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线段图是由几条线段组合在一起，用来表示数量关系，帮助人们分析题意、解答问题的一种平面图形。线段图在整个“问题解决”的教学过程中发挥着非常重要的作用，是从抽象到直观的再创造、再演示的过程。线段图，以其形象、直观的特点，在数学教学中广泛应用。以人教版小学数学教材为例，笔者从线段图的演绎、表征、结构，梳理出线段图在“问题解决”领域中的演变过程，探寻线段图在“问题解决”中的教学策略。
一、探线段图演绎之源，寻抽象延时化之策
线段图的演绎过程碎片化，导致教师在教学过程中常会出现以题讲题，例题呈现是什么表征，教学中就使用这个表征。这样，问题解决的思维缺少“演绎”过程，侧重“记住”结果，使学生对运用线段图助学策略少感悟、不善用。
1.从无到有，分段感悟。
通过梳理，教师在教学过程中应该让学生经历一个线段图从无到有、逐步抽象、螺旋上升的过程，架起学生思维从直观到抽象之间的桥梁，有利于学生细细感悟线段图的演变和优势，消除厌倦情绪，培养画图意识。它在教材中第一次完整呈现是在三年级上册，但在实际教学中，在一二年级已经开始渗透。先后经历了“有物无线→有物含线→隐物替线→无物似线→无物有线”五个阶段，悄无声息地进行着实物图向线段图的自然过渡和衔接。
线段图的五个阶段不一定在教材规定的某一时期出现，教师可以根据学生的差异，提前或推迟要求学生掌握。尊重学生的个体差异，在一段时期内让不同图示共存，逐步发展学生的抽象思维。另外，在教学过程中，教师需特别关注新增“直条覆盖的实物图”和“色条图”的作用。这是学生从具体形象的实物图、一个个的点子图过渡到抽象的线段图之间的“拐杖”。特别是“色条图”，它既具有直观性又有抽象性，为学生发展抽象思维助力。
2.适时回旋，延时抽象。
抽象出线段图以后，教材并没有大量使用，而是交替使用，给学生一个抽象延时化的过程。教材中解决“归一问题”的例题用的是实物图，紧跟着后一个例子解决“归总问题”用的是线段图，后面“分数的简单应用”又以离散型的符号图加以表征。这样交替出现了一段时间后，到了四年级加减法的解决问题，几乎都用线段图来分析数量关系。随后，各种类型的图根据不同的需要，交替出现在教材中。
线段图的产生及其抽象过程是伴随着学生抽象思维水平不断提升的过程。因此，教师在教学过程中要做到适时回旋，应该有目的、有计划地开展教学。根据学生实际发展情况，不必强求每个学生都要使用统一的表征方式，但是要有意识地对其表征方式进行适当的抽象化渗透，让抽象慢慢地发生，为将来的学习做好铺垫。
二、探线段图表征之源，寻比较优化之策
问题解决的表征中，“图”的呈现丰富多样。教师在教学的过程中，应充分联系学生原有的作图经验，加强对学生丰富表征的展示，通过交流与沟通，进行对比和优化，提高学生解决问题的能力。
1.强化本质，明确关系。
丰富表征能够强化问题的本质特征。教学时要鼓励学生分享自己的表征信息，教师则按照从具体到抽象的原则，有层次地展示学生作品。
例如，“求比一个数多几的数是多少”的问题解决。读题后，教师让学生用自己喜欢的方法画题目。在学生图示呈现后，选择不同表征集中呈现，进行比较，有助于数量关系的进一步理解和知识本质的凸显。将学生画的几种比较有代表性的图进行有序展示，以“实物图—符号图—线段图”这样的顺序进行交流。在逐一分析之后，让他们仔细观察，发现相同之处。
教师有序展示丰富表征，可以促成学生自我反思、调整，从不同的视角丰富和完善自己的内部表征。借助各种图还可以在理解题意的基础上将问题中的数学信息与问题表示出来，明确数量关系，构建数量关系模型。
2.比较优化，举一反三。
通过丰富表征，巧妙運用图与图之间的转化，拉长了学生问题解决的思维过程，使学生充分感悟数量之间的关系。在这一过程中，教师还可以适时对表征进行优化，逐步提高学生思维的层次。
第一层次：同类表征的优化。通过教师提问，让学生去比较、思考产生不同结果的原因，充分感悟画图时“一一对应”的数学思想。
第二层次：不同类表征的优化。例如，三年级上册《求一个数的几倍是多少》一课教学过程中，例题教学可以先让学生初步体会线段图的优点，然后结合练习设计，进一步说明线段图的优点。
一条线段可以表示任何的实物。同一条线段可以表示8元钱、8只乒乓球、8个人……一条线段也可以表示任意的数量。同一条线段可以表示6个球、表示10个球、表示30个球……
