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在初中阶段，解决数学问题，不仅要学好基础知识和基本技能，更重要的是掌握正确的思想方法和解题技巧。如果说基础知识和基本技能是建造数学大厦的基础和砖瓦，那么数学思想方法就是建造大厦的工具和技术，是提高学生分析问题好和解决问题能力的基础，是提高学生创新精神的关键。特别在有些求代数式值的问题如用常规解法比较麻烦，并且有些题还解不出来，如果恰当地运用方法进行变换，运用已知条件，能使运算简便。在此与大家共同探讨一种重要的数学方法——“降次”，运用它解决某些数学问题往往会独特路径，“降次”在初中数学中的应用主要表现在二次方程上，特别在求一些代数式的值时，思路明显，过程简洁，一目了然，易于理解。
例1：设x1、x2是方程x 2+x-3=0的两个根，那么x13-4x22+19的值等于（）
（A）-4 （B） 8 （C） 6 （D）0
剖析：此题由题意知：把x1代人x2+x-3=0中得出：x12+x1-3=0， 移项得：x12=-x1+3后，运用x12=-x1+3进行降次化简，将“x”的三次幂转化为“x”的一次式加以表示，然后代入求值，思路清晰，过程简洁，一目了然。
解：因为x1、x2是方程x2+x-3=0的两个根，
所以，x12+x1-3=0， x22+x2-3=0 ，
∴x12=-x1+3 x22=-x2+3
在等式 x12=-x1+3 两边乘以x得：
X13=（-x1+3）x1
=-x12+3x1
=-（-x1+3）+3x1
=4x1-3
由根与系数的关系知：x1+x2=-1
所以：x13-4x22+19=4x1-3-4（-x2+3）+19
=4（x1+x2）+4
=4×（-1）+4
=0
例2：已知：2x2-x=1， 求代数式6x3+x2-5x+2001的值
剖析：此题利用已知变形得：x2= （x+1）后，反复运用x2= （x+1）进行降次化简，将“x”的三次幂转化为“x”的一次表示，然后代入求解。
解：由已知条件：2x2-x=1，
变形得： x2 = （x+1）
在方程的两边同时乘以x得：x3= （x+1）.x
= x2+ x
再把x2= （x+1）代入上式得：x3 = x+ .
所以，6x3+x2-5x+2001=6（ x+ ）+ （x+1）-5x+2001
=2003
例3：已知：x=2- ，那么x4-8x3+16x2-x+1的值是
剖析：此题可利用已知条件变形：x-2=- ，然后在方程两边平方，得出x2=4x+1，反复运用“ x2=4x+1 ”进行降次化简，将“x”的二次以上的幂转化为“x”的一次式加以表示，然后代入求解，这樣思路清晰，过程简单，一目了然。
解：由已知：x=2-
移项得：2-x=
两边平方得：x2-4x+4=5，
即：x2-4x-1=0 ∴ x2=4x+1
X3=（4x+1）x=4x2+x=4（4x+1）+x
=17x+4
两边同时乘以x得： x4=（17x+4）x
=17x2+4x=17（4x+1）+4x
∴ x4-8x3+16x2-x+1=72x+17-136x-32+64x+16-x+1
=-x+2
∴当x=2- 时，原式=-（2- ）+2=
总之，学会“降次”思想方法，贵在观察和思考，俗话说：观察是思维的角，思考是创造的基础，观察题目的特点，构造出已知条件以外的其他数学对象，通过数学对象的相互转化，使问题变得熟悉化，基本化，简单化，让学生学习变得轻松、愉快、有趣，这正是“降次”思想方法的奥妙所在。
例1：设x1、x2是方程x 2+x-3=0的两个根，那么x13-4x22+19的值等于（）
（A）-4 （B） 8 （C） 6 （D）0
剖析：此题由题意知：把x1代人x2+x-3=0中得出：x12+x1-3=0， 移项得：x12=-x1+3后，运用x12=-x1+3进行降次化简，将“x”的三次幂转化为“x”的一次式加以表示，然后代入求值，思路清晰，过程简洁，一目了然。
解：因为x1、x2是方程x2+x-3=0的两个根，
所以，x12+x1-3=0， x22+x2-3=0 ，
∴x12=-x1+3 x22=-x2+3
在等式 x12=-x1+3 两边乘以x得：
X13=（-x1+3）x1
=-x12+3x1
=-（-x1+3）+3x1
=4x1-3
由根与系数的关系知：x1+x2=-1
所以：x13-4x22+19=4x1-3-4（-x2+3）+19
=4（x1+x2）+4
=4×（-1）+4
=0
例2：已知：2x2-x=1， 求代数式6x3+x2-5x+2001的值
剖析：此题利用已知变形得：x2= （x+1）后，反复运用x2= （x+1）进行降次化简，将“x”的三次幂转化为“x”的一次表示，然后代入求解。
解：由已知条件：2x2-x=1，
变形得： x2 = （x+1）
在方程的两边同时乘以x得：x3= （x+1）.x
= x2+ x
再把x2= （x+1）代入上式得：x3 = x+ .
所以，6x3+x2-5x+2001=6（ x+ ）+ （x+1）-5x+2001
=2003
例3：已知：x=2- ，那么x4-8x3+16x2-x+1的值是
剖析：此题可利用已知条件变形：x-2=- ，然后在方程两边平方，得出x2=4x+1，反复运用“ x2=4x+1 ”进行降次化简，将“x”的二次以上的幂转化为“x”的一次式加以表示，然后代入求解，这樣思路清晰，过程简单，一目了然。
解：由已知：x=2-
移项得：2-x=
两边平方得：x2-4x+4=5，
即：x2-4x-1=0 ∴ x2=4x+1
X3=（4x+1）x=4x2+x=4（4x+1）+x
=17x+4
两边同时乘以x得： x4=（17x+4）x
=17x2+4x=17（4x+1）+4x
∴ x4-8x3+16x2-x+1=72x+17-136x-32+64x+16-x+1
=-x+2
∴当x=2- 时，原式=-（2- ）+2=
总之，学会“降次”思想方法，贵在观察和思考，俗话说：观察是思维的角，思考是创造的基础，观察题目的特点，构造出已知条件以外的其他数学对象，通过数学对象的相互转化，使问题变得熟悉化，基本化，简单化，让学生学习变得轻松、愉快、有趣，这正是“降次”思想方法的奥妙所在。