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【摘要】运算一直是我国基础教育数学课程的主要内容，运算能力的培养是我国数学能力培养教育的重点之一。笔者在循环教学中发现第一学段学生运算能力短板主要体现在传统的口算、笔算和估算等基础运算技能弱以及综合运算能力弱两方面，并由此阐述促进学生运算技能提高的三项对策。
【关键词】运算能力;多元表征法;类比推理;建模思想
我国基础教育数学课程一直将运算作为主要内容，运算能力是我国数学教育的重要特征之一，许多一线教师都投入精力研究提升学生运算能力的对策中。但是，就目前来看，大部分一线教师仍聚焦于小学数学计算能力的研究。如，高敏聪的《聚焦核心素养，提高学生计算能力的策略》、郭淑娜的《提高小学数学计算能力的有效措施》、林新华和钟业华的《小学数学教学中培养学生计算能力的方法》等。大部分文章研究的是培养学生传统的口算、笔算和估算等基础技能，并未对学生运用运算解决各种问题时的分析能力、推理能力等思维能力的培养进行深入研究。
与运算能力相关的研究并不算多，而且主要集中在整体小学阶段或者第二学段的基础上对学生运算能力培养与提升的研究，如，李小英的《小学数学核心素养体系下的运算能力提升途径》、吴珠凤的《小学数学核心素养体系下运算能力的提升》、郭洪艳和张蕾的《谈小学数学核心素养——运算能力的培养》、刘双芹的《聚焦数学核心素养下的学生运算能力的培养》、施东斌的《小学数学中高年级学生运算能力培养策略》等。部分文章内容相近，大多集中在激发学生学习数学运算的兴趣，加强基础知识的教学，养成良好的习惯等相关内容。而聚焦于第一学段对学生数学运算能力的培养对策的思考就更少，其深度和广度也不够。
一、相关概念
（一）第一学段
1-3年级。
（二）运算能力
主要是指能够根据法则和运算律正确地进行运算的能力。培养运算能力有助于学生理解运算的算理，寻求合理简洁的运算途径解决问题。
二、第一学段学生运算能力短板
（一）短板一：基础运算技能
基础运算技能指的就是传统的口算、笔算和估算等基础技能。根据笔者设计的在线测试，笔者发现第一学段学生的运算错误可以分为两种：一是由于年龄特征与认知规律导致的错误，如，看错数字或符号、书写潦草的运算错误。二是学生对算理算法的不理解导致的错误，如退位减法中不会退位、进位加法中忘记进位等。
（二）短板二：综合运算能力
运算能力是由运算技能通过综合性高水平思维训练获得的。小学阶段，综合运算能力往往指的是解决应用题。根据笔者的观察，发现第一学段学生综合运算能力弱的原因有二：一是基础运算技能未掌握，即能列对算式但是算不对结果;二是由于综合性高水平思维训练的缺乏，基础运算技能掌握的学生无法根据问题列出算式。
三、提高第一学段学生运算能力的对策
针对以上两项短板，提出提高第一学段学生运算能力的对策如下：
（一）多元表征方法促进学生理解算理
美国教育心理学家布鲁纳提出学习的三种具有严格递进关系的表征方式：动作的表征、形象的表征和符号的表征。钟建林的《小学数学运算技能教学的三个层次》一文中，也有将整个小学阶段学生从实物、图示、符号三个不同的阶段学习运算技能的说法。因此，教师在进行学习设计时要多利用实物、图示、符号三种表征帮助学生理解算理。具体表征方法如下：
1.实物表征，为数的运算的学习留下引子
实际上，在学生学会用数表示物体前，我们都是用实物来表征数的方式导入课堂。教师应当多准备生活中常见的实物，让学生从生活中的实物出发，理解数字可以用物体表示。
2.图形表征，为数的运算的学习奠定重要基础
