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摘要：在含有非线性电阻的电路中， 由于非线性电阻的U-I图是一条曲线，不便列方程进行代数运算，只能用作图法求解当电路中含有两个或两个以上的不相同的非线性电阻时，需采用适当的方法处理和变换，才能利用作图法求解.
关键词：非线性电阻；伏安特性曲线；图解法；等效法
非线性电阻的阻值会随其电压或电流的变化而改变，其伏安特性曲线是一条过坐标原点的曲线.在含有非线性电阻的电路中，因非线性电阻的U-I关系不便用函数方程描述，作图法成为求解非线性电阻电路最有效的方法，这类试题对学生的能力要求较高，考查学生物理思维能力、物理实验能力、科学探究能力和综合应用能力虽然作图法在求解非线性电阻电路问题时具有突出的优越性，但是，当电路中同时含有两个或两个以上的不同的非线性电阻时，必须采取适当的处理或变换，才能利用作图法求解，本文以几种典型电路为例，探讨求解两个非线性电阻实际工作功率的方法.
例题额定电压均为220 V的灯泡“L1和L2，对应的伏安特性曲线如图1所示，现有一220V的稳压电源，内阻可忽略不计，一个滑动变阻器Rp，两个阻值为440Ω的定值电阻R0，其阻值不随温度的改变而改变，若将这些元件连接成以下几种电路，求此时灯泡L1和L2各自的实际功率.
1平移法
11等电流线平移法
问题1若将两灯泡L1和L2串联后直接在220V的电源上，电路如图2所示，求此时灯泡L1、L2的实际功率？
解析电路为L1和L2串联，流过L1和L2的电流及两灯的电压满足I1=I2，U1 U2=220 V，由此可知，两灯泡的实际工作点必然位于同一条竖直线（等电流线）上，将此等电流线不断平移，直至与L1、L2的伏安特性曲线的两交点a、b的电压坐标之和等于220V，如图3中虚线1所示，此时两点坐标为a（022A，153V）和b（022A，67V），a、b两点坐标值即为此时灯泡L1、L2的工作电流和工作电压，由公式P=IU可计算得此时L1、L2的功率分别为337W和147W.
12等电压线平移法
问题2若将两灯泡L1和L2先并联，再与滑动变阻器串联后接在220V电源上，电路如图4所示，利用滑动变阻器改变灯泡两端的电压，并测得其干路电流为045A，求此时灯泡L1、L2的实际功率？
解析电路为L1和L2并联，流过L1和L2的电流及两灯的电压满足I1 I2=I干=045A，U1=U2，由此可知，两灯泡的实际工作点必然位于同一條水平直线（等电压线）上，参考问题1中的平移法，找到虚线2，如图3所示，使虚线2与两伏安特性曲线交点c、d的电流坐标之和等于045A，两点的坐标为c（016A，90V），d（029A，90V），可计算得L1、L2的功率分别为144W和261W.
点评平移法从串并联电路的基本特性出发，牢牢抓住串联电路各电阻电流相等和并联电路的各并联支路电压相等这两个规律，找到两非线性电阻间电流和电压的关系，作图求解，思路自然、清晰，符合学生认知水平和思维习惯，当然，缺点是找到对应工作点的过程可能会花费较长的时间.
2相交法
将非线性电阻接入闭合电路时，电路依旧遵从闭合电路欧姆定律，由此可导出非线性电阻的电压U和电流I满足的线性函数关系，在U-I图象上表现为一条直线；非线性电阻阻值是其本身的属性，其阻值随电流或电压的变化关系体现在该电阻的伏安特性曲线上若将上述直线和曲线画于同一张U-I图上，交点即为该非线性电阻在此电路中的实际工作电流和电压[1]
问题3若将两灯泡L1和L2分别与一定值电阻R0串联后，再并联接在220V的电源上，电路如图5所示，求此时灯泡L1、L2的实际功率？
解析通过灯泡L1回路所满足的闭合电路欧姆定律为E=U1 I1R0，其中U1、I1分别为灯泡L1两端的电压和通过灯泡L1的电流，代入数值得U1=220-440I1，同理可得灯泡L2回路的闭合电路欧姆定律，U2=220-440I2，其中U2、I2分别为灯泡L2的电压和电流 将上述两方程所对应的直线画在图6中（两直线恰好重合），设为直线3，如图6所示，直线3与两灯泡的伏安特性曲线分别相交于e、f两点，对应坐标为e（021A，127V），f（029A，92V），计算得两灯泡的实际功率均约为267W.
