论文部分内容阅读
【摘要】本文通过具体的案例从线性代数的用途、概念的引入以及概念的几何意义三方面探索在工科线性代数教学中用直观的方式来向学生展示抽象的代数知识，以期使得线性代数成为一门有趣的、易记的、好学的数学课程.
【关键词】线性代数 直观教学 矩阵 特征值
随着信息技术的飞速发展，线性代数对工科学生的重要性是日益凸显，作为工科学生的一门基础课程，线性代数的基本知识是他（她）们今后能够很好的完成自己专业课程相关内容的学习以及专业技术的研究和创新的前提，当然也是他（她）们能够成为一名优秀工程师的必备基础.由于线性代数作为数学课程的抽象性，工科同学要想掌握它也并非易事甚至会产生对她的抵触情绪.然而，如果教师在教学过程中能够多采用直观教学的方式，将线性代数中的概念、定理以形象化的方式展示给学生，则无论是教学效果或学生对线性代数课程的态度都能有所不同，下面从三个方面来探讨如何将线性代数中的抽象问题直观化.
1. 线性代数用途的直观展示.
“学习线性代数有什么用？”这是工科同学在线性代数第一次课最喜欢问的一个问题.这个问题的答案直接关系到学生对线性代数的学习兴趣和持续学习的动力，因此教师处理的方式应该是谨慎的.一味的回避性的回答“等你今后学习到专业课就知道了”或者仅仅是抽象的扔出那句话“线性代数在工程技术中都有大量的应用”实际上都无法使学生正真感受到线性代数的用处，使得他（她）们学习线性代数的目的就完全降低为仅仅是完成课程，拿到学分而已，这样不管是对学生的后继学习、教师的教学以及本学科的发展都是不利的.其实回答这个问题的最好办法就是把线性代数的应用实例的展示给学生看，这样学生会有一个形象、直观的感受并认识到线性代数并不是完全抽象、不可捉摸的，它其实就在实际生活中.下面通过一个线性方程组的例子让学生能认识到线性代数的有用性.
例1 交通网络流问题[1].
网络流由称为节点的点集以及连接一些或全部节点的弧组成，通过每条弧的流的方向固定，流速已知或可以由某一变量表示.网络流的基本假设是总的流入等于总的流出，且通过每一个节点的流可以用线性方程描述.科学家、工程师或者经济学家常常运用线性方程组来研究在仅有部分信息已知的条件下的城市交通流量规律、电网中的电流规律、商品的从生产者到消费者的分配规律等网络分析问题.例如，图1表示某城市市区的某一街区一些单行道在某个时段内的交通流量（即通过的机动车数量），试确定此网络流的规律.
解 如图1所示，标记道路的节点和弧的未知流，它们满足下列等式
该方程组的解为x1=70+x4，x2=50+x4，x3=40+x4，x4自由取值.如果知道在某一路口的车辆数量，则x1，x2，x3，x4惟一确定，从而确定出每条弧线上的流量.
对这个问题可进一步提问：如果要调节该街区的车流量该如何调节？需不需要调节每个节点上的车流量？
通过该例子，学生不仅认识到了线性代数不仅能描述、反映生活实际中的问题，而且为科学规划、决策提供依据.
2.概念引入直观
线性代数的一个特点是概念繁多，对这些概念能做到准确的理解是工科学生学习的一个难点.在现有的诸多线性代数教材中，在引入一个概念的时候一般还是采用的对待数学系学生的办法，或者直接“掉下”一个概念或者在概念后稍微作一点解释，很少有在“这个概念是怎么来的”上边多花点笔墨，而这恰恰是工科学生在面对一个数学概念的时候脑海中最先冒出的问题.在线性代数教学中如果能够对概念的由来有个直观的展示，那么对学生理解这个概念的帮助是很大的，因为这是领会知识的起点，是掌握知识的首要环节.
矩阵是线性代数的一个基本概念，大部分教材在给出矩阵定义的时候仅仅是把它叙述成一个数表，而对于矩阵是怎么从实际中来的，为什么需要这么一个概念很少提及，这使得学生在学习的时候未免会感到迷惑.在教学实践中，我们可以补充一些包含矩阵思想的例子，这样会使学生感到矩阵这个重要的工具并不是无水之源.下面以一案例说明从具体问题“抽象”出矩阵的过程.
例2 策略与矩阵：田忌赛马的对策.
“田忌赛马”是大家都耳熟能详的一个历史典故，当时孙膑为田忌提出了表1所示的赛马对策使得田忌赢得了比赛.
