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数学规律的教学对于培养小学生探索问题的能力和发展其抽象思维具有十分重要的意义，但由于数学规律具有抽象、严密和高度概括的特点，它的教与学往往会成为课程实施的难点之一。那么该如何突破这一难点，提高规律教学的有效度呢？笔者认为，要以学生的“学”为基点，从规律产生的背景、规律本身的内涵和规律隐藏的思想、方法等方面进行深入的教学思考与设计，才能取得较好的成效。
一、研究个案，探索规律变化的内涵，便于发现规律的特点
片段一：
师：认真觀察第三组算式，发现了什么？请你选其中两行数据做例子，在小组内说说你的发现。
第三组： 14 ÷ 2 =
140 ÷ 20 =
280 ÷ 40 =
700 ÷ 100 =
生1：第一行的被除数乘10，除数乘10，商还是7。
根据学生汇报，课件显示：（14×10）÷（2×10）=7
师：我们还可以简洁地说：从第一行到第二行，被除数、除数同时乘10，商不变。
生2：从第一行到第三行，被除数、除数同时乘20，商不变。
课件显示：（14×20）÷（2×20）=7
……
师：如果从下往上观察，又有什么发现？
生4：从第三行到第二行，被除数、除数同时除以2，商不变。
课件显示：（280÷2）÷（40÷2）=7
……
师：通过观察，你们发现了被除数、除数怎么变，商不变？
引导得出：被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变。
反思：小学阶段数学公式、定理及规律的发现过程有两种方法较为常用，第一是借助特例的研究来发现，也就是从特殊到一般的归纳方法，通过对典型例子的观察、分析等方式提出猜想，归纳得出结论。如“积与因数的变化规律”、“商的变化规律”等，这是因为在这些规律的教学中，小学生的观察范围受年龄特征的影响，在整体与局部之间其关注更趋向于局部，因此在规律发现过程中借助特例（也可称为个案）的观察会更有效。第二是借助已有的知识，通过转化、推理、验证等方式，演绎得出结论。如“平行四边形面积”、“三角形面积”的推导则是通过把新图形转换成已学图形，借助已学图形的面积计算方法推导出新图形的计算公式。
片段二中，第三组包含了四个除法算式，如果让学生整体观察，会难以发现规律，即使发现，也难以深入理解和表述“商不变规律”的内涵。因此在实践中，教师有意识地引导学生通过选取其中两个式子进行观察，并在小组内进行交流，最后汇报得出规律。首先，通过个案的观察、分析，引导学生用自己的语言表述出算式之间存在的关系，对规律的内涵获得初步认识；其次，在汇报中进一步引导学生用简洁的数学语言来表述其发现；再次，教师利用课件，借助于数学语言和符号，依次展示算式之间的关系，帮助学生深入理解规律的内涵，初步建立“商不变规律”的数学模型；最后，引导学生对多个个案进行分析、对比，最终抽象概括出“商不变规律”。在此过程中，学生积极参与了上述探索和交流活动，在积累中感悟，在探索中发现，充分地经历了规律意义建构的全过程。
在规律教学中，要避免学生停留于对规律的机械记忆，忽视对规律内涵的深刻理解。而借助对特例（个案）的观察、分析、归纳等方式，便于学生发现规律的特点，利于学生探索、理解规律的内涵，是数学规律教学的一种重要思路。
二、渗透思想，升华规律探索的方法，获得学习规律的智慧
片段二：
师：因数的变化会引起积得变化，猜猜看，除法算式中谁会引起商的变化？
生1：我猜被除数变化会引起商的变化。
生2：除数变化会引起商的变化。
生3：我想，被除数和除数的变化都会引起商的变化。
师：猜想可不一定正确，需要研究来进行验证。要研究商的变化规律，你觉得拿多少个除法算式研究比较合适、比较可信呢？
生：越多越好。