点评为使两图线的交点有意义，闭合电路欧姆定律方程U=E-Ir中的U和I应设为该非线性电阻上的电压和电流，与该非线性电阻的伏安特性曲线上U和I的物理意义保持高度一致，只有在此前提条件下，两图线的交点才能代表该非线性电阻在此电路中的工作点.
3等效法
31两非线性电阻串联时的等效电阻法
问题4若将两灯泡L1、L2与一个定值电阻R0串联后接在220V的电源上，电路如图7所示，求此时灯泡L1、L2的实际功率？
解析由闭合电路欧姆定律可得，E=U1 U2 I1R0，整理得U1 U2=220-440I1，发现方程中含有3个参量，无法直接作图此时，可将灯泡L1，L2等效合并为一个灯泡L3，由于L1和L2串联，两灯的电流时刻相等，故等效灯泡L3的电流I3=I1=I2，L3两端的电压U3= U1 U2，选取图中所给数据换算后描点作图，可画得等效灯泡的伏安特性曲线L3，如图6所示；闭合电路欧姆定律也可转变为U3=220-440I3，在图6中对应直线3，与等效灯泡L3的伏安特性曲线相交于g点，坐标为g（018A，142V），可知灯泡L1，L2的电流均为018A，根据L1、L2的伏安特性曲线可读得两灯泡的电压分别为102V和40V，故两灯泡的实际功率分别为184W和72W.
32两非线性电阻并联时的等效电阻法
问题5若将两灯泡L1、L2并联后，再与一定值电阻R0串联，接在220V的电源上，电路如图8所示，求此时灯泡L1、L2的实际功率？ 解析由闭合电路欧姆定律可得，E= U1 I1R0 I2R0，整理得U1 =220-440（I1 I2），由于L1和L2并联，两灯的电压时刻相等，将灯泡L1、L2等效合并为一个灯泡L4，等效灯泡L4的电流I4=I1 I2，L4两端的电压U4=U1=U2闭合电路欧姆定律可变为U4=220-440I4，描点作图可画得直线4和曲线L4，如图9所示，两图线相交于h点，坐标为h（036A，64V），可知灯泡L1和L2的电压均为64V，其实际工作电流分别为012A和023A，计算得两灯的功率分别为77W和148W.
33等效电源法
根据戴维南定理，对于由独立电源和线性电阻组成的单口二端网络可以用一个电压源来等效，其电动势等于二端网络的开路端电压，等效内阻就是从此二端网络的两端看进去，当网络内部独立源的电动势置零以后的电阻[2]
问题6若将两灯泡先与R0并联后，再与另一电阻R0串联接入电源，电路如图10所示，求此时两灯泡的实际功率？
解析将图10中虚线框内所示的二端网络电路等效成一个新电源，其等效电源的电动势等于框外电路断路时的路端电压，有E′=R0R0 R0E=12E=110V，等效电源的内阻为两R0的并联值，r′=12R0=220Ω，利用闭合电路欧姆定律，得E′=U4 I4r′，得线性方程U4=110-220I4，如图9中直线5所示，与等效灯泡L4的伏安特性曲线相交于j点，坐标为j（029A，47V），可知两灯泡此时的电压均为47V，电流分别为009A和020A，两灯的功率分别为42W和94W.
点评应用等效电阻法时，只需给定各电阻的伏安特性曲线，根据其串并联的特点，就可以画出其等效电阻的伏安特性曲线，从而简化外电路；根据戴维南定理应用等效电源法时，若等效后的有源二端网络电路仍为复杂电路，可再次运用戴维南定理，直至變为简单电路从理论上讲，即使遇到结构更为复杂的独立源纯电阻电路时，结合使用等效电阻法和等效电源法，就可以将其转变为易于处理的简单电路，而不必再纠结电路中含有几个非线性电阻了.
参考文献：
[1]王红林，张波如何用实验获得的U-I图象求小灯泡实际功率[J]. 物理教学， 2013（5）：26～27.