一般在课堂上，教师会让学生用自己喜欢的图形表示数。这样利用图形表征让学生自己对数的认识进行加工处理，使得他们在初步学习数的概念时更加直观和容易接受。这不仅是借助图形表现数的直观性加速学生的理解，也是为后期学习数的运算中相关的算理奠定了重要的基础。
3.操作表征，协助学生理解运算算理
在学生第一次正式地学习数的运算部分内容时，教材就设置了“摆一摆，算一算”的学习设计让学生通过动手操作的方式初步认识加法的意义。而后依次出现了让学生“画一画、拨一拨、分一分”等学习设计，使得学生在操作表征中深入地体验数是如何运算的。在现实教学中，部分教师可能因为课堂时长、课堂容量、对低龄学生认知情况不了解等原因，减去了让学生去使用操作表征这一学习方式。這会导致学生后期在正式学习运算时，反倒依赖“数手指”辅助运算。
（二）类比推理法教学促进学生掌握运算技能
类比推理，是从特殊到特殊的推理方法，它是在比较的基础上进行的推理。在教材中，运算的教学内容是螺旋上升，分布在不同的年级中。如果在教学中可以让学生将新知和新问题与已经学习的关联知识进行类比，将新知转换成旧知，实现知识的迁移。以整数减法为例，学生使用计数器 “借一当十”学习20以内数的退位减法后，后续要进一步学习100以内数的减法竖式时，就可以让学生将两者进行类比，找出共同点：借一当十。到三年级要学习万以内数的减法时，又能将前两者拿出来，进行三者之间的类比。这样将新知与旧知相联系，既降低学生学习新知的难度，又能将学习的内容以模块化的方式串联起来，促进学生轻松掌握运算技能。
（三）数学建模思想提高学生运算能力
根据《义务教育数学课程标准（2011年版）》中对模型思想的概念界定，数学建模的过程实际上就是学生体会和理解数学与外部世界联系的过程，建立模型也是学生进行数学应用和解决问题的核心。在北师大版的数学教材中，每一节课都有对应的情境图。在教学中，学生每一次利用情境图抽象出数学问题的过程就是一次数学建模的过程。在教学设计中，教师可以把建模过程归纳为以下流程：
出示情境图——找出数学信息——思考数学信息之间的关系——编成问题——解决问题三部曲：列式、计算、答
以上是正向的思维训练，本质上就是大部分教师熟悉的应用题解答过程。但是，教师在进行教学的时候，常会忽视让学生思考数学信息之间的关系，直接要求学生从数学信息出发，提出数学问题。部分学生就在这部分出现了衔接不上的问题：是如何从数学信息就提出这样的数学问题呢？所以，教师在最开始进行情境图学习设计时，必须留有足够的时间让学生思考数学信息之间的关系。
在学生熟悉正向思维训练后，教师可以进行逆向的思维训练设计，即：
出示情境图及算式——找出算式中数字对应的数学信息——思考算式中符号代表的关系——说出数学条件——还原数学问题
逆向思维训练的难点在于学生往往想不出算式中符号代表的关系。刚开始进行训练时，教师可以稍作点拨，如“ ”在正向思维训练中，一般是问什么？引导学生思考符号关系。
四、小结
总之，在第一学段循环教学的过程，笔者发现使用多元表征、类比推理、建模思想训练这三种策略可以提高学生学习运算的兴趣。在降低学习难度的情况下，促使学生运算技能提升，进而优化和提升课堂效果效率。
参考文献：
[1]教育部.义务教育数学课程标准（2011版）[M].北京师范大学出版社，2012.
[2]席爱勇，李宾.数学多元表征学习的理论与实践[M].南京大学出版社，2018.
[3]温寒江，陈立华，魏淑娟.小学数学两种思维结合学习论——马芯兰教学法的研究与实践[M].北京：教育科学出版社，2016.
[4]陈立华，魏淑娟，王晓松.小学数学思维训练与能力培养[M]. 教育科学出版社，2016.
[5]钟建林.小学数学运算技能教学的三个层次[J].教学与管理，2017（29）.
