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摘要：学习数学，离不开解题，解题中学生出现的错误，教师该怎么办？笔者结合学生在某次统考测试中出现的错误进行剖析，一方面寻找学生出错的“症结”所在，让学生把自己的错误认识得更清楚，进一步发展学生的思维；另一方面从“设计”的角度，对学生思维障碍进行分析，把习题进行“重组”、“归类”，针对日常教学中学生的错题，探索试卷讲评课有效教学的途径。
关键词：错误；设计；有效
中图分类号：G633.6文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2018）05-096-2
试卷讲评是教师针对学生测试结果进行分析讲评的一种课堂教学形式。一堂优质“讲评”课，不仅可以帮助学生了解本学科自己已掌握的基础知识情况，发现存在的问题，找到需要攻坚的着力点，而且可以促使教师对教学过程进行反思，针对教学中存在的问题，不断改进教学方法，提高教学质量。下面笔者就以数学试卷中的一题为例，谈谈如何设计有效的试卷讲评课。
题目：据大数据统计显示，某省2014年公民出境旅游人数约100万人次，2015年与2016年两年公民出境旅游总人数约264万人次。若这两年公民出境旅游总人数逐年递增，求这两年该省公民出境旅游人数的年平均增长率。
22.（8分）（1）解：设增长率为x
100（x 1）2=264
x 1=±20.66
x1=20.66-1x2=-20.66-1（舍）
∴增长率为20.66-1
一、错误源头
学生之所以犯下这种错误，一是没有认真审题，对题目中的“2015年与2016年两年公民出境旅游总人数约264万人次”这句话没有足够重视；二是思维定式，遇到增长率问题就是“基础×（1 增长率）2”，导致所列方程错误，从而失分。
由此可见，学生在初学“用一元二次方程解决实际问题”时，对“增长率问题”理解并不到位，仅仅停留在“模仿、记忆”的阶段，并没有从本质上理解“增长率”的具体内涵，上题中学生所写的“100（x 1）2”仅仅表示2016年的人数，还缺少2015年的人数。我们不妨从下面的一张表来看：
设平均增长的百分率为x。
2014年2015年2016年2017年
100100 100x或100·（1 x）100（1 x）·（1 x）=100（1 x）2100（1 x）2·（1 x）=100（1 x）3
通过这张表，不难发现后一年的人数都在前一年的基础上乘以“1加增长率”，本题列出正确的方程也就非常简单了。通过上题可进一步可以总结提炼为：
原来增长一次到增长2次到…增长n次到
aa（1 x）a（1 x）2…a（1 x）n
如果当初学生在学习新课过程中，对师生共同列出的表格真正理解并掌握的话，也不可能出现很多类似上面的错误。
二、变式提升
变式1：据大数据统计显示，某省2014年公民出境旅游人数约100万人次，经过两年的增长，2016年出境旅游人數为168万人次。若2016年的增长率是2015年增长率的2倍，求2015年的增长率。
分析：设2015年的增长率为x，则2016年的增长率为2x。
201420152016
100100（1 x）100（1 x）（1 2x）
根据题意得：100（1 x）·（1 2x）=168。
通过变式1的分析，可进一步小结，当每次增长率不相同时，可以得到下表中的关系：
设在a的基础上增长，第1次增长率为x1，第2次增长率为x2，…，第n次增长率为xn。
原来增长1次到增长2次到…增长n次到
aa（1 x1）a（1 x1）·（1 x2）…a（1 x1）·（1 x2）·…·（1 xn）
变式2：大数据统计显示，某省2014年公民出境旅游人数约100万人次，2016年比2015年出境旅游人数多24万人次。若这两年公民出境旅游总人数逐年递增，求这两年该省公民出境旅游人数的年平均增长率。
分析：设年平均增长率为x。
设在a的基础上增长，n次增长率均为x，
原来增长1次到增长2次到…增长n次到
aa（1 x）a（1 x）·（1 x）=a（1 x）2…a（1 x）n
第1次增长了：
a（1 x）-a或a·x
第2次增长了：