[2]高洁 戴维南定理在有源电路中的应用[J]. 今日科苑， 2007（02）：50.
关键词：非线性电阻；伏安特性曲线；图解法；等效法
非线性电阻的阻值会随其电压或电流的变化而改变，其伏安特性曲线是一条过坐标原点的曲线.在含有非线性电阻的电路中，因非线性电阻的U-I关系不便用函数方程描述，作图法成为求解非线性电阻电路最有效的方法，这类试题对学生的能力要求较高，考查学生物理思维能力、物理实验能力、科学探究能力和综合应用能力虽然作图法在求解非线性电阻电路问题时具有突出的优越性，但是，当电路中同时含有两个或两个以上的不同的非线性电阻时，必须采取适当的处理或变换，才能利用作图法求解，本文以几种典型电路为例，探讨求解两个非线性电阻实际工作功率的方法.
例题额定电压均为220 V的灯泡“L1和L2，对应的伏安特性曲线如图1所示，现有一220V的稳压电源，内阻可忽略不计，一个滑动变阻器Rp，两个阻值为440Ω的定值电阻R0，其阻值不随温度的改变而改变，若将这些元件连接成以下几种电路，求此时灯泡L1和L2各自的实际功率.
1平移法
11等电流线平移法
问题1若将两灯泡L1和L2串联后直接在220V的电源上，电路如图2所示，求此时灯泡L1、L2的实际功率？
解析电路为L1和L2串联，流过L1和L2的电流及两灯的电压满足I1=I2，U1 U2=220 V，由此可知，两灯泡的实际工作点必然位于同一条竖直线（等电流线）上，将此等电流线不断平移，直至与L1、L2的伏安特性曲线的两交点a、b的电压坐标之和等于220V，如图3中虚线1所示，此时两点坐标为a（022A，153V）和b（022A，67V），a、b两点坐标值即为此时灯泡L1、L2的工作电流和工作电压，由公式P=IU可计算得此时L1、L2的功率分别为337W和147W.
12等电压线平移法
问题2若将两灯泡L1和L2先并联，再与滑动变阻器串联后接在220V电源上，电路如图4所示，利用滑动变阻器改变灯泡两端的电压，并测得其干路电流为045A，求此时灯泡L1、L2的实际功率？
解析电路为L1和L2并联，流过L1和L2的电流及两灯的电压满足I1 I2=I干=045A，U1=U2，由此可知，两灯泡的实际工作点必然位于同一條水平直线（等电压线）上，参考问题1中的平移法，找到虚线2，如图3所示，使虚线2与两伏安特性曲线交点c、d的电流坐标之和等于045A，两点的坐标为c（016A，90V），d（029A，90V），可计算得L1、L2的功率分别为144W和261W.
点评平移法从串并联电路的基本特性出发，牢牢抓住串联电路各电阻电流相等和并联电路的各并联支路电压相等这两个规律，找到两非线性电阻间电流和电压的关系，作图求解，思路自然、清晰，符合学生认知水平和思维习惯，当然，缺点是找到对应工作点的过程可能会花费较长的时间.
2相交法
将非线性电阻接入闭合电路时，电路依旧遵从闭合电路欧姆定律，由此可导出非线性电阻的电压U和电流I满足的线性函数关系，在U-I图象上表现为一条直线；非线性电阻阻值是其本身的属性，其阻值随电流或电压的变化关系体现在该电阻的伏安特性曲线上若将上述直线和曲线画于同一张U-I图上，交点即为该非线性电阻在此电路中的实际工作电流和电压[1]
问题3若将两灯泡L1和L2分别与一定值电阻R0串联后，再并联接在220V的电源上，电路如图5所示，求此时灯泡L1、L2的实际功率？
解析通过灯泡L1回路所满足的闭合电路欧姆定律为E=U1 I1R0，其中U1、I1分别为灯泡L1两端的电压和通过灯泡L1的电流，代入数值得U1=220-440I1，同理可得灯泡L2回路的闭合电路欧姆定律，U2=220-440I2，其中U2、I2分别为灯泡L2的电压和电流 将上述两方程所对应的直线画在图6中（两直线恰好重合），设为直线3，如图6所示，直线3与两灯泡的伏安特性曲线分别相交于e、f两点，对应坐标为e（021A，127V），f（029A，92V），计算得两灯泡的实际功率均约为267W.