师：是啊，当然是越多越好了，研究得多了才可信啊。但是，太多了研究起来非常不方便。所以一般情况下，只是先研究一组或几组算式，尝试找出规律。研究问题通常从简单入手，我们首先来研究被除数、除数其中一个变的情况好吗？
生：好。
片段三：
师：学习商不变规律有什么用呢？先完成下面的练习题，再说一说你有什么发现？
根据每组除法算式中第1题的商，直接写出下面两题的商。
学生独立完成以上题目，并汇报。
师：你们算得这么快，应用了什么规律？
生：应用了商不变规律。
师：怎么应用的？
生： 720和90同时除以10，可以用划去末尾一个0的方法来表示同时除以10，把“720÷90=”看做了“72÷9=”来算。
师：同样，那“7200÷900=”可以看做什么来算？
生：7200和900同时除以100，同时划掉末尾的两个0，看做“72÷9=”来算。
师：哦！也就是把第2、3道题，运用商不变规律转化成第一道表内除法来进行计算。其他两组也可以这样思考吗？
生：可以。
反思：数学规律的教学，不仅要让学生探索、发现、应用规律，还需要教师深入挖掘教材，用心设计教学过程，适时渗透数学思想方法，才能让学生获得学习规律的智慧，学会“数学地思考”。
在“商的变化规律”这一节课中，找准规律知识与数学思想方法的有效结合点，适时渗透数学思想方法，有利于提升学生掌握规律探索的方法，获得学习规律的智慧。如片段二中，首先让学生对“商的变化”进行猜想，再通过师生间就“拿多少个除法算式研究比较合适、比较可信”的交流，得出验证的方法：一般情况下，先研究一组或几组算式，尝试找出规律。这就巧妙地渗透了研究数学问题的常用方法：不完全归纳法。老师再提出：“研究问题通常从简单入手，我们首先来研究被除数、除数其中一个变的情况好吗？”从而渗透了化繁为简数学思想方法。再看片段三，这是应用商不变规律的练习题，通过每组算式第一题的商而得出第二、三题的商，其方法是把第二、三道题，运用商不变规律转化成第一道表内除法来进行计算，这就是化归数学思想的渗透。这些思想方法的渗透有效地提高学生思维能力，促进了学生学会数学地思考。
教师要在教学预设中充分挖掘教材，在日常教学中把握每一次机会不断地渗透数学思想方法，并落实相应的教学策略，长期坚持必能促进学生逐步地学会数学地思考。
责任编辑 罗 峰
一、研究个案，探索规律变化的内涵，便于发现规律的特点
片段一：
师：认真觀察第三组算式，发现了什么？请你选其中两行数据做例子，在小组内说说你的发现。
第三组： 14 ÷ 2 =
140 ÷ 20 =
280 ÷ 40 =
700 ÷ 100 =
生1：第一行的被除数乘10，除数乘10，商还是7。
根据学生汇报，课件显示：（14×10）÷（2×10）=7
师：我们还可以简洁地说：从第一行到第二行，被除数、除数同时乘10，商不变。
生2：从第一行到第三行，被除数、除数同时乘20，商不变。
课件显示：（14×20）÷（2×20）=7
……
师：如果从下往上观察，又有什么发现？
生4：从第三行到第二行，被除数、除数同时除以2，商不变。
课件显示：（280÷2）÷（40÷2）=7
……
师：通过观察，你们发现了被除数、除数怎么变，商不变？
引导得出：被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变。
反思：小学阶段数学公式、定理及规律的发现过程有两种方法较为常用，第一是借助特例的研究来发现，也就是从特殊到一般的归纳方法，通过对典型例子的观察、分析等方式提出猜想，归纳得出结论。如“积与因数的变化规律”、“商的变化规律”等，这是因为在这些规律的教学中，小学生的观察范围受年龄特征的影响，在整体与局部之间其关注更趋向于局部，因此在规律发现过程中借助特例（也可称为个案）的观察会更有效。第二是借助已有的知识，通过转化、推理、验证等方式，演绎得出结论。如“平行四边形面积”、“三角形面积”的推导则是通过把新图形转换成已学图形，借助已学图形的面积计算方法推导出新图形的计算公式。
