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[摘 要]随着新课程的逐步推进，拓展课的教学也在逐步开展。从两位数加法出发，以开放性的题目引发学生思考，将课本的基础知识延伸到拓展课，促使不同层次的学生都有所收获和体会，获得不同程度的成长。
[关键词]数感;拓展课;思维
[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2021）05-0015-03
一、缘起
2018年4月，余杭区的一次教研活动中有一节“构建和是222的等式”示范课，上课的对象是从四年级每个班中选取7～8人组成的精英班的学生，教学目标是探究从0～9这10个数字中选8个不同的数字组成4个两位数，使它们的和等于222。当时我所教授的二年级学生正好在学习两位数加两位数的笔算加法，因此笔者不由得思考：是否能将这节课拓展为一节二年级数学拓展课，使计算变得有趣呢？
至此，如果只是从课本出发，仅能让学生触及略深层次的题目，局限于简单的分析与推理。如何促使学生的思维更上一层楼？教师要出示一些新颖的、思维含量较高的题目，在让优等生“吃饱”的同时使其他层次的学生开阔眼界。
二、对拓展课的再认识
拓展课是为了提升学生的考试成绩，还是为了培养学生的学习兴趣？是为学优生锦上添花，还是为一般学生或者学困生雪中送炭？从四年级精英班到二年级普通班，如何编排教学环节才能更好地开展教学活动？
首先，教学目标需要进行优化，既要有一个整体性目标，也要对于不同层次的学生设立不同的教学目标。整体性目标：培养学生的数感，提高学生的计算能力，激发学生学习数学的兴趣。对于不同层次的学生，需要将目标细化。学优生：掌握构建这类等式的方法，学会有序思考，能够构建尽可能多的等式。一般学生：了解构建这类等式的方法，能构建多个符合要求的等式，提高计算能力。学困生：能够构建至少一个等式，培养学习数学的兴趣。
为了更有效地教学，笔者先对学生进行了前测，发现以下问题：
【问题1】 解题习惯的不良，使得进位点在计算过程中被忽略，导致计算错误。
【问题2】不管是两个加数相加，还是三个加数相加，在选数的过程中会出现数字重复或者遗漏。
【问题3】0放在最高位上。
【问题4】不能有序思考。
三、我的课堂
数学教学活动应激发学生的学习兴趣，调动学生的学习积极性，引发学生的数学思考，培养学生的创造性思维;要注重培养学生良好的数学学习习惯，使学生掌握恰当的数学学习方法。让学生在轻松愉悦的环境进行学习并有一定的收获，需要有一份贴近学生已有知识起點、符合学生认知规律的教学设计。
（一）新课导入
师：我们已经上了两年多的数学课了，对于数学中的加减法都有了一定的了解。今天我们将用加法构建一个神秘的等式，先小试牛刀。
师：在一年级学习数学时，最开始学的是什么？
生：阿拉伯数字0、1、2、3、4、5、6、7、8、9。
师：是的，今天要构建的这个等式就需要用到这些阿拉伯数字助手。
练习一：从0、1、2、3、4、5这6个数字中选择4个不同的数字组成2个两位数，使这2个两位数的和是55。
【设计意图：从前测中发现，学生存在重复选择数字以及将0填在最高位的现象。解答练习一没有进位的干扰，选数之后进行有序思考，通过对比就能发现使用竖式较于横式能够更加清楚明了。】
（二）分析问题
师：从0～9这10个数字中选择4个不同的数字，和最小可能是多少？
□ □ □ □=最小
师：它们的和最大可能是多少？
□ □ □ □=最大
【设计意图：看似简单的填数题，实则与接下来的选数有着密切的联系。在此为学生接下来解决新的问题埋下伏笔。】
师：现在我要把题目变得更有挑战性！请看黑板。
练习二：从0～9这10个数字中选8个不同的数字，分别填入下面的式子中，使4个两位数的和等于222。
□□ □□ □□ □□=222
师：先读题，圈一圈关键词。你认为有哪些地方需要提醒大家注意？看到这个题目，你有什么想说的吗？
【锦囊一】将横式变成竖式。
【设计意图：很多学生看到这道题目就会认为自己肯定做不出，从而放弃思考。利用“锦囊”，既让学生产生了解题的兴趣，又提醒了学生。学生通过自己尝试、判断、交流、分析，借助抽象等式思维导向和直观表象思维导向相融合的方法，想到可以应用个位、十位分别凑整形成数组。】
