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摘要：本文通过类比物体间一对滑动摩擦力做功与产生的内能之间的关系，研究當磁场与导体存在相对运动时，它们之间的一对相互作用的安培力做功之和的绝对值等于系统产生的电能。两个模型虽然形式不同，但规律却非常相似，有着异曲同工之妙。
关键词：安培力做功；能量；摩擦力；相似
2007年高考物理上海卷第23题是一道关于电磁感应现象的试题，题目如下：
如图1（a）所示，光滑的平行长直金属导轨置于水平面内，间距为L、导轨左端接有阻值为R的电阻，质量为m的导体棒垂直跨接在导轨上。导轨和导体棒的电阻均不计，且接触良好。在导轨平面上有一矩形区域内存在着竖直向下的匀强磁场，磁感应强度大小为B。开始时，导体棒静止于磁场区域的右端，当磁场以速度v1匀速向右移动时，导体棒随之开始运动，同时受到水平向左、大小为f的恒定阻力，并很快达到恒定速度，此时导体棒仍处于磁场区域内。
（1）求导体棒所达到的恒定速度v2；
（2）为使导体棒能随磁场运动，阻力最大不能超过多少？
（3）导体棒以恒定速度运动时，单位时间内克服阻力所做的功和电路中消耗的电功率各为多大？
（4）若t=0时磁场由静止开始水平向右做匀加速直线运动，经过较短时间后，导体棒也做匀加速直线运动，其v-t关系如图1（b）所示，已知在时刻t导体棒瞬时速度大小为vt，求导体棒做匀加速直线运动时的加速度大小。
作为高考题，该题模型新颖，考查内容丰富。要求学生对物理情景有一定的分析与综合能力，能够熟练应用楞次定律和法拉第电磁感应定律，同时还要求学生对电磁感应现象中能量的转化过程有着正确的认识。在学校组织的一次单元练习中，结果出乎老师预料。全班49人有32人在第（3）问出了错误。很多学生完全无法落笔，在与他们课下的沟通和交流时，他们提出了自己的想法：由功与能转化的关系可知，安培力做功对应电能变化，即安培力做正功，消耗电能；安培力做负功，产生电能。该题中安培力对导体棒做的就是正功，学生难以理解为什么电路中有电能产生，因此他们无法解答。
其实，回顾我们的教学过程，学生有这种“奇怪”想法也是有原因的。在涉及安培力做功与能量转化关系的知识时，老师通常是通过典型模型归纳出结论：安培力对导体做了多少正功，对应有多少电能转化为其他形式的能；反之，安培力对导体做了多少负功，对应多少其他形式能量转化为电能。学生牢记在心，所以当看到该考题中安培力对导体棒做正功时，他们便觉得回路中不会有电能产生，因而便无从落笔。
产生这种错误的原因是他们对产生感应电流产生的本质认识得不够深刻。导体切割磁感线的运动时会产生动生感应电动势，其本质是导体中的电子受到的洛仑兹力驱使电子定向移动从而形成电流，此时洛仑兹力相当于电源中的非静电力。因此，考查回路中是否有电流产生，并不是看导体棒是否存在相对地面的运动，而是看是否存在相对磁场有切割磁感线运动。
原题中，我们可以根据右手定则判断出导体棒中电流方向向下，导体棒受到的安培力向前，这与导体棒能随磁场运动的事实相符。那么，该回路中的能量究竟是如何转化的呢？我们可以通过对比研究一个形不同而神似的模型，发现一个相似的规律。
一、 一对相互作用的滑动摩擦力做功
如图2所示，光滑的水平地面上静止着一个质量为M的平板小车，上表面粗糙，一质量为m滑块以某一初速度v0从左端滑上平板小车，此后滑块受到摩擦力Ff1减速，而小车受到摩擦力Ff2加速，最后两者达到共同速度v。此过程中能量如何转化？
对滑块，由动能定理有
WFf1=12mv2-12mv20①
①式表明，WFf1的结果使得滑块机械能减少
对小车，由动能定理有
WFf2=12Mv2②
②式表明，WFf2的结果使得小车机械能增加
两式相加，即系统动能定理，有
WFf1 WFf2=12Mv2 12mv2-12mv20③
易知，WFf1 WFf2<0。③式表明，滑块和小车组成的系统，通过一对滑动摩擦力做负功，把机械能（这里是动能）转化为系统的内能。其功能关系图线如下：
E机W一对滑动摩擦力FfQ
全过程中的功能转化关系图线如下（为方便理解，假设WFf1=-10J，WFf2= 8J）
Ek滑WFf1（-10J）WFf2（ 8J）Ek车
