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摘 要：本文从概率题的三方面关系引导学生把握概率问题的内在规律和特点，形成科学的学习方法和解题技巧。
关键词：概率；关系；方法
概率题是高考的热点题型之一，概率题的背景材料也各种各样。解决概率问题，学生与老师各有难处，学生容易把互斥事件、对立事件等知识点的概念混淆；老师进行课堂教学时，概念题的解释已经足够充分了，可学生仍然听不明白。以下就如何把握好三方面关系来突破概率学习这一难题谈谈个人的看法。
一、 “至少有一……”的概率问题与对立事件的关系
由于事件A∪A是一个必然事件，对互斥事件A与B有P（A∪B）=P（A） P（B），故P（A∪A）=P（A） P（A），于是有P（A）=1-P（A），如果对这个公式灵活运用，那么这道题的计算就可以简便许多，如果不能直接計算某事件概率，那就通过求事件的对立事件概率获得。面对这类题型，首先要辨别此事件是否为互斥事件和对立事件，再决定用哪种概率公式来计算：次，出现关键词“至多”“至少”的问题常考虑用对立事件的概率公式计算。
【例1】 现有十个特征完全一样的六面体骰子每次同时抛这10个骰子，抛5次，求骰子至少一次全部是同样点数的概率 。
分析：这道题迷惑性较强，但把握住“至少有一次”，转化为对立事件就容易理解了。
解：题干中对立事件为“所抛五次，每次点数不完全一致”。“而抛一次，点数不完全相同的”的概率为6×1610=169，从而求得其抛5次，朝上点数不完全一致的概率为1-169，所以抛5次至少有一次朝上点数一致的概率为1-1-1695。
二、 “至少有一……”的概率问题与二项式定理的关系
“至少有一次”出现在题目里往往会使题目带有迷惑性，不易理解，可以转换思路，运用其与互斥事件有一个发生的概率结合相关公式计算。
【例2】 现有10个标有1，2，3，4，5，6的自制骰子，每次将其同时抛出，求得其朝上面为同一数字的概率 。
分析：例1那种解法很常用，然而读者并不能完全理解，其实抓住“至少有一次”这个关键点，解决问题就相对方便些。
解：“朝上面数字全部一致”的互斥事件有以下几种：“刚好且只有一次朝上数字面全部一致”、“刚好且有2次朝上面数字全部一致”、“刚好且有3次朝上面数字全部一致”、“刚好且有4次朝上面数字全部一致”和“刚好且有5次朝上面数字全部一致”，故求得其概率为：
C151-1694·169 C251-1693·1692 C351-1692·1693 C451-169·1694 C551695=1-169 1695-C051690·1-1695=1-1-1695。
注：这种解法看似繁琐，但学生易理解。
三、 等可能性事件的概率问题与排列、组合的关系
假设实验中会出现n种不同的结果，而事件A所含有的结果有m种，则其发生的概率为P（A）=mn，从排列。组合的角度看，n实际上是某些事件的排列数、组合数。因此这种等可能性事件的概率问题和有关排列组合的计算是一回事。但应特别注意计算时要严防遗漏、决不重复。
【例3】 实验安排3个男同学和3个女同学并列站成一排，从第二个人（从左往右看）其的任何一个人，其前面的所有人中男同学不比女同学少的概率。
分析：本题的关键是求出“从第二人（从左往右看）起的任何一个人，其前面的所有人中男同学总数不比女同学总数少”的排法种数。
解：题目中6名同学的排列方式方法计算为6！=720，而题干中所求自第二人（从左到右）起任何一个，排在其前面的人中女同学比男同学多的排列方式有以下5种：每种情形中的3男3女又可分别进行全排列，共有5×（3！）×（3！）=180种排法。
男男男-女-女-女
女男-女-女
女-男-女
女-男男-女-女
女-男-女
故所求概率为5×（3！）×（3！）6！=180720=14。
总之，不管是概率题还是数学的其他题型，只要能根据题型的特点，选择与之相适应的方法，必可简洁求解。所以在平时的教学中，我们不仅要“授之以鱼”，更要“授之以渔”；同时，积极引导学生去探索各种题型的内在规律和特点，形成科学的学习方法和解题技巧。只有这样才能调动学生数学学习的积极性，提高学习的效率与信心。
