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[关键词]数学教学；图形变换；解题；平移；旋转；轴对称；策略
[中图分类号]G633.63 [文献标识码]C
[文章编号]1004—0463(2011)01(A)—0078—02
新课程标准下的初中《数学》课程增加了图形变化的内容，其中平移、旋转、轴对称这三种变换，在变换过程中只有图形位置发生变化，而形状与大小都不发生变化，这种变换为学生解决问题打开了一扇新窗口。
学生在利用图形变化的知识解题时，往往感觉题目给出的条件不够，很难利用常规思路与方法解答问题，造成学习知识的困难，但如果从图形变换的角度，将图形作一定的变换，则有利于学生发现问题中的隐含条件，抓住问题的关键与实质，从而使问题得以突破，图形变换是一种用变化的、运动的观点来处理孤立的、离散的问题的思想，因此，解题时辅助线的添加非常重要，但学生一般不易领会这种变换思想的实质，感觉辅助线的添加像变魔术似的，无法掌握，下面笔记结合具体实例，谈几点利用平移、旋转以及轴对称变换解题的策略。
平移变换
例1在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=70°，∠C=0°，BC=15cm，求AD+CD的长。
分析：如图1，∠B与∠C不是特殊角，没有直接联系，上底、下底与腰也没有联系，如果按常规辅助线作高，则发现已知条件不够，问题无法解答，造成解答此题困难的原因是：题目中已知条件互相独立，条件与结论没有必然的关系，无法进行有效的推理论证，所以必须添加合理的辅助线，把独立、分散的条件与结论联系起来，但学生往往缺乏这方面的经验，不知如何添加辅助线，如果我们考虑到梯形与三角形、平行四边形的关系，利用平移变换，将AB沿AD方向平移到DE，使这些分散的条件在△CDE与□ABED中产生联系，得到△CDE为等腰三角形，则AD=BE,CD=CE,即AD+CD=BC，从而使问题得到解决。
例2如图2，等腰梯形ABCD两对角线互相垂直，MN为中位线，DH为高线，求证：MN=DH。
分析：问题中条件比较分散，无法直接考虑到中位线同上下底的和有关，两条对角线的垂直无法直接利用，要使各条件之间产生联系，必须进行线段的平移，将AC沿AD方向平移至DE，则DE=AC=BD。因此△DBE为等腰直角三角形，DH为其高，所以DH=1/2BE，而MN=1/2(AD+BC)=1/2BE，即DH=MN。
规律总结：
1 与四边形或多边形相关的问题，可通过腰或边的平移，把分散的条件集中起来，使问题转化为三角形中边或角的关系；
2 与定长的线段有关的问题，常作平移；
3 与梯形、正方形有关的问题，常可利用梯形、正方形的特性作平移；
4 从运动的观念来考虑问题，可使原来静止的图形动起来；
5 通过平移可把已知与结论中无联系的条件，在新的位置中产生联系，从而解决问题，
旋转变换
例3如图3，△ABC中，AB=3，AC=4，AD是BC边上的中线，求AD的取值范围。
分析：AB，AC，AD不是同一个三角形的三边，不能利用三角形三边关系解决问题。教师往往会告诉学生，可延长AD至E，使DE=AD，连接CE，易证△ECD≌△ABD，得CE=AB=3，故AC-CE<2AD 例4如图4，在直角△ACB中，∠ACB=90°，AC=BC，P，Q为斜边AB上两点，∠PCQ=45°，试说明AP2+BQ2=PQ2。
分析：由结论At2+BQ2=P2易联想到勾股定理，但AP,BP，PQ不在同一三角形中，条件分散，无法利用，故可利用旋转变换，以C为旋转中心，将△CAP逆时针旋转90°得△CDB，易得AP=DB，PQ=DQ，从而将AP,BQ，PQ三边集中在直角△DBQ中，使问题得到解决。
例5如图5，等边△ABC内有一点P，使PA=3,PB=4,PC=5，求∠APB的度数。
分析：易见原图中三边PA，PB，PC与∠APB的度数无法联系在一起，而只要以B为旋转中心，把△APB顺时针旋转60°得△CDB,可知CD=AP=3，BD=BP=4，∠PBD=60°，则△PBD为等边三角形，PD=4，由勾股定理的逆定理得∠PDC=90°，故∠BDC=∠APB=150°。
规律总结：
1 与等腰三角形有关的问题，常取顶角的顶点为旋转中心，作旋转变换；
2 与正三角形或正方形有关的问题，常可利用正三角形或正方形的特性作旋转变换；
3 与中点有关的问题，一般以中点为旋转中心；
4 与圆有关的问题，常取圆心为旋转中心，作旋转变换；
5 当图形中存在等线段、特别角、全等形、正多边形等情况时，常常可以试探作一个有用的旋转变换，使得这个变换带来新的全等形、相等的线段、相等的角等等，从而将已知条件相对集中，以利于问题的解决。
轴对称变换
例6如图6所示，要在街道L旁修建一个奶站，向居民区A，B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使A，B到它的距离之和最短.