师：现在你有什么灵感吗？（笔算加法，我们一般从低位算起）猜想一下，个位上4个数字相加，和可能是多少？
生：个位相加分别是2、12、22、32。
师：这四种可能都成立吗？为什么？（结论：只有12或者22）
（三）研究问题
1.推理
师：当个位上的4个数字相加，和是22，满二十向十位进二，那么十位上的数字之和会是几呢？
生1：20。
师：如果个位相加之和是12，那十位相加之和是多少？
生2：21。
（板书：猜想一：“十位和20” “个位和22”;猜想二：“十位和21” “个位和12”）
师：这节课我们先研究猜想一“‘十位和20’ ‘个位和22’”。也就是说，个位上的4个数和十位上的4个数相加，应该是20 22=42。你能马上算出0～9这10个数相加之和吗？10个数之和是45，8个数之和是42，多出了几？多出来的两个数是多少？
（明确多出来的两数之和是3）
2. 自主尝试 练习纸：
分类1：去掉0、3。（男生）
分类2：去掉1、2。（女生）
【锦囊二】0～9的数字卡片。
去掉□、□
剩下□、□、□、□、□、□、□、□
十位相加，□ □ □ □=20
个位相加，□ □ □ □=22
【设计意图：在所选数字较多的前提下，学生选数字会出现重复或者遗漏的现象，使用数字卡片可以很好地避开这个问题，同时能够让学生多感官参与，增加思维的活跃度。】
3.交流辨析
师（在学生汇报后）：谁能快速验证他的方法是否正确？
师：还能用这几个数创造出其他等式吗？
（变换数的位置，利用排列与组合引导学生发现可以创造出更多的等式）
【设计意图：合理归类多组等式，可以帮助学生发现，即使个位和十位的数字相同，还是可以构建很多算式，主要原因是四个数字相加的和不改变。】
4.方法拓展
师：老师也有小秘诀，让十位上4个数字的和是20。
分类一：从1、2、3、4、5、6、7、8、9中选4个数字，使它们和是20。
分类二：从3、4、5、6、7、8、9中选4个数字，使它们和是20。
（四）课后延伸
师：其实这道题还有很多答案，课后大家可以比比谁创造的等式更多。
四、对拓展课的思考
（一）帮助学生获得成功的喜悦，调动学生学习数学的积极性
评价一个学生数学学得好不好，不能仅仅看一个量化了的结果，更要对这个结果进行定性分析：究竟动用了哪一层次的思维？思维的深度、广度和灵活度究竟如何？只有在过程里才能看到每个学生的智慧是不一样的。因此，反过来思考学习，“习”当然很重要， “习，从羽从白，数飞也”，要数次飞翔才能形成一个技能，达到流畅和连贯。但是仅仅有“习”是不够的，更要把书本上的知识变成自己的认知，在认识的基础上形成一种见识，这样，学生才能学得更好。
数学拓展课不是只从学科层面强化基础知识的理解、基本技能的掌握和运用，它与基础课不同，基础课的教学目标要求全班不同层次的学生都能达到，但是拓展课的教学目标可以根据学生的实际情况分层设置，真正体现了数学课程的培养目标：人人获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展。拓展课从多角度帮助学生认清自我，使学生获得成功的喜悦，建立学好数学的信心。当这节课结束的时候，一个数学成绩较差的学生和笔者说：“老师，我觉得我还是蛮聪明的。”这时，笔者能感觉到这节课还是比较成功的。数学拓展课的目的就是让学生爱上数学，培养学生学习数学的兴趣和探究意识，通过对教学内容进行深层次的挖掘，促进学生富有个性的学习与发展。
（二）培养学生的数感
曹培英老师提出：数感是一种感悟，而“感悟”的本意是“有所感触而领悟”。简单地说，数感就是关于数的感觉和理解。
数感位列数学十大核心概念之首，由此可见它的重要地位。数感这个概念看似与数学学科很接近，但又遥不可及。恰似武侠小说中所需要修炼的内功一样，说不清、道不明但又十分重要。常有教师提出，学生一学就会，但是在解题过程中就是缺少一种感觉。所谓数感，就是一种对数学的感觉，是一种直觉，是一种对数的敏锐性，是数学思维能力的一个表征，也是一种基本的数学素养。
数感的培养不是简单的题海战术所能够达成的，需要学生更多参与到数学活动中，将已有的数学知识经验和问题情境联系起来，亲历问题的解决过程，只有这样，数感才会随之建立、形成、发展和强化，学生的数学素质才会慢慢提高。