a（1 x）2-a（1 x）或a（1 x）·x
法1：根据题意得：100（1 x）2-100（1 x）=24；
法2：根据题意得：100（1 x）·x=24。
显然，增长了多少就是在前面的“基础”上乘以增长率更为简便！
在复习课、试卷讲评课中，如果就是公布一下本题的答案，或者就题论题，不对学生的思维障碍进行分析和点拨，让学生形成思维策略，可能就丧失了一个很好的教学机会了。如果上复习课只是做习题，上试卷讲评课就是对答案，那么学生的思维能力得不到提升，久而久之，学生成绩肯定不会提高。
三、教学建议
1.指导学生反思
不难发现上面“错解”中的答案明显不符合实际情况，如果该名同学做完后能有回顾的习惯，再仔细品味一下原题的话，可能
就不会出现“常识性错误”了，因此课堂解题结束后，因教会学生自觉回顾与自主反思，其实就是一种自我批判意识。
2.分析学生的思维，“对症下药”
对于学生的解题失误，多数阅卷老师都在感叹“学生审题不行”、“太粗心了”等等，可以想象，试卷讲评课上，教师必定会再一次向学生强调：“请仔细读题！把题目读清楚再写！”事实上，学生在考试的时候，不知道把题目读了多少遍，甚至可能逐字逐句的进行了勾画，但还是没能做对。因此，教师应当让出现错误的考生敞开心扉的描述当时自己是怎么想的，有哪些思维困境，这样才能更为准确有效的找到学生认知上的误区和思维上的欠缺，再进行必要的点拨，使思维教学落到实处。
3.挖掘“错题”，变式训练
学生在学习数学的过程中，面临大量的考试，有考试，必然会有错题，如果教师一味自行其是，不厌其烦地“满堂讲评”，那么一节试卷讲评课下来只会使老师受累，学生疲惫。因此教师必须改变做法，先对学生典型的错误进行分析，再让学生说说自己当时的困惑，现在的体会，再对试题进行一个合理、恰当的变式训练，这样不仅能让学生“听懂”，还能让学生经历了分析问题、解决问题的全过程，达到对所学知识的再次内化，真正达到“会做”的目的，在“做”中达到“思维监控”的目的，有偏差就不断调整，教师要有意识的让学生经历这样的过程，让学生在“游泳中”学会“游泳”，在解题中学会解题。
对于学生做题中产生的“错误”，要进行搜集整理，这是最好的备课素材，教师要有计划、有目标地让学生的思维经历一次次洗礼。通过一题多变，一题多解，多解归一的提升，让“错误”变成学生思维的“出发点”，让“纠错”成为学生思维的“生长点”。
关键词：错误；设计；有效
中图分类号：G633.6文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2018）05-096-2
试卷讲评是教师针对学生测试结果进行分析讲评的一种课堂教学形式。一堂优质“讲评”课，不仅可以帮助学生了解本学科自己已掌握的基础知识情况，发现存在的问题，找到需要攻坚的着力点，而且可以促使教师对教学过程进行反思，针对教学中存在的问题，不断改进教学方法，提高教学质量。下面笔者就以数学试卷中的一题为例，谈谈如何设计有效的试卷讲评课。
题目：据大数据统计显示，某省2014年公民出境旅游人数约100万人次，2015年与2016年两年公民出境旅游总人数约264万人次。若这两年公民出境旅游总人数逐年递增，求这两年该省公民出境旅游人数的年平均增长率。
22.（8分）（1）解：设增长率为x
100（x 1）2=264
x 1=±20.66
x1=20.66-1x2=-20.66-1（舍）
∴增长率为20.66-1
一、错误源头
学生之所以犯下这种错误，一是没有认真审题，对题目中的“2015年与2016年两年公民出境旅游总人数约264万人次”这句话没有足够重视；二是思维定式，遇到增长率问题就是“基础×（1 增长率）2”，导致所列方程错误，从而失分。
由此可见，学生在初学“用一元二次方程解决实际问题”时，对“增长率问题”理解并不到位，仅仅停留在“模仿、记忆”的阶段，并没有从本质上理解“增长率”的具体内涵，上题中学生所写的“100（x 1）2”仅仅表示2016年的人数，还缺少2015年的人数。我们不妨从下面的一张表来看：
设平均增长的百分率为x。
2014年2015年2016年2017年
100100 100x或100·（1 x）100（1 x）·（1 x）=100（1 x）2100（1 x）2·（1 x）=100（1 x）3
