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一、引入话题，紧扣认知，聚焦问题
刘老师以《田忌赛马》这个经典故事入手，以不同的方式为学生搭建起探究交流的平台。一是学生先将故事内容内化，再进行表述，刘老师将学生表述的内容用板书呈现，活动内容由扁平化转为立体化，有效促进学生对故事的整体认知。二是学生在观看视频时，他们的视觉感知让故事脉络得以梳理，从而深化学生借助事件发展线索巩固对活动内容的理解。刘老师以不同的方式为学习活动搭起“支点”，以学生已有的认知为暗线，从而牵引出蕴含于故事中的“对策”数学问题，引发学生的思考，形成本课探究活动的核心问题。刘老师的巧设悬念给学生的设疑提供足够的时间与空间，从而打破了传统教学直接给予学生问题的模式，巧用学生的已有生活经验，让其感受到数学知识与生活的连接是紧密的，是可触可感的，让学生产生探究的欲望，有效建构数学知识与现实生活的桥梁。数学建模的培养是基于学生能够在实际情境中发现问题、提出问题，是促成学生数学学科素养形成的重要因素之一。
二、引出策略，紧扣目标，聚焦探究
1. 自主探究，从数学知识中寻找思想方法。
策略是一个较为抽象的概念，学生对它的认知是陌生的，教学中应将策略与生活实例相连接，使其更加具体化。要让学生能够感知策略的内涵，这就需要学生经历知识的形成过程，才不会感觉到数学的枯燥与乏味。数学教学应密切联系学生的生活实际，从已有知识和生活经验入手，从而改变学生不善思考、不善质疑的状态，转变成为学习探究、合作交流的主体。在教学中，刘老师先用一段动画激起了学生的活动兴趣，让他们以积极的心态迎接挑战，不由自主地进入对“最优方案”的思索中。接着，刘老师让学生思考并动手操作，整理不同规则下战胜齐王的方案，并进行验证。教学时刘老师注重问题引导，让学生起疑生惑、大胆设想、辨析分解、研究问题，而不是急于呈现结果，使学生对事物的认识由浅入深、层层推进，思维的发展也随之发生。这个过程看似浅显却在不经意间让学生经历而悟其意，使学生切实体会到策略在这场比赛中的重要性。刘老师匠心独具的设计，使活动更具层次感、动态化。
例如，刘老师在展示故事内容后设置了一系列的问题：（1）刚才是三局两胜，我们改变规则，一局定输赢，你认为谁会赢？理由是什么？策略是什么？（2）如果还是一局定输赢，但方式改为随机抽马，谁会赢？说一说你的理由。（3）除了规则会影响策略的选择，还有什么会影响策略的选择？（4）除了规则，实力也是影响策略的因素，什么样的实力策略好用呢？
劉老师充分挖掘、利用教学资源，盘活教学内容，使抽象知识更为形象、丰富，再以问题串形式，激发学生探究问题的兴趣，使课堂气氛更加活跃，学生由被动接招到自主设计问题、主动提出问题，这个过程恰是思维发展的过程，亦为知识建构的过程。刘老师设置的问题串并非是碎片化的，它们之间是有关联性的，是层次鲜明的，且系列化呈现的。学生在互动式交流中学会思考，深度学习得以展开，高阶思维得以培养，这正是数学学科素养形成的重要过程。
2. 连接生活，感悟知识，优化策略。
教学中，教师应关注学科知识与现实生活的关系，让枯燥的知识具有可感性与可视性，这样才能引发学生学习的主动性。在本课教学中，刘老师安排了两种类别的扑克牌游戏。游戏一：双方随机抽取三张扑克牌，摊开牌面，选牌比大小，三局两胜。多次比较后，我们发现？游戏二：有九张牌，两人轮流取牌，每次各取1张或2张，轮流取，谁取到最后一张牌谁就获胜。刘老师设计游戏一，意在帮助学生在动手操作中，思考、感悟田忌赛马故事中蕴含的对策问题，学习用列表的方式协助解决问题，许多教师可能就此完成教学任务。刘老师却精心设计了游戏二，改变游戏规则，要求学生用所学的策略知识来解决游戏中的问题。学生在玩游戏的过程中拓展了对知识的认知，有利于学生从多角度思考问题，培养了学生思维的灵活性与敏捷性，实现解决问题能力的提升。教学中，刘老师通过游戏的方式让学习活动更具生活性，将知识蕴含其中，使学生玩有所悟、学有所思，从而让学生感受到数学与现实生活息息相关。该环节另一个精妙之处在于，刘老师让学生在不知不觉中悟其理、用其法，从数学的角度寻找解决问题的策略，促进了知识的互补互联。学生在倾听中学会换位思考，学会了从多种方法中寻找最优策略，提升优化意识，将提高解决问题能力的目标落实到位。试想，如果一开始刘老师便将博弈中的策略通过讲述传递给学生，或用一系列体现排列组合思想的表格让学生套用，数学知识的精妙之处便会被淹没于形式之中，学生的思维将无法伸展。