本节课的教学，无论是练习一“构建和是55的等式”，还是练习二“构建和是222的等式”，都是让学生亲身经历解决问题的过程。学生从看到问题时的自我否定，到一步步动手操作解决问题，甚至到最后能构建自己都无法相信的等式数量，最终就能获得成功的喜悦。数学学习虽然是要让学生对数学有敬畏感，但是不能有距离感，必须让学生时刻保持挑战数学的信心。
（三）积累一定的数学活动经验
学生目前的学习状态好比冰山，虽然海平面上只看得到那冰山的一部分，但是只要下面有一个强大的支撑力，总有一天会浮出海面;如果支撑力很小，可能就会慢慢融化后下沉。这个支撑力就是数学活动经验。因此，教师不能只关注学生一分钟能完成多少口算题，还应该关注学生思考了没有，他的推理能力如何，转化能力如何，分析能力如何。 这不仅要传授典型的知识，更要构建典型的方法。以典型的知識、方法的学习为载体，能使学生经历逻辑思考的过程，积累数学活动经验。
构建和是222的等式有两个难点，一是去掉哪两个数，二是如何将已选出来的8个数进行组合。借助已有的知识经验，学生已能运用列竖式的方法从个位加起，发现个位数字之和和十位数字之和与222之间的关系，明确所选的8个数字之和只要是42都可以，并排除（0，3）或（1，2）。考虑到学生会重复选数字或者遗漏一些数字，教师提供了数字卡片，能力较强的学生可以直接利用纸笔解决，能力相对较弱的学生也能借助卡片进行组合，每一个学生都能参与到数学活动中。
数学拓展课主旨是激发学生兴趣，调动学生积极性，引发学生数学思考，鼓励学生的创造性思维;既注重培养学生良好的数学学习习惯，又要使学生掌握恰当的数学学习方法。打破原有常规数学课堂教学的模式，变知识传授为学习方法的掌握，变注重结果为呈现思维过程，变学生被动学习为主动探究，使学生能够开展富有个性化的学习。
[ 参 考 文 献 ]
[1] 魏巍.关注方法指导拓展数学思维：小学数学拓展课程建设的研究实践[J].上海教育科研，2010（7）.
[2] 林伟.开发学生喜欢的数学课程[J].新课程研究，2017（2）.
[3] 田志红. 趣味拓展：基于开放题的数学素养培养[J].扬州大学学报，2013（S1）.
[4] 蔡黎旭.微议小学数学拓展性课程教与学：《一卷胶带有多长》教学实践与反思[J].教学研究，2018（3）.
（责编 金 铃）
[关键词]数感;拓展课;思维
[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2021）05-0015-03
一、缘起
2018年4月，余杭区的一次教研活动中有一节“构建和是222的等式”示范课，上课的对象是从四年级每个班中选取7～8人组成的精英班的学生，教学目标是探究从0～9这10个数字中选8个不同的数字组成4个两位数，使它们的和等于222。当时我所教授的二年级学生正好在学习两位数加两位数的笔算加法，因此笔者不由得思考：是否能将这节课拓展为一节二年级数学拓展课，使计算变得有趣呢？
至此，如果只是从课本出发，仅能让学生触及略深层次的题目，局限于简单的分析与推理。如何促使学生的思维更上一层楼？教师要出示一些新颖的、思维含量较高的题目，在让优等生“吃饱”的同时使其他层次的学生开阔眼界。
二、对拓展课的再认识
拓展课是为了提升学生的考试成绩，还是为了培养学生的学习兴趣？是为学优生锦上添花，还是为一般学生或者学困生雪中送炭？从四年级精英班到二年级普通班，如何编排教学环节才能更好地开展教学活动？
首先，教学目标需要进行优化，既要有一个整体性目标，也要对于不同层次的学生设立不同的教学目标。整体性目标：培养学生的数感，提高学生的计算能力，激发学生学习数学的兴趣。对于不同层次的学生，需要将目标细化。学优生：掌握构建这类等式的方法，学会有序思考，能够构建尽可能多的等式。一般学生：了解构建这类等式的方法，能构建多个符合要求的等式，提高计算能力。学困生：能够构建至少一个等式，培养学习数学的兴趣。
为了更有效地教学，笔者先对学生进行了前测，发现以下问题：
【问题1】 解题习惯的不良，使得进位点在计算过程中被忽略，导致计算错误。
【问题2】不管是两个加数相加，还是三个加数相加，在选数的过程中会出现数字重复或者遗漏。
【问题3】0放在最高位上。
【问题4】不能有序思考。
三、我的课堂
