们教学实践当中用到的两个案例。通过这两个例子，学生可以轻松地掌握相关的知识，培养一定的解决实际问题的能力。
案例1.试建立数学表达式，描述女士应穿鞋跟多高的鞋子看起来最美。
分析：我们知道，黄金分割比例是最协调的比例，所以当人下肢与身高比为黄金分割0.618时，穿起来最美。
建模：设女士身高hcm，下肢躯干部分长为lcm，鞋跟高为xcm。
若l≥0.618h，就不需要穿高跟鞋了。所以假设l≥0.618h。由■=0.618
得x=■=■
根据此模型，可计算每个女士应穿鞋跟多高的鞋子最好看。
比如，身高为162cm、下肢长为97cm的女士，应该跟高为8.2cm的鞋子最美。
案例2.某人A去医院做身体健康检查，结果显示癌症项化验结果呈阳性。那么，他就一定患上癌症了吗？
背景：随着医疗技术和设备的发展，通过化验来进行疾病的诊断极大地提高了诊断的准确性。但是，由于各种因素，任何化验都不可避免地存在一定的误诊率。所以，即使癌症项化验显示呈阳性，也并不意味着他就一定患上了癌症！那么，他有多大可能性患上癌症呢？
分析：这是一个条件概率问题。为了计算方便，做如下假设：该人A所在地区患有癌症的人占总人数的0.005，癌症患者对化验反应呈阳性的概率为0.95，正常人对这种化验反应是阳性的概率为0.04。问题明确为：当某人A癌症项化验呈阳性时，此人患癌症的概率有多大？
建模：在上述假设下，设B={某人A患有癌症}，C={化验结果呈阳性}，则■表示“某人A没有患上癌症”。
已知P（B）=0.005，P（■）=0.995，P（C|B）=0.95，P（C■）=0.04，
由贝叶斯公式，得
P（B|C）=■
=■≈0.1066
结论：在上述假设下，做癌症项化验呈阳性的人真正患上癌症的概率仅为约0.1066，即平均来讲，每1000个化验反应呈阳性的人中，只有107个左右的人真正患上了癌症。
四、结语
通过在文科数学教学中结合实际案例，并在教学过程中灵活运用案例教学法，让学生逐步形成一种建模思维，极大地激发了学生的学习热情，不仅让学生轻松学到了相关知识，而且加深了理解，掌握了应用所学知识分析和解决问题的能力。从学生调查的反馈信息看，大部分学生认为案例教学法对于拓宽他们的知识面和提高他们的整体素质是有意义的。当然，我们深知，对于文科数学类课程的建设和教学改革，这仅仅是个开始。如何更有效地将案例教学法以及其他教学法融入文科数学以及其他课程的教学中，将是一个复杂的课题，有待我们更深入地探索与实践。
参考文献：
[1]张勇，黄廷祝，傅英定.数学建模思想融入微积分课程教学初探[J].大学数学，2010，26（2）：158-160.
[2]顾沛.南开大学的“数学文化”课及其中的素质教育[J].中国教育，2006（9）.
[3]赵环光，方均斌.生活相遇数学[M].北京：科学出版社， 2013.
[4]董毅.数学思想与数学文化[M].安徽：安徽大学出版社，2012.
[关 键 词] 文科数学；案例教学；实践
[中图分类号] G642 [文献标志码] A [文章编号] 2096-0603（2017）01-0048-02
目前，许多高校都在文科类专业中开设了文科数学课程，讲授的内容主要包括微积分、线性代数和概率論与数理统计的基本知识。近几十年来，数学的应用发生了根本的变化，已经深入到了科学、工程、经济、社会、生活等几乎所有的领域。特别需要指出的是，数学的思想和方法对社会科学已产生了巨大的影响，在许多方面，数学已经成为解决问题的关键[1]。所以，在文科学生中开展数学知识的教育就显得非常重要，一方面可以拓宽学生知识面，更重要的是可以有效地加强文科学生数学思维和逻辑思维的训练。显而易见，对于文科学生来讲，我们不能简单照搬理工科学生的教学方式，不能过分强调数学的推理性和计算技巧，而应以数学素养和理性思维训练为主，在教学思路、教学内容和教学方式方面进行大力改革。当然，这也并不是说我们对文科学生只讲思想而不涉及任何的数学计算。事实上，学生必须要掌握一定的数学基础才能很好地体会数学的奥妙，才能进行必要的理性思维训练。如何兼顾文科学生的特点进行有效的数学理性思维的训练，是我们教学中必须思考和解决的问题。通过长期的探索与实践，我们认为，在教学中引入案例教学法是解决该问题的有效手段之一。实践表明，通过引入案例教学法，极大地调动了学生的学习热情，在巩固基础知识的同时，学生的抽象思维、逻辑思维等在案例分析过程中得到了有效的训练，逻辑推理、抽象判断能力得到了明显提高。现就笔者在文科数学的教学实践过程中运用案例教学法的体会进行总结，与同仁交流。
一、文科数学课程中采用案例教学法的必要性
由于多方面的原因，高校中一般很少有专职的文科数学教师团队，文科数学课程的授课任务往往是由讲授理工科数学课程的教师兼任，教学方式也几乎是照搬理工科数学课程的模式。教学内容是理工科的压缩版，只是难度有所降低，在教学中也往往只注重知识的传授、公式的推导和题目的计算，几乎不重视数学思想的传授和数学思维的训练。结果是教师不愿意教，学生也不愿意学，文科数学课程成了教师、学生共同的负担，导致有些专业最后取消这门课程。这就要求我们必须改变原有的教学思路，尝试新的教学方式，努力提高文科学生的数学素质，实现开设文科数学的目的与初衷。