三、引发思维，紧扣建模，聚焦素养
数学建模，是指将现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题，构建模型解决问题的过程。本节课，刘老师关注学生的思维拓展，围绕问题提取关键信息，帮助他们理解博弈策略中渗透着的数学思想。刘老师通过学生喜爱的扑克牌游戏入手，引发学生的深度思维。在游戏一中，学生带着数学思维方式去玩，通过在表格中填写结果发现问题、解决问题，体会博弈策略在生活中的运用。在展示环节中，情况一：A组三张牌2、5、4，最大的数是5，B组三张牌6、7、8，最小的数是6，A组最大的数5小于B组最小的数6，学生明白了当双方实力过于悬殊时是无对策可言的。情况二：A组三张牌1、5、8和B组的三张牌3、4、9。三次比较分别为——1、5、8对3、9、4，B组赢;1、5、8对4、9、3，B组赢;1、5、8对9、3、4，A组赢。通过比较后，刘老师引导学生思考这组牌有什么特点。问题的切入触发学生的思维发散，让他们主动寻找到扑克牌游戏与田忌赛马的相似处，A组最小的数与B组最大的数对弈，A组以中等的数对B组最小的数，A组以最大的数对B组中等的数，当双方实力相当情况下，便可以运用田忌赛马策略了。策略知识犹如清泉渗入学生心间，思维在大脑中延展，刘老师话锋一转便将课堂带回田忌赛马情境中。以学生的思考为基础继续探究并完成田忌赛马策略表格，当表格中完整呈现6种策略时，优化策略方法与运用策略模式便在学生脑海中建立。当刘老师再次问学生，你认为比赛中决定胜负的因素是什么？“规则、实力和条件是策略产生的三个必备元素”的认知已然水到渠成。数学问题得以解决，数学思维则在不断完善数学模型体系建构时得以广泛延展。
（作者单位：福建省石狮市教师进修学校 责任编辑：王彬）
刘老师以《田忌赛马》这个经典故事入手，以不同的方式为学生搭建起探究交流的平台。一是学生先将故事内容内化，再进行表述，刘老师将学生表述的内容用板书呈现，活动内容由扁平化转为立体化，有效促进学生对故事的整体认知。二是学生在观看视频时，他们的视觉感知让故事脉络得以梳理，从而深化学生借助事件发展线索巩固对活动内容的理解。刘老师以不同的方式为学习活动搭起“支点”，以学生已有的认知为暗线，从而牵引出蕴含于故事中的“对策”数学问题，引发学生的思考，形成本课探究活动的核心问题。刘老师的巧设悬念给学生的设疑提供足够的时间与空间，从而打破了传统教学直接给予学生问题的模式，巧用学生的已有生活经验，让其感受到数学知识与生活的连接是紧密的，是可触可感的，让学生产生探究的欲望，有效建构数学知识与现实生活的桥梁。数学建模的培养是基于学生能够在实际情境中发现问题、提出问题，是促成学生数学学科素养形成的重要因素之一。
二、引出策略，紧扣目标，聚焦探究
1. 自主探究，从数学知识中寻找思想方法。
策略是一个较为抽象的概念，学生对它的认知是陌生的，教学中应将策略与生活实例相连接，使其更加具体化。要让学生能够感知策略的内涵，这就需要学生经历知识的形成过程，才不会感觉到数学的枯燥与乏味。数学教学应密切联系学生的生活实际，从已有知识和生活经验入手，从而改变学生不善思考、不善质疑的状态，转变成为学习探究、合作交流的主体。在教学中，刘老师先用一段动画激起了学生的活动兴趣，让他们以积极的心态迎接挑战，不由自主地进入对“最优方案”的思索中。接着，刘老师让学生思考并动手操作，整理不同规则下战胜齐王的方案，并进行验证。教学时刘老师注重问题引导，让学生起疑生惑、大胆设想、辨析分解、研究问题，而不是急于呈现结果，使学生对事物的认识由浅入深、层层推进，思维的发展也随之发生。这个过程看似浅显却在不经意间让学生经历而悟其意，使学生切实体会到策略在这场比赛中的重要性。刘老师匠心独具的设计，使活动更具层次感、动态化。