片段二中，第三组包含了四个除法算式，如果让学生整体观察，会难以发现规律，即使发现，也难以深入理解和表述“商不变规律”的内涵。因此在实践中，教师有意识地引导学生通过选取其中两个式子进行观察，并在小组内进行交流，最后汇报得出规律。首先，通过个案的观察、分析，引导学生用自己的语言表述出算式之间存在的关系，对规律的内涵获得初步认识；其次，在汇报中进一步引导学生用简洁的数学语言来表述其发现；再次，教师利用课件，借助于数学语言和符号，依次展示算式之间的关系，帮助学生深入理解规律的内涵，初步建立“商不变规律”的数学模型；最后，引导学生对多个个案进行分析、对比，最终抽象概括出“商不变规律”。在此过程中，学生积极参与了上述探索和交流活动，在积累中感悟，在探索中发现，充分地经历了规律意义建构的全过程。
在规律教学中，要避免学生停留于对规律的机械记忆，忽视对规律内涵的深刻理解。而借助对特例（个案）的观察、分析、归纳等方式，便于学生发现规律的特点，利于学生探索、理解规律的内涵，是数学规律教学的一种重要思路。
二、渗透思想，升华规律探索的方法，获得学习规律的智慧
片段二：
师：因数的变化会引起积得变化，猜猜看，除法算式中谁会引起商的变化？
生1：我猜被除数变化会引起商的变化。
生2：除数变化会引起商的变化。
生3：我想，被除数和除数的变化都会引起商的变化。
师：猜想可不一定正确，需要研究来进行验证。要研究商的变化规律，你觉得拿多少个除法算式研究比较合适、比较可信呢？
生：越多越好。
师：是啊，当然是越多越好了，研究得多了才可信啊。但是，太多了研究起来非常不方便。所以一般情况下，只是先研究一组或几组算式，尝试找出规律。研究问题通常从简单入手，我们首先来研究被除数、除数其中一个变的情况好吗？
生：好。
片段三：
师：学习商不变规律有什么用呢？先完成下面的练习题，再说一说你有什么发现？
根据每组除法算式中第1题的商，直接写出下面两题的商。
学生独立完成以上题目，并汇报。
师：你们算得这么快，应用了什么规律？
生：应用了商不变规律。
师：怎么应用的？
生： 720和90同时除以10，可以用划去末尾一个0的方法来表示同时除以10，把“720÷90=”看做了“72÷9=”来算。
师：同样，那“7200÷900=”可以看做什么来算？
生：7200和900同时除以100，同时划掉末尾的两个0，看做“72÷9=”来算。
师：哦！也就是把第2、3道题，运用商不变规律转化成第一道表内除法来进行计算。其他两组也可以这样思考吗？
生：可以。
反思：数学规律的教学，不仅要让学生探索、发现、应用规律，还需要教师深入挖掘教材，用心设计教学过程，适时渗透数学思想方法，才能让学生获得学习规律的智慧，学会“数学地思考”。
在“商的变化规律”这一节课中，找准规律知识与数学思想方法的有效结合点，适时渗透数学思想方法，有利于提升学生掌握规律探索的方法，获得学习规律的智慧。如片段二中，首先让学生对“商的变化”进行猜想，再通过师生间就“拿多少个除法算式研究比较合适、比较可信”的交流，得出验证的方法：一般情况下，先研究一组或几组算式，尝试找出规律。这就巧妙地渗透了研究数学问题的常用方法：不完全归纳法。老师再提出：“研究问题通常从简单入手，我们首先来研究被除数、除数其中一个变的情况好吗？”从而渗透了化繁为简数学思想方法。再看片段三，这是应用商不变规律的练习题，通过每组算式第一题的商而得出第二、三题的商，其方法是把第二、三道题，运用商不变规律转化成第一道表内除法来进行计算，这就是化归数学思想的渗透。这些思想方法的渗透有效地提高学生思维能力，促进了学生学会数学地思考。
教师要在教学预设中充分挖掘教材，在日常教学中把握每一次机会不断地渗透数学思想方法，并落实相应的教学策略，长期坚持必能促进学生逐步地学会数学地思考。
责任编辑 罗 峰