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[摘 要] 作为数学思维的基本形式和理解数学科学知识体系的基础，数学概念的教学已经成为培养学生数学素养的必然要求. 本文探讨了APOS理论下初中数学核心概念及其教学策略，以北师大版初中数学“函数”为例，进行深刻阐述.
[关键词] 初中数学；核心概念；教学策略；函数
作为数学思维的基本形式和理解数学科学知识体系的基础，数学概念的教学已经成为培养学生数学素养的必然要求. APOS理论是在数学概念学习过程中产生的一个结论，更能揭示数学概念的本质过程，体现学生理解数学概念的心理特点. 因此，在APOS理论下研究初中数学核心概念及其教学策略具有重要的意义.
核心概念的内涵及特征
数学核心概念是在一定数学概念体系中起着关键性作用、与其他概念是以一定的数学思想或方法联系的、包含着丰富下位概念的一类概念. 从数学学科的角度分析，数学核心概念具有联系性、奠基性以及丰富性等特征. 这些特征要求我们在识别、筛选核心概念时，首先要确定在一定的概念体系中；其次，厘清数学概念的发展脉络；最后，选取那些起着核心作用、能够生成其他下位概念的概念，这些概念或是标志数学方法重大变革，或是反映重要数学思想，或是反映本源的概念. 从数学学习的角度分析，数学核心概念的学习具有基础性和可生长性特征. 这些特征要求教师在初中数学核心概念教学中遵循系统性和整体性特征，需要在一个更长教学阶段中通过其他数学内容或与其生成的概念加深学生对数学核心概念的理解.
初中数学核心概念教学的意义
一是加深对数学学科特点的理解. 新课标中指出教师要关注数学概念中的“核心概念”，关注抽象数学概念的形成过程与实际背景，在教学中要将核心概念贯穿于初中数学的始终，这些新课程实施的要求体现了核心概念教学的重要意义.
二是提高数学整体的认识. 教师应通过联想、类比、知识的迁移和应用等方式，找到某些重要数学内容，并以此为载体将数学知识串联起来，让学生充分感受数学知识的整体性，体会各个知识点之间的联系，提高具体问题的解决能力. 而处于一定概念体系中的核心概念具有上述教育价值，能够为新课程教学提供一个重要思路.
以函数这一核心概念为例，北师大版初中数学教材中涉及的函数概念的下位概念分别为一次函数、反比例函数、二次函数以及锐角三角函数. 同时，许多立体几何、求最值等问题都可以转化为函数问题. 此外，初中函数概念教学是高中阶段学习映射条件下函数概念的基础. 所以，在整个初中数学教学中研究函数这个核心概念具有重要的意义.
APOS理论下初中数学核心概
念教学策略
杜宾斯基提出的APOS理论是以学生建构数学概念的思维过程为起点，通过活动（Action）、过程（Process）、对象（Object）、图式（Scheme）四个阶段，引导学生再次经历数学史上的概念创造与发展过程，帮助学生构建数学概念，从而培养学生的思维能力. 笔者结合多年实践，在APOS理论本土化教学中提出了如图1所示的初中数学概念教学循环结构模式.
1. 透过“数学现实”，导入概念背景
作为产生数学知识前后的逻辑连接，数学现实更能体现现实问题和数学背景知识之间的内部联系，教师应在课堂教学中让学生主动地感受和体验前人研究和创造的过程，并在学生已有认知的前提下将教师讲解的知识作为新知结构的原始材料，通过内化做出合理解释，并将所学知识不断完善到自己原有的认知框架中.
2. 透过“现实情境”，初建概念形式
在“概念的形式初建”阶段，教师应结合学生已有的认知结构和认知水平，有计划地在已设置的“问题情境”中，透过实际生活中耳熟能详的概念素材和“问题情境”中产生的冲突与矛盾，激起学生学习的欲望和学习的动机，积极主动地初步建构数学概念.