例如，刘老师在展示故事内容后设置了一系列的问题：（1）刚才是三局两胜，我们改变规则，一局定输赢，你认为谁会赢？理由是什么？策略是什么？（2）如果还是一局定输赢，但方式改为随机抽马，谁会赢？说一说你的理由。（3）除了规则会影响策略的选择，还有什么会影响策略的选择？（4）除了规则，实力也是影响策略的因素，什么样的实力策略好用呢？
劉老师充分挖掘、利用教学资源，盘活教学内容，使抽象知识更为形象、丰富，再以问题串形式，激发学生探究问题的兴趣，使课堂气氛更加活跃，学生由被动接招到自主设计问题、主动提出问题，这个过程恰是思维发展的过程，亦为知识建构的过程。刘老师设置的问题串并非是碎片化的，它们之间是有关联性的，是层次鲜明的，且系列化呈现的。学生在互动式交流中学会思考，深度学习得以展开，高阶思维得以培养，这正是数学学科素养形成的重要过程。
2. 连接生活，感悟知识，优化策略。
教学中，教师应关注学科知识与现实生活的关系，让枯燥的知识具有可感性与可视性，这样才能引发学生学习的主动性。在本课教学中，刘老师安排了两种类别的扑克牌游戏。游戏一：双方随机抽取三张扑克牌，摊开牌面，选牌比大小，三局两胜。多次比较后，我们发现？游戏二：有九张牌，两人轮流取牌，每次各取1张或2张，轮流取，谁取到最后一张牌谁就获胜。刘老师设计游戏一，意在帮助学生在动手操作中，思考、感悟田忌赛马故事中蕴含的对策问题，学习用列表的方式协助解决问题，许多教师可能就此完成教学任务。刘老师却精心设计了游戏二，改变游戏规则，要求学生用所学的策略知识来解决游戏中的问题。学生在玩游戏的过程中拓展了对知识的认知，有利于学生从多角度思考问题，培养了学生思维的灵活性与敏捷性，实现解决问题能力的提升。教学中，刘老师通过游戏的方式让学习活动更具生活性，将知识蕴含其中，使学生玩有所悟、学有所思，从而让学生感受到数学与现实生活息息相关。该环节另一个精妙之处在于，刘老师让学生在不知不觉中悟其理、用其法，从数学的角度寻找解决问题的策略，促进了知识的互补互联。学生在倾听中学会换位思考，学会了从多种方法中寻找最优策略，提升优化意识，将提高解决问题能力的目标落实到位。试想，如果一开始刘老师便将博弈中的策略通过讲述传递给学生，或用一系列体现排列组合思想的表格让学生套用，数学知识的精妙之处便会被淹没于形式之中，学生的思维将无法伸展。
三、引发思维，紧扣建模，聚焦素养
数学建模，是指将现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题，构建模型解决问题的过程。本节课，刘老师关注学生的思维拓展，围绕问题提取关键信息，帮助他们理解博弈策略中渗透着的数学思想。刘老师通过学生喜爱的扑克牌游戏入手，引发学生的深度思维。在游戏一中，学生带着数学思维方式去玩，通过在表格中填写结果发现问题、解决问题，体会博弈策略在生活中的运用。在展示环节中，情况一：A组三张牌2、5、4，最大的数是5，B组三张牌6、7、8，最小的数是6，A组最大的数5小于B组最小的数6，学生明白了当双方实力过于悬殊时是无对策可言的。情况二：A组三张牌1、5、8和B组的三张牌3、4、9。三次比较分别为——1、5、8对3、9、4，B组赢;1、5、8对4、9、3，B组赢;1、5、8对9、3、4，A组赢。通过比较后，刘老师引导学生思考这组牌有什么特点。问题的切入触发学生的思维发散，让他们主动寻找到扑克牌游戏与田忌赛马的相似处，A组最小的数与B组最大的数对弈，A组以中等的数对B组最小的数，A组以最大的数对B组中等的数，当双方实力相当情况下，便可以运用田忌赛马策略了。策略知识犹如清泉渗入学生心间，思维在大脑中延展，刘老师话锋一转便将课堂带回田忌赛马情境中。以学生的思考为基础继续探究并完成田忌赛马策略表格，当表格中完整呈现6种策略时，优化策略方法与运用策略模式便在学生脑海中建立。当刘老师再次问学生，你认为比赛中决定胜负的因素是什么？“规则、实力和条件是策略产生的三个必备元素”的认知已然水到渠成。数学问题得以解决，数学思维则在不断完善数学模型体系建构时得以广泛延展。
（作者单位：福建省石狮市教师进修学校 责任编辑：王彬）