点评为使两图线的交点有意义，闭合电路欧姆定律方程U=E-Ir中的U和I应设为该非线性电阻上的电压和电流，与该非线性电阻的伏安特性曲线上U和I的物理意义保持高度一致，只有在此前提条件下，两图线的交点才能代表该非线性电阻在此电路中的工作点.
3等效法
31两非线性电阻串联时的等效电阻法
问题4若将两灯泡L1、L2与一个定值电阻R0串联后接在220V的电源上，电路如图7所示，求此时灯泡L1、L2的实际功率？
解析由闭合电路欧姆定律可得，E=U1 U2 I1R0，整理得U1 U2=220-440I1，发现方程中含有3个参量，无法直接作图此时，可将灯泡L1，L2等效合并为一个灯泡L3，由于L1和L2串联，两灯的电流时刻相等，故等效灯泡L3的电流I3=I1=I2，L3两端的电压U3= U1 U2，选取图中所给数据换算后描点作图，可画得等效灯泡的伏安特性曲线L3，如图6所示；闭合电路欧姆定律也可转变为U3=220-440I3，在图6中对应直线3，与等效灯泡L3的伏安特性曲线相交于g点，坐标为g（018A，142V），可知灯泡L1，L2的电流均为018A，根据L1、L2的伏安特性曲线可读得两灯泡的电压分别为102V和40V，故两灯泡的实际功率分别为184W和72W.
32两非线性电阻并联时的等效电阻法
问题5若将两灯泡L1、L2并联后，再与一定值电阻R0串联，接在220V的电源上，电路如图8所示，求此时灯泡L1、L2的实际功率？ 解析由闭合电路欧姆定律可得，E= U1 I1R0 I2R0，整理得U1 =220-440（I1 I2），由于L1和L2并联，两灯的电压时刻相等，将灯泡L1、L2等效合并为一个灯泡L4，等效灯泡L4的电流I4=I1 I2，L4两端的电压U4=U1=U2闭合电路欧姆定律可变为U4=220-440I4，描点作图可画得直线4和曲线L4，如图9所示，两图线相交于h点，坐标为h（036A，64V），可知灯泡L1和L2的电压均为64V，其实际工作电流分别为012A和023A，计算得两灯的功率分别为77W和148W.
33等效电源法
根据戴维南定理，对于由独立电源和线性电阻组成的单口二端网络可以用一个电压源来等效，其电动势等于二端网络的开路端电压，等效内阻就是从此二端网络的两端看进去，当网络内部独立源的电动势置零以后的电阻[2]
问题6若将两灯泡先与R0并联后，再与另一电阻R0串联接入电源，电路如图10所示，求此时两灯泡的实际功率？
解析将图10中虚线框内所示的二端网络电路等效成一个新电源，其等效电源的电动势等于框外电路断路时的路端电压，有E′=R0R0 R0E=12E=110V，等效电源的内阻为两R0的并联值，r′=12R0=220Ω，利用闭合电路欧姆定律，得E′=U4 I4r′，得线性方程U4=110-220I4，如图9中直线5所示，与等效灯泡L4的伏安特性曲线相交于j点，坐标为j（029A，47V），可知两灯泡此时的电压均为47V，电流分别为009A和020A，两灯的功率分别为42W和94W.
点评应用等效电阻法时，只需给定各电阻的伏安特性曲线，根据其串并联的特点，就可以画出其等效电阻的伏安特性曲线，从而简化外电路；根据戴维南定理应用等效电源法时，若等效后的有源二端网络电路仍为复杂电路，可再次运用戴维南定理，直至變为简单电路从理论上讲，即使遇到结构更为复杂的独立源纯电阻电路时，结合使用等效电阻法和等效电源法，就可以将其转变为易于处理的简单电路，而不必再纠结电路中含有几个非线性电阻了.
参考文献：
[1]王红林，张波如何用实验获得的U-I图象求小灯泡实际功率[J]. 物理教学， 2013（5）：26～27.
[2]高洁 戴维南定理在有源电路中的应用[J]. 今日科苑， 2007（02）：50.