3. 透过“概念的巩固和应用”，细化概念符号
在“概念的符号细化”阶段，教师必须对数学概念内部进行再加工与再提炼，通过精心设计习题和例题帮助学生进一步认识、巩固和应用数学概念，提炼出数学概念的本质属性. 值得一提的是，在概念巩固时，为了使学生达到以不变应万变的效果，教师应不断变换数学符号的多种形式. 在概念应用时，为了充分理解数学概念的本质属性，应通过针对性强的变式训练活动，使概念的标准符号和非标准符号之间达到灵活变换，进而多角度地充实学生对数学概念的理解和应用.
4. 透过“概念的形式化与抽象化”，明确概念的本质
在“概念的本质明确”阶段，为了使学生形成一个稳定的概念，将巩固和应用后的数学概念上升为数学概念的形式化与抽象化. 要深刻理解数学概念的实质，教师应采用数学化的语言给数学概念进行定义，反思和提炼学生已有的“数学现实”和教师设计的数学情境，从而实现数学概念内部的理想化加工和再提炼的“数学化”过程.
5. 透过“概念的联系”，联结概念系统
在该阶段中，教师应及时帮助学生回顾和总结课堂知识，设法搭建新、旧知识的内在关联，挖掘其课程中所蕴含的数学思想方法，让学生理性思考数学思维和数学观念，不断完善学生的认知结构.
初中数学核心概念教学案例
为了研究的方便，本文选择北师大版初中数学教材“函数”部分知识为例进行深刻阐述.
1. 透过“数学现实”，导入概念背景
在上课前，要求学生通过上网查阅、聆听家长讲述等方式了解函数概念的背景资料，广泛收集函数概念产生与发展历程的图片以及国内关于函数概念的产生的相关内容. 在课堂上组织学生相互交流和探讨，体会函数概念产生的背景.
2. 透过“现实情境”，初建概念形式
通过粮店购买大米、乘车去学校等实际案例创设活动情境，引发学生积极思考哪些是常量、哪些是变量，感悟常量和变量的关系，让学生在感性素材中构建函数概念. 同时，深刻理解引入“函数”概念的必要性. 例如，笔者在教学中设计了以下现实情境：
教师每天开车上班，小车的耗油量平均为0.1升/公里，并且通过小车自身携带的行程仪可知，学校到自己家中的距离为30公里.
（1）随着油费的上涨和下跌，教师每天需要支付的油费是如何变化的？请学生思考哪些量是变化的，哪些量是不变的.
（2）若93号汽油的价格为x元，教师每天需支付的油费为y元，则它们之间的关系是什么，怎样应用解析式进行表示？
3. 透过“概念的巩固和应用”，细化概念符号
为了突破教学的重难点知识，理解函数概念的实质，应用y=x进一步理解函数的两个变量，理解y是随着x的变化而变化，只要x的值确定了，则y的值也就随着确定了. 并理解解析式中x，y的形式符号定义，要求学生应用其他符号写出函数的解析式，进一步拓展應用概念的认识.
4. 透过“概念的形式化与抽象化”，明确概念的本质
除了文字表述外，函数还可以通过解析表达式进行表示. 当教师提及某个具体函数时，学生能够联想到函数的概念、解析表达式等具体内容. 例如，在概念的形式化与抽象化阶段，笔者设置了以下题目组织学生抽象函数概念：
（1）填表格.
（2）y是x的函数吗，为什么？那么x是y的函数吗？
（3）若输入一个实数a，会输出一个实数b，则b是a的函数吗？
5. 透过“概念的联系”，联结概念系统
通过回顾学生学到了哪些数学知识、学到了哪些数学思想方法等方式，强化函数概念的内涵和外延，真正理解函数是学生进行分析、综合、比较、抽象、概括等一系列过程，并强化常量和变量之间的内在关联，领悟函数概念形成过程中归纳和抽象概括的思维. 同时，布置课后练习题目，进一步理解和深化函数概念.
综上所述，初中数学核心概念教学不可能一劳永逸，而是按照“导入概念背景、初建概念形式、细化概念符号、明确概念本质、联结概念系统”五个阶段组织学生学习. 只有这样，才能不断提高初中学生对于核心概念的理解和认识，才能不断提高初中数学教学的质量.