通过这一环节，学生进一步体会了线段图与其他表征方式在数量关系上的共性，也体会了线段图相较于点子图、色条图的优点，线段图更加简洁明了，作图不再像原来那样繁杂，而是可以很方便地帮助我们解决问题，让学生在以后的问题解决中，能主动优化表征，帮助自己理解问题，分析较复杂的数量关系，从而顺利的解决问题。
教师在课堂上选取一些典型的表征方式，组织生生互动、师生互动加以展示、交流、比较、优化，注重表现方式多样化的同时，也在潜移默化的指导中对学生的思维进行抽象和提升。
三、探线段图结构之源，寻知识结构化之策
小学数学知识的教学，需要教师通过回顾、提炼和反思，逐步将知识结构化。教材在知识结构化方面时有渗透，教师应在此基础上将整体架构的有机渗透融于教学过程中，增强学生学习数学的整体意识，发展学生的数学核心素养。
1.直观感受，动手操作，构建关系。
一般来说，学生获取的是分散的、缺乏联系的无序知识，教师要引导学生将知识结构化。教材在各阶段表征的图中，线段图的呈现过程更加注重结构化的渗透。教师除应注重教材图示的变化外，可以通过直观感受和动手操作，来构建知识结构。
2.具体感知，辨析提炼，以形建型。
在实际教学中，有些单元知识前后的联系非常密切，不仅有利于教师在教学中保持知识的整体性，还有利于学生感受知识的整体性，让教师的知识教学脉络清晰，一气呵成。以六年级上册“分数乘法、分数除法的解决问题”单元为例，看看如何巧借线段图构建分数乘法、除法的解决问题模型。
分数乘法、除法的问题解决，教材都先通过具体感知。每一个例题都呈现线段图帮助理解，看清两个量之间的数量关系，再辨析提炼。分数乘法、除法就是解决两类问题，是“求‘单位1’的几分之几是多少”，还是“已知‘单位1’的几分之几是多少，求‘单位1’”这两个问题。最后，以形建型，用线段图打通分数乘法和分数除法的关系，根据量率的对应，建立分数乘除法问题的相应数学模型。
在教学中，如果教师能够在线段图的教学过程中适时回旋，让抽象延时，教学就不会沦为“过快地给予学生思维抽象”；如果教师能够在线段图的教学过程中尝试、分析、优化表征，教学就不会沦为“片面地给予学生数学表征”；如果教师能够在线段图的教学过程中合理把握好数学知识的整体框架，并能结构化地设计教学过程，教学就不会沦为“粗暴地给予数学知识碎片”。
让我们追溯线段图演绎的源头，探得教学实施的策略，帮助学生在“问题解决”的过程中边学边“串”，提升学生数学思维能力和学习能力，真正为提升学生核心素养服务。
（作者单位：浙江省慈溪市第四实验小学）
（责任编辑 冉 然）
一、探线段图演绎之源，寻抽象延时化之策
线段图的演绎过程碎片化，导致教师在教学过程中常会出现以题讲题，例题呈现是什么表征，教学中就使用这个表征。这样，问题解决的思维缺少“演绎”过程，侧重“记住”结果，使学生对运用线段图助学策略少感悟、不善用。
1.从无到有，分段感悟。
通过梳理，教师在教学过程中应该让学生经历一个线段图从无到有、逐步抽象、螺旋上升的过程，架起学生思维从直观到抽象之间的桥梁，有利于学生细细感悟线段图的演变和优势，消除厌倦情绪，培养画图意识。它在教材中第一次完整呈现是在三年级上册，但在实际教学中，在一二年级已经开始渗透。先后经历了“有物无线→有物含线→隐物替线→无物似线→无物有线”五个阶段，悄无声息地进行着实物图向线段图的自然过渡和衔接。
线段图的五个阶段不一定在教材规定的某一时期出现，教师可以根据学生的差异，提前或推迟要求学生掌握。尊重学生的个体差异，在一段时期内让不同图示共存，逐步发展学生的抽象思维。另外，在教学过程中，教师需特别关注新增“直条覆盖的实物图”和“色条图”的作用。这是学生从具体形象的实物图、一个个的点子图过渡到抽象的线段图之间的“拐杖”。特别是“色条图”，它既具有直观性又有抽象性，为学生发展抽象思维助力。
2.适时回旋，延时抽象。
抽象出线段图以后，教材并没有大量使用，而是交替使用，给学生一个抽象延时化的过程。教材中解决“归一问题”的例题用的是实物图，紧跟着后一个例子解决“归总问题”用的是线段图，后面“分数的简单应用”又以离散型的符号图加以表征。这样交替出现了一段时间后，到了四年级加减法的解决问题，几乎都用线段图来分析数量关系。随后，各种类型的图根据不同的需要，交替出现在教材中。
线段图的产生及其抽象过程是伴随着学生抽象思维水平不断提升的过程。因此，教师在教学过程中要做到适时回旋，应该有目的、有计划地开展教学。根据学生实际发展情况，不必强求每个学生都要使用统一的表征方式，但是要有意识地对其表征方式进行适当的抽象化渗透，让抽象慢慢地发生，为将来的学习做好铺垫。