分析：要学生直接解答，大部分学生无法完成.如果教师直接告诉学生，过A作关于直线L的对称点C，连接BC交直线L与点P，则P点为所求的点，然后进行推理论证。从知识传授的快慢与准确来说，教师对这道题的教法没有什么问题，但从学生的角度来说，一是这样使本来有趣的问题变为枯燥无味的、被动的知识接收，不能充分调动学生学习的积极性；二是没有使学生主动参与教学的思维过程，不能培养学生的自主创新精神，如果教师引导学生思考：假设A，B居民区在街道L的两旁，奶站应建在什么地方，那么学生由两点间线段最短，很容易就能确定奶站的位置，由此学生的思维得到开启，自己找到过A作关于直线L的对称点C，使同侧问题转化为两侧问题，从而使问题得到解答。
例7 如图7，AH⊥BC于H，∠C=35°，且AB+BH=HC，求∠B的度数。
分析：条件与结论之间关系不明显，不具备直接解答的条件。由于AH⊥BC，则以AH为轴作对称变换，点B的对称点D必落在HC上，得△ABH≌△ADH。由AB+BH=HC得AD=DC，即∠ADB=2 ∠C=70°，从而∠B=70°。
规律总结：
1 如果遇到的图形不是轴对称图形，则常选择某直线为对称轴，添补为轴对称图形，或轴一侧的图形翻折到另一侧，以实现条件的相对集中；
2 如果遇到的图形是轴对称图形，常以对称轴为辅助线。如，一般等腰三角形常添设顶角平分线，矩形或等腰梯形常添设对边中点连线和两底中点连线，正方形或菱形常添设对角线等等。
编辑：刘立英
[中图分类号]G633.63 [文献标识码]C
[文章编号]1004—0463(2011)01(A)—0078—02
新课程标准下的初中《数学》课程增加了图形变化的内容，其中平移、旋转、轴对称这三种变换，在变换过程中只有图形位置发生变化，而形状与大小都不发生变化，这种变换为学生解决问题打开了一扇新窗口。
学生在利用图形变化的知识解题时，往往感觉题目给出的条件不够，很难利用常规思路与方法解答问题，造成学习知识的困难，但如果从图形变换的角度，将图形作一定的变换，则有利于学生发现问题中的隐含条件，抓住问题的关键与实质，从而使问题得以突破，图形变换是一种用变化的、运动的观点来处理孤立的、离散的问题的思想，因此，解题时辅助线的添加非常重要，但学生一般不易领会这种变换思想的实质，感觉辅助线的添加像变魔术似的，无法掌握，下面笔记结合具体实例，谈几点利用平移、旋转以及轴对称变换解题的策略。
平移变换
例1在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=70°，∠C=0°，BC=15cm，求AD+CD的长。
分析：如图1，∠B与∠C不是特殊角，没有直接联系，上底、下底与腰也没有联系，如果按常规辅助线作高，则发现已知条件不够，问题无法解答，造成解答此题困难的原因是：题目中已知条件互相独立，条件与结论没有必然的关系，无法进行有效的推理论证，所以必须添加合理的辅助线，把独立、分散的条件与结论联系起来，但学生往往缺乏这方面的经验，不知如何添加辅助线，如果我们考虑到梯形与三角形、平行四边形的关系，利用平移变换，将AB沿AD方向平移到DE，使这些分散的条件在△CDE与□ABED中产生联系，得到△CDE为等腰三角形，则AD=BE,CD=CE,即AD+CD=BC，从而使问题得到解决。
例2如图2，等腰梯形ABCD两对角线互相垂直，MN为中位线，DH为高线，求证：MN=DH。
分析：问题中条件比较分散，无法直接考虑到中位线同上下底的和有关，两条对角线的垂直无法直接利用，要使各条件之间产生联系，必须进行线段的平移，将AC沿AD方向平移至DE，则DE=AC=BD。因此△DBE为等腰直角三角形，DH为其高，所以DH=1/2BE，而MN=1/2(AD+BC)=1/2BE，即DH=MN。
规律总结：