通过这张表，不难发现后一年的人数都在前一年的基础上乘以“1加增长率”，本题列出正确的方程也就非常简单了。通过上题可进一步可以总结提炼为：
原来增长一次到增长2次到…增长n次到
aa（1 x）a（1 x）2…a（1 x）n
如果当初学生在学习新课过程中，对师生共同列出的表格真正理解并掌握的话，也不可能出现很多类似上面的错误。
二、变式提升
变式1：据大数据统计显示，某省2014年公民出境旅游人数约100万人次，经过两年的增长，2016年出境旅游人數为168万人次。若2016年的增长率是2015年增长率的2倍，求2015年的增长率。
分析：设2015年的增长率为x，则2016年的增长率为2x。
201420152016
100100（1 x）100（1 x）（1 2x）
根据题意得：100（1 x）·（1 2x）=168。
通过变式1的分析，可进一步小结，当每次增长率不相同时，可以得到下表中的关系：
设在a的基础上增长，第1次增长率为x1，第2次增长率为x2，…，第n次增长率为xn。
原来增长1次到增长2次到…增长n次到
aa（1 x1）a（1 x1）·（1 x2）…a（1 x1）·（1 x2）·…·（1 xn）
变式2：大数据统计显示，某省2014年公民出境旅游人数约100万人次，2016年比2015年出境旅游人数多24万人次。若这两年公民出境旅游总人数逐年递增，求这两年该省公民出境旅游人数的年平均增长率。
分析：设年平均增长率为x。
设在a的基础上增长，n次增长率均为x，
原来增长1次到增长2次到…增长n次到
aa（1 x）a（1 x）·（1 x）=a（1 x）2…a（1 x）n
第1次增长了：
a（1 x）-a或a·x
第2次增长了：
a（1 x）2-a（1 x）或a（1 x）·x
法1：根据题意得：100（1 x）2-100（1 x）=24；
法2：根据题意得：100（1 x）·x=24。
显然，增长了多少就是在前面的“基础”上乘以增长率更为简便！
在复习课、试卷讲评课中，如果就是公布一下本题的答案，或者就题论题，不对学生的思维障碍进行分析和点拨，让学生形成思维策略，可能就丧失了一个很好的教学机会了。如果上复习课只是做习题，上试卷讲评课就是对答案，那么学生的思维能力得不到提升，久而久之，学生成绩肯定不会提高。
三、教学建议
1.指导学生反思
不难发现上面“错解”中的答案明显不符合实际情况，如果该名同学做完后能有回顾的习惯，再仔细品味一下原题的话，可能
就不会出现“常识性错误”了，因此课堂解题结束后，因教会学生自觉回顾与自主反思，其实就是一种自我批判意识。
2.分析学生的思维，“对症下药”
对于学生的解题失误，多数阅卷老师都在感叹“学生审题不行”、“太粗心了”等等，可以想象，试卷讲评课上，教师必定会再一次向学生强调：“请仔细读题！把题目读清楚再写！”事实上，学生在考试的时候，不知道把题目读了多少遍，甚至可能逐字逐句的进行了勾画，但还是没能做对。因此，教师应当让出现错误的考生敞开心扉的描述当时自己是怎么想的，有哪些思维困境，这样才能更为准确有效的找到学生认知上的误区和思维上的欠缺，再进行必要的点拨，使思维教学落到实处。
3.挖掘“错题”，变式训练
学生在学习数学的过程中，面临大量的考试，有考试，必然会有错题，如果教师一味自行其是，不厌其烦地“满堂讲评”，那么一节试卷讲评课下来只会使老师受累，学生疲惫。因此教师必须改变做法，先对学生典型的错误进行分析，再让学生说说自己当时的困惑，现在的体会，再对试题进行一个合理、恰当的变式训练，这样不仅能让学生“听懂”，还能让学生经历了分析问题、解决问题的全过程，达到对所学知识的再次内化，真正达到“会做”的目的，在“做”中达到“思维监控”的目的，有偏差就不断调整，教师要有意识的让学生经历这样的过程，让学生在“游泳中”学会“游泳”，在解题中学会解题。
对于学生做题中产生的“错误”，要进行搜集整理，这是最好的备课素材，教师要有计划、有目标地让学生的思维经历一次次洗礼。通过一题多变，一题多解，多解归一的提升，让“错误”变成学生思维的“出发点”，让“纠错”成为学生思维的“生长点”。