[关键词] 初中数学；核心概念；教学策略；函数
作为数学思维的基本形式和理解数学科学知识体系的基础，数学概念的教学已经成为培养学生数学素养的必然要求. APOS理论是在数学概念学习过程中产生的一个结论，更能揭示数学概念的本质过程，体现学生理解数学概念的心理特点. 因此，在APOS理论下研究初中数学核心概念及其教学策略具有重要的意义.
核心概念的内涵及特征
数学核心概念是在一定数学概念体系中起着关键性作用、与其他概念是以一定的数学思想或方法联系的、包含着丰富下位概念的一类概念. 从数学学科的角度分析，数学核心概念具有联系性、奠基性以及丰富性等特征. 这些特征要求我们在识别、筛选核心概念时，首先要确定在一定的概念体系中；其次，厘清数学概念的发展脉络；最后，选取那些起着核心作用、能够生成其他下位概念的概念，这些概念或是标志数学方法重大变革，或是反映重要数学思想，或是反映本源的概念. 从数学学习的角度分析，数学核心概念的学习具有基础性和可生长性特征. 这些特征要求教师在初中数学核心概念教学中遵循系统性和整体性特征，需要在一个更长教学阶段中通过其他数学内容或与其生成的概念加深学生对数学核心概念的理解.
初中数学核心概念教学的意义
一是加深对数学学科特点的理解. 新课标中指出教师要关注数学概念中的“核心概念”，关注抽象数学概念的形成过程与实际背景，在教学中要将核心概念贯穿于初中数学的始终，这些新课程实施的要求体现了核心概念教学的重要意义.
二是提高数学整体的认识. 教师应通过联想、类比、知识的迁移和应用等方式，找到某些重要数学内容，并以此为载体将数学知识串联起来，让学生充分感受数学知识的整体性，体会各个知识点之间的联系，提高具体问题的解决能力. 而处于一定概念体系中的核心概念具有上述教育价值，能够为新课程教学提供一个重要思路.
以函数这一核心概念为例，北师大版初中数学教材中涉及的函数概念的下位概念分别为一次函数、反比例函数、二次函数以及锐角三角函数. 同时，许多立体几何、求最值等问题都可以转化为函数问题. 此外，初中函数概念教学是高中阶段学习映射条件下函数概念的基础. 所以，在整个初中数学教学中研究函数这个核心概念具有重要的意义.
APOS理论下初中数学核心概
念教学策略
杜宾斯基提出的APOS理论是以学生建构数学概念的思维过程为起点，通过活动（Action）、过程（Process）、对象（Object）、图式（Scheme）四个阶段，引导学生再次经历数学史上的概念创造与发展过程，帮助学生构建数学概念，从而培养学生的思维能力. 笔者结合多年实践，在APOS理论本土化教学中提出了如图1所示的初中数学概念教学循环结构模式.
1. 透过“数学现实”，导入概念背景
作为产生数学知识前后的逻辑连接，数学现实更能体现现实问题和数学背景知识之间的内部联系，教师应在课堂教学中让学生主动地感受和体验前人研究和创造的过程，并在学生已有认知的前提下将教师讲解的知识作为新知结构的原始材料，通过内化做出合理解释，并将所学知识不断完善到自己原有的认知框架中.
2. 透过“现实情境”，初建概念形式
在“概念的形式初建”阶段，教师应结合学生已有的认知结构和认知水平，有计划地在已设置的“问题情境”中，透过实际生活中耳熟能详的概念素材和“问题情境”中产生的冲突与矛盾，激起学生学习的欲望和学习的动机，积极主动地初步建构数学概念.