如果对“输”赋予0分，“赢”赋予1分，则上面的对阵表可用数字表示为 由于这个数字表格表示了双方的对阵形势，应该把它看作一个整体，常用一个括弧括起来 我们就称这样一个由括弧括起来的数字表格为一个矩阵.从这个矩阵可以看出孙膑的对策是就是从这个矩阵的不同行和不同列中选出两个“1”，而且这个策略是唯一的.
从这个例子中学生可以认识到矩阵是来源于实际的，是对实际问题的抽象，而且本例还展示了一个简单的抽象过程，对学习矩阵的概念是有帮助的.
3.几何直观
代数与几何是紧密联系的，但是现有的国内教材中把这两者有机结合的并不多见（有的是生硬的分成线性代数和解析几何两部分）.几何图形由于具有直观、形象的特点能给人以特别深刻的印象，因此学生对于几何的兴趣是比较浓厚的.如果在教学中多用几何的图形来“翻译”抽象的线性代数概念，对于学生理解这些概念能起到事半功倍的效果，下面以特征值、特征向量为例说明几何图形对理解线性代数中概念起到的促进作用.
例3 特征值的几何意义.
许多线性代数教材中给出的方阵特征值、特征向量的定义为：对于方阵A，如果存在非零向量p和数λ使得Ap=λp，则称数λ是A的特征值，p是对应于该特征值的特征向量.其实，学生读完这段抽象的话语后很少能弄清楚“特征值到底是什么？”“我为什么需要它？”.如果在教学的时候，结合矩阵乘向量和数乘向量的几何意义作出图2来阐述该定义，则特征值的意义就会更加明确.
从图2可以看出，当λ是实数的时候特征向量其实就是在图形变换Ap下没有偏离自己所在直线方向的非零向量，而特征值的绝对值就是该伸缩变换的伸缩率.
通过这样的几何图示，学生对特征值、特征向量的概念就会形成比单纯的数学公式更加深刻的印象.
总之，线性代数虽然是一门抽象的数学课程，但是我们应该通过直观教学的方式把这些抽象的知识“翻译”成形象的、活泼的内容，让学生学习线性代数成为一件有趣的事情，这无论对人材的培养还是学科的发展都是有益的.
参考文献
[1] 张兴元，万美凯，朱星亮. 线性代数[M]. 成都：西南交通大学出版社，2012.
[2] 伍新春. 高等教育心理学[M]. 北京：高等教育出版社，1998.
[3] D avid C. Lay. 线性代数及其应用（第三版）. 北京：人民邮电出版社，2008.
【关键词】线性代数 直观教学 矩阵 特征值
随着信息技术的飞速发展，线性代数对工科学生的重要性是日益凸显，作为工科学生的一门基础课程，线性代数的基本知识是他（她）们今后能够很好的完成自己专业课程相关内容的学习以及专业技术的研究和创新的前提，当然也是他（她）们能够成为一名优秀工程师的必备基础.由于线性代数作为数学课程的抽象性，工科同学要想掌握它也并非易事甚至会产生对她的抵触情绪.然而，如果教师在教学过程中能够多采用直观教学的方式，将线性代数中的概念、定理以形象化的方式展示给学生，则无论是教学效果或学生对线性代数课程的态度都能有所不同，下面从三个方面来探讨如何将线性代数中的抽象问题直观化.
1. 线性代数用途的直观展示.
“学习线性代数有什么用？”这是工科同学在线性代数第一次课最喜欢问的一个问题.这个问题的答案直接关系到学生对线性代数的学习兴趣和持续学习的动力，因此教师处理的方式应该是谨慎的.一味的回避性的回答“等你今后学习到专业课就知道了”或者仅仅是抽象的扔出那句话“线性代数在工程技术中都有大量的应用”实际上都无法使学生正真感受到线性代数的用处，使得他（她）们学习线性代数的目的就完全降低为仅仅是完成课程，拿到学分而已，这样不管是对学生的后继学习、教师的教学以及本学科的发展都是不利的.其实回答这个问题的最好办法就是把线性代数的应用实例的展示给学生看，这样学生会有一个形象、直观的感受并认识到线性代数并不是完全抽象、不可捉摸的，它其实就在实际生活中.下面通过一个线性方程组的例子让学生能认识到线性代数的有用性.
例1 交通网络流问题[1].
网络流由称为节点的点集以及连接一些或全部节点的弧组成，通过每条弧的流的方向固定，流速已知或可以由某一变量表示.网络流的基本假设是总的流入等于总的流出，且通过每一个节点的流可以用线性方程描述.科学家、工程师或者经济学家常常运用线性方程组来研究在仅有部分信息已知的条件下的城市交通流量规律、电网中的电流规律、商品的从生产者到消费者的分配规律等网络分析问题.例如，图1表示某城市市区的某一街区一些单行道在某个时段内的交通流量（即通过的机动车数量），试确定此网络流的规律.