从知识发展的角度来看，文科数学课程的很多内容，如，微积分中导数的概念及定积分的定义、线性代数中线性方程组的建立与求解、随机数学中的假设检验与参数估计等，完全源自实际问题，就是一个个活生生的案例。讲授这些内容的过程，其实就是进行案例教学的过程。所以，在文科数学课程的教学中，与其说要引入案例教学法，不如认为案例教学一直就存在于教学的全过程。毫无疑问，在文科数学课程的教学中提倡案例教学法，是回归知识产生的本质，其必要性是毋庸置疑的。
二、案例的设计
案例教学法是一种以案例为基础的教学法，案例依据所学知识设计，教师扮演着设计者和激励者的角色，鼓励学生积极参与讨论。在案例教学过程中，学生要进行问题的描述整理、数学模型的建立、模型的求解、解的讨论和应用等。案例教学要能起到有效地激发学习兴趣、巩固所学知识、掌握实践应用等作用。所以，设计恰当的案例非常重要。
微积分、线性代数、随机数学课程教学中要求掌握的不少内容都可以看作案例的素材，比如，导数的定义、定积分的定义、重积分的计算、微分方程、线性方程组、矩阵特征值、数学期望、参数估计、假设检验等。在实际应用中，这类实例的解决，都需要经过问题分析、数学模型的建立、求解及解的讨论等阶段，而这些阶段则是案例分析中非常重要的步骤。所以，可以针对这些知识点，构造恰当的实例，通过实例的求解过程介绍相关知识，一举两得。
显然，只将教学内容的基本知识点设计成案例明显不够。我们还需要从政治、经济、生活、工作中遇到的各种数学问题入手，设计一些典型的案例。在我们课程的实践中，我们设计了许多这样的案例，如，女士应穿鞋跟多高的鞋子、公交巴士车门高度如何设计、预测谷物总产量、保险费率如何设计、交通信号灯时长设定、法庭审判证据采信问题、牛顿冷却定律与破案问题等。通过这些丰富的案例，最大限度地调动学生学习的积极性，让学生真正体会到数学的应用无处不在。
三、应用实践
文科数学课程的教学内容较多，每个内容都不可能讲得很深，如何安排案例的有机融入是个关键。这对授课教师提出了较高的要求。具体实施时，要合理安排案例内容与教学内容本身的讲解时间，案例讲解要有一定深度，又不要本末倒置。一些案例要在课堂上展开讲授，一些案例要作为延伸性内容让学生课后考虑。
下面是我们教学实践当中用到的两个案例。通过这两个例子，学生可以轻松地掌握相关的知识，培养一定的解决实际问题的能力。
案例1.试建立数学表达式，描述女士应穿鞋跟多高的鞋子看起来最美。
分析：我们知道，黄金分割比例是最协调的比例，所以当人下肢与身高比为黄金分割0.618时，穿起来最美。
建模：设女士身高hcm，下肢躯干部分长为lcm，鞋跟高为xcm。
若l≥0.618h，就不需要穿高跟鞋了。所以假设l≥0.618h。由■=0.618
得x=■=■
根据此模型，可计算每个女士应穿鞋跟多高的鞋子最好看。
比如，身高为162cm、下肢长为97cm的女士，应该跟高为8.2cm的鞋子最美。
案例2.某人A去医院做身体健康检查，结果显示癌症项化验结果呈阳性。那么，他就一定患上癌症了吗？
背景：随着医疗技术和设备的发展，通过化验来进行疾病的诊断极大地提高了诊断的准确性。但是，由于各种因素，任何化验都不可避免地存在一定的误诊率。所以，即使癌症项化验显示呈阳性，也并不意味着他就一定患上了癌症！那么，他有多大可能性患上癌症呢？
分析：这是一个条件概率问题。为了计算方便，做如下假设：该人A所在地区患有癌症的人占总人数的0.005，癌症患者对化验反应呈阳性的概率为0.95，正常人对这种化验反应是阳性的概率为0.04。问题明确为：当某人A癌症项化验呈阳性时，此人患癌症的概率有多大？
建模：在上述假设下，设B={某人A患有癌症}，C={化验结果呈阳性}，则■表示“某人A没有患上癌症”。
已知P（B）=0.005，P（■）=0.995，P（C|B）=0.95，P（C■）=0.04，
由贝叶斯公式，得
P（B|C）=■
=■≈0.1066
结论：在上述假设下，做癌症项化验呈阳性的人真正患上癌症的概率仅为约0.1066，即平均来讲，每1000个化验反应呈阳性的人中，只有107个左右的人真正患上了癌症。
四、结语
通过在文科数学教学中结合实际案例，并在教学过程中灵活运用案例教学法，让学生逐步形成一种建模思维，极大地激发了学生的学习热情，不仅让学生轻松学到了相关知识，而且加深了理解，掌握了应用所学知识分析和解决问题的能力。从学生调查的反馈信息看，大部分学生认为案例教学法对于拓宽他们的知识面和提高他们的整体素质是有意义的。当然，我们深知，对于文科数学类课程的建设和教学改革，这仅仅是个开始。如何更有效地将案例教学法以及其他教学法融入文科数学以及其他课程的教学中，将是一个复杂的课题，有待我们更深入地探索与实践。
参考文献：
[1]张勇，黄廷祝，傅英定.数学建模思想融入微积分课程教学初探[J].大学数学，2010，26（2）：158-160.
[2]顾沛.南开大学的“数学文化”课及其中的素质教育[J].中国教育，2006（9）.
[3]赵环光，方均斌.生活相遇数学[M].北京：科学出版社， 2013.
[4]董毅.数学思想与数学文化[M].安徽：安徽大学出版社，2012.