[6]王永春.小学数学运算能力的培养应与时俱进[J].小学数学教育，2012（10）.
[7]王永春.小学数学核心素养体系下的运算能力[J].小学教学研究，2017（07）.
【关键词】运算能力;多元表征法;类比推理;建模思想
我国基础教育数学课程一直将运算作为主要内容，运算能力是我国数学教育的重要特征之一，许多一线教师都投入精力研究提升学生运算能力的对策中。但是，就目前来看，大部分一线教师仍聚焦于小学数学计算能力的研究。如，高敏聪的《聚焦核心素养，提高学生计算能力的策略》、郭淑娜的《提高小学数学计算能力的有效措施》、林新华和钟业华的《小学数学教学中培养学生计算能力的方法》等。大部分文章研究的是培养学生传统的口算、笔算和估算等基础技能，并未对学生运用运算解决各种问题时的分析能力、推理能力等思维能力的培养进行深入研究。
与运算能力相关的研究并不算多，而且主要集中在整体小学阶段或者第二学段的基础上对学生运算能力培养与提升的研究，如，李小英的《小学数学核心素养体系下的运算能力提升途径》、吴珠凤的《小学数学核心素养体系下运算能力的提升》、郭洪艳和张蕾的《谈小学数学核心素养——运算能力的培养》、刘双芹的《聚焦数学核心素养下的学生运算能力的培养》、施东斌的《小学数学中高年级学生运算能力培养策略》等。部分文章内容相近，大多集中在激发学生学习数学运算的兴趣，加强基础知识的教学，养成良好的习惯等相关内容。而聚焦于第一学段对学生数学运算能力的培养对策的思考就更少，其深度和广度也不够。
一、相关概念
（一）第一学段
1-3年级。
（二）运算能力
主要是指能够根据法则和运算律正确地进行运算的能力。培养运算能力有助于学生理解运算的算理，寻求合理简洁的运算途径解决问题。
二、第一学段学生运算能力短板
（一）短板一：基础运算技能
基础运算技能指的就是传统的口算、笔算和估算等基础技能。根据笔者设计的在线测试，笔者发现第一学段学生的运算错误可以分为两种：一是由于年龄特征与认知规律导致的错误，如，看错数字或符号、书写潦草的运算错误。二是学生对算理算法的不理解导致的错误，如退位减法中不会退位、进位加法中忘记进位等。
（二）短板二：综合运算能力
运算能力是由运算技能通过综合性高水平思维训练获得的。小学阶段，综合运算能力往往指的是解决应用题。根据笔者的观察，发现第一学段学生综合运算能力弱的原因有二：一是基础运算技能未掌握，即能列对算式但是算不对结果;二是由于综合性高水平思维训练的缺乏，基础运算技能掌握的学生无法根据问题列出算式。
三、提高第一学段学生运算能力的对策
针对以上两项短板，提出提高第一学段学生运算能力的对策如下：
（一）多元表征方法促进学生理解算理
美国教育心理学家布鲁纳提出学习的三种具有严格递进关系的表征方式：动作的表征、形象的表征和符号的表征。钟建林的《小学数学运算技能教学的三个层次》一文中，也有将整个小学阶段学生从实物、图示、符号三个不同的阶段学习运算技能的说法。因此，教师在进行学习设计时要多利用实物、图示、符号三种表征帮助学生理解算理。具体表征方法如下：
1.实物表征，为数的运算的学习留下引子
实际上，在学生学会用数表示物体前，我们都是用实物来表征数的方式导入课堂。教师应当多准备生活中常见的实物，让学生从生活中的实物出发，理解数字可以用物体表示。
2.图形表征，为数的运算的学习奠定重要基础
一般在课堂上，教师会让学生用自己喜欢的图形表示数。这样利用图形表征让学生自己对数的认识进行加工处理，使得他们在初步学习数的概念时更加直观和容易接受。这不仅是借助图形表现数的直观性加速学生的理解，也是为后期学习数的运算中相关的算理奠定了重要的基础。