1 与四边形或多边形相关的问题，可通过腰或边的平移，把分散的条件集中起来，使问题转化为三角形中边或角的关系；
2 与定长的线段有关的问题，常作平移；
3 与梯形、正方形有关的问题，常可利用梯形、正方形的特性作平移；
4 从运动的观念来考虑问题，可使原来静止的图形动起来；
5 通过平移可把已知与结论中无联系的条件，在新的位置中产生联系，从而解决问题，
旋转变换
例3如图3，△ABC中，AB=3，AC=4，AD是BC边上的中线，求AD的取值范围。
分析：AB，AC，AD不是同一个三角形的三边，不能利用三角形三边关系解决问题。教师往往会告诉学生，可延长AD至E，使DE=AD，连接CE，易证△ECD≌△ABD，得CE=AB=3，故AC-CE<2AD
分析：由结论At2+BQ2=P2易联想到勾股定理，但AP,BP，PQ不在同一三角形中，条件分散，无法利用，故可利用旋转变换，以C为旋转中心，将△CAP逆时针旋转90°得△CDB，易得AP=DB，PQ=DQ，从而将AP,BQ，PQ三边集中在直角△DBQ中，使问题得到解决。
例5如图5，等边△ABC内有一点P，使PA=3,PB=4,PC=5，求∠APB的度数。
分析：易见原图中三边PA，PB，PC与∠APB的度数无法联系在一起，而只要以B为旋转中心，把△APB顺时针旋转60°得△CDB,可知CD=AP=3，BD=BP=4，∠PBD=60°，则△PBD为等边三角形，PD=4，由勾股定理的逆定理得∠PDC=90°，故∠BDC=∠APB=150°。
规律总结：
1 与等腰三角形有关的问题，常取顶角的顶点为旋转中心，作旋转变换；
2 与正三角形或正方形有关的问题，常可利用正三角形或正方形的特性作旋转变换；
3 与中点有关的问题，一般以中点为旋转中心；
4 与圆有关的问题，常取圆心为旋转中心，作旋转变换；
5 当图形中存在等线段、特别角、全等形、正多边形等情况时，常常可以试探作一个有用的旋转变换，使得这个变换带来新的全等形、相等的线段、相等的角等等，从而将已知条件相对集中，以利于问题的解决。
轴对称变换
例6如图6所示，要在街道L旁修建一个奶站，向居民区A，B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使A，B到它的距离之和最短.
分析：要学生直接解答，大部分学生无法完成.如果教师直接告诉学生，过A作关于直线L的对称点C，连接BC交直线L与点P，则P点为所求的点，然后进行推理论证。从知识传授的快慢与准确来说，教师对这道题的教法没有什么问题，但从学生的角度来说，一是这样使本来有趣的问题变为枯燥无味的、被动的知识接收，不能充分调动学生学习的积极性；二是没有使学生主动参与教学的思维过程，不能培养学生的自主创新精神，如果教师引导学生思考：假设A，B居民区在街道L的两旁，奶站应建在什么地方，那么学生由两点间线段最短，很容易就能确定奶站的位置，由此学生的思维得到开启，自己找到过A作关于直线L的对称点C，使同侧问题转化为两侧问题，从而使问题得到解答。
例7 如图7，AH⊥BC于H，∠C=35°，且AB+BH=HC，求∠B的度数。
分析：条件与结论之间关系不明显，不具备直接解答的条件。由于AH⊥BC，则以AH为轴作对称变换，点B的对称点D必落在HC上，得△ABH≌△ADH。由AB+BH=HC得AD=DC，即∠ADB=2 ∠C=70°，从而∠B=70°。
规律总结：
1 如果遇到的图形不是轴对称图形，则常选择某直线为对称轴，添补为轴对称图形，或轴一侧的图形翻折到另一侧，以实现条件的相对集中；
2 如果遇到的图形是轴对称图形，常以对称轴为辅助线。如，一般等腰三角形常添设顶角平分线，矩形或等腰梯形常添设对边中点连线和两底中点连线，正方形或菱形常添设对角线等等。
编辑：刘立英