数学教学活动应激发学生的学习兴趣，调动学生的学习积极性，引发学生的数学思考，培养学生的创造性思维;要注重培养学生良好的数学学习习惯，使学生掌握恰当的数学学习方法。让学生在轻松愉悦的环境进行学习并有一定的收获，需要有一份贴近学生已有知识起點、符合学生认知规律的教学设计。
（一）新课导入
师：我们已经上了两年多的数学课了，对于数学中的加减法都有了一定的了解。今天我们将用加法构建一个神秘的等式，先小试牛刀。
师：在一年级学习数学时，最开始学的是什么？
生：阿拉伯数字0、1、2、3、4、5、6、7、8、9。
师：是的，今天要构建的这个等式就需要用到这些阿拉伯数字助手。
练习一：从0、1、2、3、4、5这6个数字中选择4个不同的数字组成2个两位数，使这2个两位数的和是55。
【设计意图：从前测中发现，学生存在重复选择数字以及将0填在最高位的现象。解答练习一没有进位的干扰，选数之后进行有序思考，通过对比就能发现使用竖式较于横式能够更加清楚明了。】
（二）分析问题
师：从0～9这10个数字中选择4个不同的数字，和最小可能是多少？
□ □ □ □=最小
师：它们的和最大可能是多少？
□ □ □ □=最大
【设计意图：看似简单的填数题，实则与接下来的选数有着密切的联系。在此为学生接下来解决新的问题埋下伏笔。】
师：现在我要把题目变得更有挑战性！请看黑板。
练习二：从0～9这10个数字中选8个不同的数字，分别填入下面的式子中，使4个两位数的和等于222。
□□ □□ □□ □□=222
师：先读题，圈一圈关键词。你认为有哪些地方需要提醒大家注意？看到这个题目，你有什么想说的吗？
【锦囊一】将横式变成竖式。
【设计意图：很多学生看到这道题目就会认为自己肯定做不出，从而放弃思考。利用“锦囊”，既让学生产生了解题的兴趣，又提醒了学生。学生通过自己尝试、判断、交流、分析，借助抽象等式思维导向和直观表象思维导向相融合的方法，想到可以应用个位、十位分别凑整形成数组。】
师：现在你有什么灵感吗？（笔算加法，我们一般从低位算起）猜想一下，个位上4个数字相加，和可能是多少？
生：个位相加分别是2、12、22、32。
师：这四种可能都成立吗？为什么？（结论：只有12或者22）
（三）研究问题
1.推理
师：当个位上的4个数字相加，和是22，满二十向十位进二，那么十位上的数字之和会是几呢？
生1：20。
师：如果个位相加之和是12，那十位相加之和是多少？
生2：21。
（板书：猜想一：“十位和20” “个位和22”;猜想二：“十位和21” “个位和12”）
师：这节课我们先研究猜想一“‘十位和20’ ‘个位和22’”。也就是说，个位上的4个数和十位上的4个数相加，应该是20 22=42。你能马上算出0～9这10个数相加之和吗？10个数之和是45，8个数之和是42，多出了几？多出来的两个数是多少？
（明确多出来的两数之和是3）
2. 自主尝试 练习纸：
分类1：去掉0、3。（男生）
分类2：去掉1、2。（女生）
【锦囊二】0～9的数字卡片。
去掉□、□
剩下□、□、□、□、□、□、□、□
十位相加，□ □ □ □=20
个位相加，□ □ □ □=22
【设计意图：在所选数字较多的前提下，学生选数字会出现重复或者遗漏的现象，使用数字卡片可以很好地避开这个问题，同时能够让学生多感官参与，增加思维的活跃度。】
3.交流辨析
师（在学生汇报后）：谁能快速验证他的方法是否正确？
师：还能用这几个数创造出其他等式吗？
（变换数的位置，利用排列与组合引导学生发现可以创造出更多的等式）
【设计意图：合理归类多组等式，可以帮助学生发现，即使个位和十位的数字相同，还是可以构建很多算式，主要原因是四个数字相加的和不改变。】
4.方法拓展
师：老师也有小秘诀，让十位上4个数字的和是20。
分类一：从1、2、3、4、5、6、7、8、9中选4个数字，使它们和是20。
分类二：从3、4、5、6、7、8、9中选4个数字，使它们和是20。
（四）课后延伸
师：其实这道题还有很多答案，课后大家可以比比谁创造的等式更多。
四、对拓展课的思考
（一）帮助学生获得成功的喜悦，调动学生学习数学的积极性