二、探线段图表征之源，寻比较优化之策
问题解决的表征中，“图”的呈现丰富多样。教师在教学的过程中，应充分联系学生原有的作图经验，加强对学生丰富表征的展示，通过交流与沟通，进行对比和优化，提高学生解决问题的能力。
1.强化本质，明确关系。
丰富表征能够强化问题的本质特征。教学时要鼓励学生分享自己的表征信息，教师则按照从具体到抽象的原则，有层次地展示学生作品。
例如，“求比一个数多几的数是多少”的问题解决。读题后，教师让学生用自己喜欢的方法画题目。在学生图示呈现后，选择不同表征集中呈现，进行比较，有助于数量关系的进一步理解和知识本质的凸显。将学生画的几种比较有代表性的图进行有序展示，以“实物图—符号图—线段图”这样的顺序进行交流。在逐一分析之后，让他们仔细观察，发现相同之处。
教师有序展示丰富表征，可以促成学生自我反思、调整，从不同的视角丰富和完善自己的内部表征。借助各种图还可以在理解题意的基础上将问题中的数学信息与问题表示出来，明确数量关系，构建数量关系模型。
2.比较优化，举一反三。
通过丰富表征，巧妙運用图与图之间的转化，拉长了学生问题解决的思维过程，使学生充分感悟数量之间的关系。在这一过程中，教师还可以适时对表征进行优化，逐步提高学生思维的层次。
第一层次：同类表征的优化。通过教师提问，让学生去比较、思考产生不同结果的原因，充分感悟画图时“一一对应”的数学思想。
第二层次：不同类表征的优化。例如，三年级上册《求一个数的几倍是多少》一课教学过程中，例题教学可以先让学生初步体会线段图的优点，然后结合练习设计，进一步说明线段图的优点。
一条线段可以表示任何的实物。同一条线段可以表示8元钱、8只乒乓球、8个人……一条线段也可以表示任意的数量。同一条线段可以表示6个球、表示10个球、表示30个球……
通过这一环节，学生进一步体会了线段图与其他表征方式在数量关系上的共性，也体会了线段图相较于点子图、色条图的优点，线段图更加简洁明了，作图不再像原来那样繁杂，而是可以很方便地帮助我们解决问题，让学生在以后的问题解决中，能主动优化表征，帮助自己理解问题，分析较复杂的数量关系，从而顺利的解决问题。
教师在课堂上选取一些典型的表征方式，组织生生互动、师生互动加以展示、交流、比较、优化，注重表现方式多样化的同时，也在潜移默化的指导中对学生的思维进行抽象和提升。
三、探线段图结构之源，寻知识结构化之策
小学数学知识的教学，需要教师通过回顾、提炼和反思，逐步将知识结构化。教材在知识结构化方面时有渗透，教师应在此基础上将整体架构的有机渗透融于教学过程中，增强学生学习数学的整体意识，发展学生的数学核心素养。
1.直观感受，动手操作，构建关系。
一般来说，学生获取的是分散的、缺乏联系的无序知识，教师要引导学生将知识结构化。教材在各阶段表征的图中，线段图的呈现过程更加注重结构化的渗透。教师除应注重教材图示的变化外，可以通过直观感受和动手操作，来构建知识结构。
2.具体感知，辨析提炼，以形建型。
在实际教学中，有些单元知识前后的联系非常密切，不仅有利于教师在教学中保持知识的整体性，还有利于学生感受知识的整体性，让教师的知识教学脉络清晰，一气呵成。以六年级上册“分数乘法、分数除法的解决问题”单元为例，看看如何巧借线段图构建分数乘法、除法的解决问题模型。
分数乘法、除法的问题解决，教材都先通过具体感知。每一个例题都呈现线段图帮助理解，看清两个量之间的数量关系，再辨析提炼。分数乘法、除法就是解决两类问题，是“求‘单位1’的几分之几是多少”，还是“已知‘单位1’的几分之几是多少，求‘单位1’”这两个问题。最后，以形建型，用线段图打通分数乘法和分数除法的关系，根据量率的对应，建立分数乘除法问题的相应数学模型。
在教学中，如果教师能够在线段图的教学过程中适时回旋，让抽象延时，教学就不会沦为“过快地给予学生思维抽象”；如果教师能够在线段图的教学过程中尝试、分析、优化表征，教学就不会沦为“片面地给予学生数学表征”；如果教师能够在线段图的教学过程中合理把握好数学知识的整体框架，并能结构化地设计教学过程，教学就不会沦为“粗暴地给予数学知识碎片”。
让我们追溯线段图演绎的源头，探得教学实施的策略，帮助学生在“问题解决”的过程中边学边“串”，提升学生数学思维能力和学习能力，真正为提升学生核心素养服务。
（作者单位：浙江省慈溪市第四实验小学）
（责任编辑 冉 然）