WFf2 WFf2（-2J）Q
二、 一对相互作用的安培力做功
受上述滑动摩擦力模型的启示，在此高考题中，我们采用类似的思路。假设没有阻力f和其他外力，只存在导体棒m和磁场（可视为磁体M）之间的相互作用的安培力，如图3所示。由于磁场运动速度v1大于导体棒速度v2，由右手定则和左手定则可知，磁场对导体棒的安培力FA2做正功，其反作用力导体棒对磁场的安培力FA1做正功。
图3
对导体棒，由动能定理有
WFA2=12mv′22-12mv22④
④式表明，WFA2的结果使得导体棒机械能增加
对磁体，由动能定理有
WFA1=12Mv′12-12Mv12⑤
⑤式表明，WFA2的结果使得磁体机械能减小
两式相加，即系统动能定理，
WFA1 WFA2=12mv′22 12Mv′12-12mv22 12Mv12⑥
因为v1>v2，故WFA1 WFA2<0。⑥式表明，导体棒与磁场组成的系统，通过这一对安培力做功，把机械能转化为系统的电能，再通过回路电阻转化为内能。
E机W一对FAE电
三、 原题中的功能关系与能量转化
仔细分析原题物理情景可以发现，要维持磁场（磁体）作匀速运动，就必须对磁场施加一个大小也等于f的外力F，同样，为方便理解，假设WF= 10J，WFA2= 8J。全过程中能量转化关系图如下图所示。
E外WF（ 10J）Ek磁WFA1（-10J）WFA2（ 8J）Ek棒Wf（-8J）Qf
WFA1 WFA2（-2J）E电W电流（ 2J）Q电
由图可知，最终回路产生的电能等于导体棒与磁体之间的一对安培力做功之和的绝对值，所以电路消耗的电功率即为安培力与两者相对速度的乘积，即
电路消耗的电功率P=FAv相=f（v1-v2）=f2RB2L2
四、 结论
两物体存在相对运动时，它们之间的一对相互作用的滑动摩擦力做功之和的绝对值等于系统产生的内能；磁场与导体存在相对运动时，它们之间的一对相互作用的安培力做功之和的绝对值等于系统产生的电能。两个模型虽然形式不同，但规律却非常相似，有着异曲同工之妙。
参考文献：
[1]李池.安培力做功与能量转化的关系[J].数理化学习，2011，（5）.
[2]刘玉才.论安培力做功及引起的能量变化[J].中学物理教学参考，2004，（12）：10-12.
作者简介：
王利飞，一级教师，浙江省台州市，浙江省台州中学。
关键词：安培力做功；能量；摩擦力；相似
2007年高考物理上海卷第23题是一道关于电磁感应现象的试题，题目如下：
如图1（a）所示，光滑的平行长直金属导轨置于水平面内，间距为L、导轨左端接有阻值为R的电阻，质量为m的导体棒垂直跨接在导轨上。导轨和导体棒的电阻均不计，且接触良好。在导轨平面上有一矩形区域内存在着竖直向下的匀强磁场，磁感应强度大小为B。开始时，导体棒静止于磁场区域的右端，当磁场以速度v1匀速向右移动时，导体棒随之开始运动，同时受到水平向左、大小为f的恒定阻力，并很快达到恒定速度，此时导体棒仍处于磁场区域内。
（1）求导体棒所达到的恒定速度v2；
（2）为使导体棒能随磁场运动，阻力最大不能超过多少？
（3）导体棒以恒定速度运动时，单位时间内克服阻力所做的功和电路中消耗的电功率各为多大？
（4）若t=0时磁场由静止开始水平向右做匀加速直线运动，经过较短时间后，导体棒也做匀加速直线运动，其v-t关系如图1（b）所示，已知在时刻t导体棒瞬时速度大小为vt，求导体棒做匀加速直线运动时的加速度大小。
作为高考题，该题模型新颖，考查内容丰富。要求学生对物理情景有一定的分析与综合能力，能够熟练应用楞次定律和法拉第电磁感应定律，同时还要求学生对电磁感应现象中能量的转化过程有着正确的认识。在学校组织的一次单元练习中，结果出乎老师预料。全班49人有32人在第（3）问出了错误。很多学生完全无法落笔，在与他们课下的沟通和交流时，他们提出了自己的想法：由功与能转化的关系可知，安培力做功对应电能变化，即安培力做正功，消耗电能；安培力做负功，产生电能。该题中安培力对导体棒做的就是正功，学生难以理解为什么电路中有电能产生，因此他们无法解答。