3. 透过“概念的巩固和应用”，细化概念符号
在“概念的符号细化”阶段，教师必须对数学概念内部进行再加工与再提炼，通过精心设计习题和例题帮助学生进一步认识、巩固和应用数学概念，提炼出数学概念的本质属性. 值得一提的是，在概念巩固时，为了使学生达到以不变应万变的效果，教师应不断变换数学符号的多种形式. 在概念应用时，为了充分理解数学概念的本质属性，应通过针对性强的变式训练活动，使概念的标准符号和非标准符号之间达到灵活变换，进而多角度地充实学生对数学概念的理解和应用.
4. 透过“概念的形式化与抽象化”，明确概念的本质
在“概念的本质明确”阶段，为了使学生形成一个稳定的概念，将巩固和应用后的数学概念上升为数学概念的形式化与抽象化. 要深刻理解数学概念的实质，教师应采用数学化的语言给数学概念进行定义，反思和提炼学生已有的“数学现实”和教师设计的数学情境，从而实现数学概念内部的理想化加工和再提炼的“数学化”过程.
5. 透过“概念的联系”，联结概念系统
在该阶段中，教师应及时帮助学生回顾和总结课堂知识，设法搭建新、旧知识的内在关联，挖掘其课程中所蕴含的数学思想方法，让学生理性思考数学思维和数学观念，不断完善学生的认知结构.
初中数学核心概念教学案例
为了研究的方便，本文选择北师大版初中数学教材“函数”部分知识为例进行深刻阐述.
1. 透过“数学现实”，导入概念背景
在上课前，要求学生通过上网查阅、聆听家长讲述等方式了解函数概念的背景资料，广泛收集函数概念产生与发展历程的图片以及国内关于函数概念的产生的相关内容. 在课堂上组织学生相互交流和探讨，体会函数概念产生的背景.
2. 透过“现实情境”，初建概念形式
通过粮店购买大米、乘车去学校等实际案例创设活动情境，引发学生积极思考哪些是常量、哪些是变量，感悟常量和变量的关系，让学生在感性素材中构建函数概念. 同时，深刻理解引入“函数”概念的必要性. 例如，笔者在教学中设计了以下现实情境：
教师每天开车上班，小车的耗油量平均为0.1升/公里，并且通过小车自身携带的行程仪可知，学校到自己家中的距离为30公里.
（1）随着油费的上涨和下跌，教师每天需要支付的油费是如何变化的？请学生思考哪些量是变化的，哪些量是不变的.
（2）若93号汽油的价格为x元，教师每天需支付的油费为y元，则它们之间的关系是什么，怎样应用解析式进行表示？
3. 透过“概念的巩固和应用”，细化概念符号
为了突破教学的重难点知识，理解函数概念的实质，应用y=x进一步理解函数的两个变量，理解y是随着x的变化而变化，只要x的值确定了，则y的值也就随着确定了. 并理解解析式中x，y的形式符号定义，要求学生应用其他符号写出函数的解析式，进一步拓展應用概念的认识.
4. 透过“概念的形式化与抽象化”，明确概念的本质
除了文字表述外，函数还可以通过解析表达式进行表示. 当教师提及某个具体函数时，学生能够联想到函数的概念、解析表达式等具体内容. 例如，在概念的形式化与抽象化阶段，笔者设置了以下题目组织学生抽象函数概念：
（1）填表格.
（2）y是x的函数吗，为什么？那么x是y的函数吗？
（3）若输入一个实数a，会输出一个实数b，则b是a的函数吗？
5. 透过“概念的联系”，联结概念系统
通过回顾学生学到了哪些数学知识、学到了哪些数学思想方法等方式，强化函数概念的内涵和外延，真正理解函数是学生进行分析、综合、比较、抽象、概括等一系列过程，并强化常量和变量之间的内在关联，领悟函数概念形成过程中归纳和抽象概括的思维. 同时，布置课后练习题目，进一步理解和深化函数概念.
综上所述，初中数学核心概念教学不可能一劳永逸，而是按照“导入概念背景、初建概念形式、细化概念符号、明确概念本质、联结概念系统”五个阶段组织学生学习. 只有这样，才能不断提高初中学生对于核心概念的理解和认识，才能不断提高初中数学教学的质量.