评价一个学生数学学得好不好，不能仅仅看一个量化了的结果，更要对这个结果进行定性分析：究竟动用了哪一层次的思维？思维的深度、广度和灵活度究竟如何？只有在过程里才能看到每个学生的智慧是不一样的。因此，反过来思考学习，“习”当然很重要， “习，从羽从白，数飞也”，要数次飞翔才能形成一个技能，达到流畅和连贯。但是仅仅有“习”是不够的，更要把书本上的知识变成自己的认知，在认识的基础上形成一种见识，这样，学生才能学得更好。
数学拓展课不是只从学科层面强化基础知识的理解、基本技能的掌握和运用，它与基础课不同，基础课的教学目标要求全班不同层次的学生都能达到，但是拓展课的教学目标可以根据学生的实际情况分层设置，真正体现了数学课程的培养目标：人人获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展。拓展课从多角度帮助学生认清自我，使学生获得成功的喜悦，建立学好数学的信心。当这节课结束的时候，一个数学成绩较差的学生和笔者说：“老师，我觉得我还是蛮聪明的。”这时，笔者能感觉到这节课还是比较成功的。数学拓展课的目的就是让学生爱上数学，培养学生学习数学的兴趣和探究意识，通过对教学内容进行深层次的挖掘，促进学生富有个性的学习与发展。
（二）培养学生的数感
曹培英老师提出：数感是一种感悟，而“感悟”的本意是“有所感触而领悟”。简单地说，数感就是关于数的感觉和理解。
数感位列数学十大核心概念之首，由此可见它的重要地位。数感这个概念看似与数学学科很接近，但又遥不可及。恰似武侠小说中所需要修炼的内功一样，说不清、道不明但又十分重要。常有教师提出，学生一学就会，但是在解题过程中就是缺少一种感觉。所谓数感，就是一种对数学的感觉，是一种直觉，是一种对数的敏锐性，是数学思维能力的一个表征，也是一种基本的数学素养。
数感的培养不是简单的题海战术所能够达成的，需要学生更多参与到数学活动中，将已有的数学知识经验和问题情境联系起来，亲历问题的解决过程，只有这样，数感才会随之建立、形成、发展和强化，学生的数学素质才会慢慢提高。
本节课的教学，无论是练习一“构建和是55的等式”，还是练习二“构建和是222的等式”，都是让学生亲身经历解决问题的过程。学生从看到问题时的自我否定，到一步步动手操作解决问题，甚至到最后能构建自己都无法相信的等式数量，最终就能获得成功的喜悦。数学学习虽然是要让学生对数学有敬畏感，但是不能有距离感，必须让学生时刻保持挑战数学的信心。
（三）积累一定的数学活动经验
学生目前的学习状态好比冰山，虽然海平面上只看得到那冰山的一部分，但是只要下面有一个强大的支撑力，总有一天会浮出海面;如果支撑力很小，可能就会慢慢融化后下沉。这个支撑力就是数学活动经验。因此，教师不能只关注学生一分钟能完成多少口算题，还应该关注学生思考了没有，他的推理能力如何，转化能力如何，分析能力如何。 这不仅要传授典型的知识，更要构建典型的方法。以典型的知識、方法的学习为载体，能使学生经历逻辑思考的过程，积累数学活动经验。
构建和是222的等式有两个难点，一是去掉哪两个数，二是如何将已选出来的8个数进行组合。借助已有的知识经验，学生已能运用列竖式的方法从个位加起，发现个位数字之和和十位数字之和与222之间的关系，明确所选的8个数字之和只要是42都可以，并排除（0，3）或（1，2）。考虑到学生会重复选数字或者遗漏一些数字，教师提供了数字卡片，能力较强的学生可以直接利用纸笔解决，能力相对较弱的学生也能借助卡片进行组合，每一个学生都能参与到数学活动中。
数学拓展课主旨是激发学生兴趣，调动学生积极性，引发学生数学思考，鼓励学生的创造性思维;既注重培养学生良好的数学学习习惯，又要使学生掌握恰当的数学学习方法。打破原有常规数学课堂教学的模式，变知识传授为学习方法的掌握，变注重结果为呈现思维过程，变学生被动学习为主动探究，使学生能够开展富有个性化的学习。
[ 参 考 文 献 ]
[1] 魏巍.关注方法指导拓展数学思维：小学数学拓展课程建设的研究实践[J].上海教育科研，2010（7）.
[2] 林伟.开发学生喜欢的数学课程[J].新课程研究，2017（2）.
[3] 田志红. 趣味拓展：基于开放题的数学素养培养[J].扬州大学学报，2013（S1）.
[4] 蔡黎旭.微议小学数学拓展性课程教与学：《一卷胶带有多长》教学实践与反思[J].教学研究，2018（3）.
（责编 金 铃）