其实，回顾我们的教学过程，学生有这种“奇怪”想法也是有原因的。在涉及安培力做功与能量转化关系的知识时，老师通常是通过典型模型归纳出结论：安培力对导体做了多少正功，对应有多少电能转化为其他形式的能；反之，安培力对导体做了多少负功，对应多少其他形式能量转化为电能。学生牢记在心，所以当看到该考题中安培力对导体棒做正功时，他们便觉得回路中不会有电能产生，因而便无从落笔。
产生这种错误的原因是他们对产生感应电流产生的本质认识得不够深刻。导体切割磁感线的运动时会产生动生感应电动势，其本质是导体中的电子受到的洛仑兹力驱使电子定向移动从而形成电流，此时洛仑兹力相当于电源中的非静电力。因此，考查回路中是否有电流产生，并不是看导体棒是否存在相对地面的运动，而是看是否存在相对磁场有切割磁感线运动。
原题中，我们可以根据右手定则判断出导体棒中电流方向向下，导体棒受到的安培力向前，这与导体棒能随磁场运动的事实相符。那么，该回路中的能量究竟是如何转化的呢？我们可以通过对比研究一个形不同而神似的模型，发现一个相似的规律。
一、 一对相互作用的滑动摩擦力做功
如图2所示，光滑的水平地面上静止着一个质量为M的平板小车，上表面粗糙，一质量为m滑块以某一初速度v0从左端滑上平板小车，此后滑块受到摩擦力Ff1减速，而小车受到摩擦力Ff2加速，最后两者达到共同速度v。此过程中能量如何转化？
对滑块，由动能定理有
WFf1=12mv2-12mv20①
①式表明，WFf1的结果使得滑块机械能减少
对小车，由动能定理有
WFf2=12Mv2②
②式表明，WFf2的结果使得小车机械能增加
两式相加，即系统动能定理，有
WFf1 WFf2=12Mv2 12mv2-12mv20③
易知，WFf1 WFf2<0。③式表明，滑块和小车组成的系统，通过一对滑动摩擦力做负功，把机械能（这里是动能）转化为系统的内能。其功能关系图线如下：
E机W一对滑动摩擦力FfQ
全过程中的功能转化关系图线如下（为方便理解，假设WFf1=-10J，WFf2= 8J）
Ek滑WFf1（-10J）WFf2（ 8J）Ek车
WFf2 WFf2（-2J）Q
二、 一对相互作用的安培力做功
受上述滑动摩擦力模型的启示，在此高考题中，我们采用类似的思路。假设没有阻力f和其他外力，只存在导体棒m和磁场（可视为磁体M）之间的相互作用的安培力，如图3所示。由于磁场运动速度v1大于导体棒速度v2，由右手定则和左手定则可知，磁场对导体棒的安培力FA2做正功，其反作用力导体棒对磁场的安培力FA1做正功。
图3
对导体棒，由动能定理有
WFA2=12mv′22-12mv22④
④式表明，WFA2的结果使得导体棒机械能增加
对磁体，由动能定理有
WFA1=12Mv′12-12Mv12⑤
⑤式表明，WFA2的结果使得磁体机械能减小
两式相加，即系统动能定理，
WFA1 WFA2=12mv′22 12Mv′12-12mv22 12Mv12⑥
因为v1>v2，故WFA1 WFA2<0。⑥式表明，导体棒与磁场组成的系统，通过这一对安培力做功，把机械能转化为系统的电能，再通过回路电阻转化为内能。
E机W一对FAE电
三、 原题中的功能关系与能量转化
仔细分析原题物理情景可以发现，要维持磁场（磁体）作匀速运动，就必须对磁场施加一个大小也等于f的外力F，同样，为方便理解，假设WF= 10J，WFA2= 8J。全过程中能量转化关系图如下图所示。
E外WF（ 10J）Ek磁WFA1（-10J）WFA2（ 8J）Ek棒Wf（-8J）Qf
WFA1 WFA2（-2J）E电W电流（ 2J）Q电
由图可知，最终回路产生的电能等于导体棒与磁体之间的一对安培力做功之和的绝对值，所以电路消耗的电功率即为安培力与两者相对速度的乘积，即
电路消耗的电功率P=FAv相=f（v1-v2）=f2RB2L2
四、 结论
两物体存在相对运动时，它们之间的一对相互作用的滑动摩擦力做功之和的绝对值等于系统产生的内能；磁场与导体存在相对运动时，它们之间的一对相互作用的安培力做功之和的绝对值等于系统产生的电能。两个模型虽然形式不同，但规律却非常相似，有着异曲同工之妙。
参考文献：
[1]李池.安培力做功与能量转化的关系[J].数理化学习，2011，（5）.
[2]刘玉才.论安培力做功及引起的能量变化[J].中学物理教学参考，2004，（12）：10-12.
作者简介：
王利飞，一级教师，浙江省台州市，浙江省台州中学。