作者简介：
谢晓玲，福建省三明市，三明市第九中学。
关键词：概率；关系；方法
概率题是高考的热点题型之一，概率题的背景材料也各种各样。解决概率问题，学生与老师各有难处，学生容易把互斥事件、对立事件等知识点的概念混淆；老师进行课堂教学时，概念题的解释已经足够充分了，可学生仍然听不明白。以下就如何把握好三方面关系来突破概率学习这一难题谈谈个人的看法。
一、 “至少有一……”的概率问题与对立事件的关系
由于事件A∪A是一个必然事件，对互斥事件A与B有P（A∪B）=P（A） P（B），故P（A∪A）=P（A） P（A），于是有P（A）=1-P（A），如果对这个公式灵活运用，那么这道题的计算就可以简便许多，如果不能直接計算某事件概率，那就通过求事件的对立事件概率获得。面对这类题型，首先要辨别此事件是否为互斥事件和对立事件，再决定用哪种概率公式来计算：次，出现关键词“至多”“至少”的问题常考虑用对立事件的概率公式计算。
【例1】 现有十个特征完全一样的六面体骰子每次同时抛这10个骰子，抛5次，求骰子至少一次全部是同样点数的概率 。
分析：这道题迷惑性较强，但把握住“至少有一次”，转化为对立事件就容易理解了。
解：题干中对立事件为“所抛五次，每次点数不完全一致”。“而抛一次，点数不完全相同的”的概率为6×1610=169，从而求得其抛5次，朝上点数不完全一致的概率为1-169，所以抛5次至少有一次朝上点数一致的概率为1-1-1695。
二、 “至少有一……”的概率问题与二项式定理的关系
“至少有一次”出现在题目里往往会使题目带有迷惑性，不易理解，可以转换思路，运用其与互斥事件有一个发生的概率结合相关公式计算。
【例2】 现有10个标有1，2，3，4，5，6的自制骰子，每次将其同时抛出，求得其朝上面为同一数字的概率 。
分析：例1那种解法很常用，然而读者并不能完全理解，其实抓住“至少有一次”这个关键点，解决问题就相对方便些。
解：“朝上面数字全部一致”的互斥事件有以下几种：“刚好且只有一次朝上数字面全部一致”、“刚好且有2次朝上面数字全部一致”、“刚好且有3次朝上面数字全部一致”、“刚好且有4次朝上面数字全部一致”和“刚好且有5次朝上面数字全部一致”，故求得其概率为：
C151-1694·169 C251-1693·1692 C351-1692·1693 C451-169·1694 C551695=1-169 1695-C051690·1-1695=1-1-1695。
注：这种解法看似繁琐，但学生易理解。
三、 等可能性事件的概率问题与排列、组合的关系
假设实验中会出现n种不同的结果，而事件A所含有的结果有m种，则其发生的概率为P（A）=mn，从排列。组合的角度看，n实际上是某些事件的排列数、组合数。因此这种等可能性事件的概率问题和有关排列组合的计算是一回事。但应特别注意计算时要严防遗漏、决不重复。
【例3】 实验安排3个男同学和3个女同学并列站成一排，从第二个人（从左往右看）其的任何一个人，其前面的所有人中男同学不比女同学少的概率。
分析：本题的关键是求出“从第二人（从左往右看）起的任何一个人，其前面的所有人中男同学总数不比女同学总数少”的排法种数。
解：题目中6名同学的排列方式方法计算为6！=720，而题干中所求自第二人（从左到右）起任何一个，排在其前面的人中女同学比男同学多的排列方式有以下5种：每种情形中的3男3女又可分别进行全排列，共有5×（3！）×（3！）=180种排法。
男男男-女-女-女
女男-女-女
女-男-女
女-男男-女-女
女-男-女
故所求概率为5×（3！）×（3！）6！=180720=14。
总之，不管是概率题还是数学的其他题型，只要能根据题型的特点，选择与之相适应的方法，必可简洁求解。所以在平时的教学中，我们不仅要“授之以鱼”，更要“授之以渔”；同时，积极引导学生去探索各种题型的内在规律和特点，形成科学的学习方法和解题技巧。只有这样才能调动学生数学学习的积极性，提高学习的效率与信心。
作者简介：
谢晓玲，福建省三明市，三明市第九中学。