3.操作表征，协助学生理解运算算理
在学生第一次正式地学习数的运算部分内容时，教材就设置了“摆一摆，算一算”的学习设计让学生通过动手操作的方式初步认识加法的意义。而后依次出现了让学生“画一画、拨一拨、分一分”等学习设计，使得学生在操作表征中深入地体验数是如何运算的。在现实教学中，部分教师可能因为课堂时长、课堂容量、对低龄学生认知情况不了解等原因，减去了让学生去使用操作表征这一学习方式。這会导致学生后期在正式学习运算时，反倒依赖“数手指”辅助运算。
（二）类比推理法教学促进学生掌握运算技能
类比推理，是从特殊到特殊的推理方法，它是在比较的基础上进行的推理。在教材中，运算的教学内容是螺旋上升，分布在不同的年级中。如果在教学中可以让学生将新知和新问题与已经学习的关联知识进行类比，将新知转换成旧知，实现知识的迁移。以整数减法为例，学生使用计数器 “借一当十”学习20以内数的退位减法后，后续要进一步学习100以内数的减法竖式时，就可以让学生将两者进行类比，找出共同点：借一当十。到三年级要学习万以内数的减法时，又能将前两者拿出来，进行三者之间的类比。这样将新知与旧知相联系，既降低学生学习新知的难度，又能将学习的内容以模块化的方式串联起来，促进学生轻松掌握运算技能。
（三）数学建模思想提高学生运算能力
根据《义务教育数学课程标准（2011年版）》中对模型思想的概念界定，数学建模的过程实际上就是学生体会和理解数学与外部世界联系的过程，建立模型也是学生进行数学应用和解决问题的核心。在北师大版的数学教材中，每一节课都有对应的情境图。在教学中，学生每一次利用情境图抽象出数学问题的过程就是一次数学建模的过程。在教学设计中，教师可以把建模过程归纳为以下流程：
出示情境图——找出数学信息——思考数学信息之间的关系——编成问题——解决问题三部曲：列式、计算、答
以上是正向的思维训练，本质上就是大部分教师熟悉的应用题解答过程。但是，教师在进行教学的时候，常会忽视让学生思考数学信息之间的关系，直接要求学生从数学信息出发，提出数学问题。部分学生就在这部分出现了衔接不上的问题：是如何从数学信息就提出这样的数学问题呢？所以，教师在最开始进行情境图学习设计时，必须留有足够的时间让学生思考数学信息之间的关系。
在学生熟悉正向思维训练后，教师可以进行逆向的思维训练设计，即：
出示情境图及算式——找出算式中数字对应的数学信息——思考算式中符号代表的关系——说出数学条件——还原数学问题
逆向思维训练的难点在于学生往往想不出算式中符号代表的关系。刚开始进行训练时，教师可以稍作点拨，如“ ”在正向思维训练中，一般是问什么？引导学生思考符号关系。
四、小结
总之，在第一学段循环教学的过程，笔者发现使用多元表征、类比推理、建模思想训练这三种策略可以提高学生学习运算的兴趣。在降低学习难度的情况下，促使学生运算技能提升，进而优化和提升课堂效果效率。
参考文献：
[1]教育部.义务教育数学课程标准（2011版）[M].北京师范大学出版社，2012.
[2]席爱勇，李宾.数学多元表征学习的理论与实践[M].南京大学出版社，2018.
[3]温寒江，陈立华，魏淑娟.小学数学两种思维结合学习论——马芯兰教学法的研究与实践[M].北京：教育科学出版社，2016.
[4]陈立华，魏淑娟，王晓松.小学数学思维训练与能力培养[M]. 教育科学出版社，2016.
[5]钟建林.小学数学运算技能教学的三个层次[J].教学与管理，2017（29）.
[6]王永春.小学数学运算能力的培养应与时俱进[J].小学数学教育，2012（10）.
[7]王永春.小学数学核心素养体系下的运算能力[J].小学教学研究，2017（07）.