解 如图1所示，标记道路的节点和弧的未知流，它们满足下列等式
该方程组的解为x1=70+x4，x2=50+x4，x3=40+x4，x4自由取值.如果知道在某一路口的车辆数量，则x1，x2，x3，x4惟一确定，从而确定出每条弧线上的流量.
对这个问题可进一步提问：如果要调节该街区的车流量该如何调节？需不需要调节每个节点上的车流量？
通过该例子，学生不仅认识到了线性代数不仅能描述、反映生活实际中的问题，而且为科学规划、决策提供依据.
2.概念引入直观
线性代数的一个特点是概念繁多，对这些概念能做到准确的理解是工科学生学习的一个难点.在现有的诸多线性代数教材中，在引入一个概念的时候一般还是采用的对待数学系学生的办法，或者直接“掉下”一个概念或者在概念后稍微作一点解释，很少有在“这个概念是怎么来的”上边多花点笔墨，而这恰恰是工科学生在面对一个数学概念的时候脑海中最先冒出的问题.在线性代数教学中如果能够对概念的由来有个直观的展示，那么对学生理解这个概念的帮助是很大的，因为这是领会知识的起点，是掌握知识的首要环节.
矩阵是线性代数的一个基本概念，大部分教材在给出矩阵定义的时候仅仅是把它叙述成一个数表，而对于矩阵是怎么从实际中来的，为什么需要这么一个概念很少提及，这使得学生在学习的时候未免会感到迷惑.在教学实践中，我们可以补充一些包含矩阵思想的例子，这样会使学生感到矩阵这个重要的工具并不是无水之源.下面以一案例说明从具体问题“抽象”出矩阵的过程.
例2 策略与矩阵：田忌赛马的对策.
“田忌赛马”是大家都耳熟能详的一个历史典故，当时孙膑为田忌提出了表1所示的赛马对策使得田忌赢得了比赛.
如果对“输”赋予0分，“赢”赋予1分，则上面的对阵表可用数字表示为 由于这个数字表格表示了双方的对阵形势，应该把它看作一个整体，常用一个括弧括起来 我们就称这样一个由括弧括起来的数字表格为一个矩阵.从这个矩阵可以看出孙膑的对策是就是从这个矩阵的不同行和不同列中选出两个“1”，而且这个策略是唯一的.
从这个例子中学生可以认识到矩阵是来源于实际的，是对实际问题的抽象，而且本例还展示了一个简单的抽象过程，对学习矩阵的概念是有帮助的.
3.几何直观
代数与几何是紧密联系的，但是现有的国内教材中把这两者有机结合的并不多见（有的是生硬的分成线性代数和解析几何两部分）.几何图形由于具有直观、形象的特点能给人以特别深刻的印象，因此学生对于几何的兴趣是比较浓厚的.如果在教学中多用几何的图形来“翻译”抽象的线性代数概念，对于学生理解这些概念能起到事半功倍的效果，下面以特征值、特征向量为例说明几何图形对理解线性代数中概念起到的促进作用.
例3 特征值的几何意义.
许多线性代数教材中给出的方阵特征值、特征向量的定义为：对于方阵A，如果存在非零向量p和数λ使得Ap=λp，则称数λ是A的特征值，p是对应于该特征值的特征向量.其实，学生读完这段抽象的话语后很少能弄清楚“特征值到底是什么？”“我为什么需要它？”.如果在教学的时候，结合矩阵乘向量和数乘向量的几何意义作出图2来阐述该定义，则特征值的意义就会更加明确.
从图2可以看出，当λ是实数的时候特征向量其实就是在图形变换Ap下没有偏离自己所在直线方向的非零向量，而特征值的绝对值就是该伸缩变换的伸缩率.
通过这样的几何图示，学生对特征值、特征向量的概念就会形成比单纯的数学公式更加深刻的印象.
总之，线性代数虽然是一门抽象的数学课程，但是我们应该通过直观教学的方式把这些抽象的知识“翻译”成形象的、活泼的内容，让学生学习线性代数成为一件有趣的事情，这无论对人材的培养还是学科的发展都是有益的.
参考文献
[1] 张兴元，万美凯，朱星亮. 线性代数[M]. 成都：西南交通大学出版社，2012.
[2] 伍新春. 高等教育心理学[M]. 北京：高等教育出版社，1998.
[3] D avid C. Lay. 线性代数及其应用（第三版）. 北京：人民邮电出版社，2008.