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众所周知，近几年高考正在由能力立意向核心素养导向转变，如何在高三复习课中落实核心素养？这就要改变课堂的教学方法与学生的学习方式，凸显学生的主体地位。而高三数学复习的一贯模式只会让学生处于题海之战的疲惫状态，久而久之，一些学生对数学失去兴趣，更谈不上核心素养的提升与落实。究其因，题型杂而无形，方法零散不能融会贯通。面对这一现状，笔者在一次复习课上，作了如下探究性教学尝试。
问题：已知抛物线 的焦点为 ， 为抛物线上两动点，且 ，过 两点分别作抛物线的切线，设交点为 。
（1）证明： 为定值；（2）略。
1.问题的分析与求解
圆锥曲线问题是每年高考必考内容，又是学生复习的难点，题目一给出，学生开始画图分析，试图尽快得出答案。思考之后，初步探索出解题思路。
生1：可先特殊化，当 时， ，得 =0.实质是证明 =0.
师：由特殊向一般过渡，这种分析问题的思路很好，关键如何做一般性证明？
同学们都纷纷演算，片刻后。
生2：设出 两点坐标，由 ，用 可表示 两点坐标关系（思索），想办法求出 点坐标，利用数量积证明。
师：那你怎样求出 点坐标？
生2：设抛物线两切线方程并联立，求 点坐标。
教室内展开激烈讨论。
生3：设切线方程还得求斜率，由 知 是一个二次函数，利用导数法求曲线上点 处切线斜率，从而写切线方程，联立两切线方程求 点坐标。
师：生3分析的很好，请这位同学上黑板板书过程。
生3：证明：由题意 设 ，由 得，
，
將（1）式两边平方并把 代入得：
解（2），（3）式得： ，且有： 。
抛物线方程为 ， ，
所以过 两点的抛物线的切线方程分别为：
，
联立求解得 点坐标为 ，
=（ ，
故 =0.
生4：老师，我由 看出 共线，这样可设过焦点的直线方程求解 坐标关系。
师：生4说的对，可以抛开 来证明 =0.
生4：由 知 共线，设过焦点 的直线方程为：
由 ，设 ，则 。
求 点坐标与生3相同，即 ，以下证明与生3同。
师：这位同学分析很精彩，将直线与圆锥曲线的常规解法引用进来，韦达定理用的很巧妙。
生5：老师生4解答不完整，对直线斜率不存在的情形未分析。
我结合学生的讨论，对解题中的细节做了重点强调，并指出同学们易忽视的问题。接着针对
这道题的求解提出如下问题：
（1）根据本题，对抛物线 ，两切线交点 的坐标是？点 的位置？
（2）直线 与 的位置关系如何？
（3）探究 是否为定值？
（4）此问题结论是什么？对其他形式的抛物线成立吗？
在学生自主探究，讨论反思的基础上，得到答案。
生6：（1）点 的坐标是 ，点 在抛物线的准线上；
（2）由上述解题易证 ；（略）
（3）在上面题目中， =-3，对抛物线 ， ；
（4）结论：过抛物线 焦点 的直线交抛物线于 两点，过 两点作抛物线的切线，两切线相交于点 ，则：
①点 在准线上；② =0.；③ ；④ ；⑤结论对其他形式抛物线也成立。
师：总结很到位，在高三复习中就应该象这样去分析每一道试题，才有收获。我趁机提出本节课复习的一个知识点――――抛物线焦点弦的性质。
2.抛物线焦点弦性质探究
2.1提出问题串，创设学习情景
设 是抛物线 的焦点弦，且 ，
问题1 ？， ？
问题2 弦长 =？，若已知直线 的倾斜角为 ，则弦长 =？
问题3 三角形 的面积怎样表示？
问题4 能否为定值？
问题5 以弦 为直径的圆与准线的位置关系是怎样的？
问题6 以焦半径 或 为直径的圆与 轴的位置关系怎样？
问题7 记 两点在准线上的身影为 两点，则
问题8 以 为直径的圆与弦 的切点是？
对于这些问题，学生热情很高，在前面问题解答的基础上，有些学生化一般为特殊，有些学生设方程联立，有些学生用几何方法，同学们相互讨论，相互交流，自主探究，逐步形成了自己的思维方法，提高了分析问题和解决问题的能力。
2.2反思结论，归纳总结
在学生探索证明的基础上，我叫个别学生讲述了证明思路（略）并总结抛物线焦点弦性质。
生7：性质：（1） ， ；
（2） 为直线 的倾斜角）；
（3） （ 为直线 的倾斜角）；
（4） 为定值 ；
（5）以弦 为直径的圆与准线相切；
（6）以焦半径 或 为直径的圆与 轴相切；
（7） ；
（8）以 为直径的圆切 于点 。
从一道高考试题笔者引导学生探讨了与抛物线焦点弦有关的问题，作为复习，时间有限，到此已经很完美了，可学生问题又来了。
生8：把上面题中抛物线换成椭圆，两切线的交点 好像也在准线上，且 =0，是不是这个结论对三种圆锥曲线都成立呢？
师：既然有同学把这个问题提出来，咱们一起探究吧。
3.拓展延伸
师：我们以椭圆为例证明，设椭圆 ，过右焦点 的直线与椭圆交于 两点，过 两点分别作椭圆的切线，设交点为 。试证：点 在准线上，且 =0。 生9：结论成立，但抛物线方程 表示函数，可用导数法求切线斜率，而椭圆 表示的不是函数关系，这类问题以前没见过，太难不会证啊。
一些同学陷入了深深的思考中，一些同学想通过直线与椭圆相切的条件化简，但半途而废。
师：能不能将方程 变成函数关系？
生3：可以，依然用抛物线中的方法研究，就是运算量大些（部分学生有一定的类比迁移能力，但还需要引导与培养）。
在生3的提示下，同学们开始挥笔运算了，个别学生还在钻研自已的方法，几分钟后，生5上黑板证明。
生5：证明：由 ，
当 时， ，① ，
当 时， ，② ，
不妨设 ，则过 两点的椭圆的切线方程分别为：
，即 ；
，即 。
联立两方程解得： ，③
运算到此，生5顿感式子很繁琐，看不出结果，有些丧气，看到学生能有如此运算能力，我很欣慰，及时给予鼓励，同时，生3给他帮助。
生3：由 共线得， ，有 ，④
將①②④式代入③作如下转化：
，
（教室掌声四起，生3的这种灵活转化，使得点 的位置关系一目了然。）
点在右准线上。
，
。命题得证。
师：这道题的解答充分展示了我们同学有能力学好解析几何，也表现出同学们强有力的分析解决问题，探究问题的能力。
学生们热情不减，还得出在椭圆里， 与 一般情况不垂直等结论。
生10：（总结）设椭圆 ，过右焦点 的直线与椭圆交于 两点，过 两点分别作椭圆的切线，设交点为 。则：
（1） 点在右准线上；（2） =0；（3） 与 一般情况不垂直。
生11：可以用同样的方法研究在双曲线中的情形。
师：同学们已掌握了解题方法，下去自己总结归纳。
4.再思考与提升
为进一步拓展学生的发散思维，，也为不断提升其核心素养，提出以下问题供学生继续探究：
（1）过抛物线 上任意两个动点 的直线，若满足 ，则动直线 恒过定点_____。
（2）对椭圆 与双曲线 又分别恒过定点_____。
课程进行到此，同学们纷纷惊叹试卷中的解析几何试题都能解决了，总结出问题的多样性和解法的相对稳定性的结论。至此，同学们对 “定值定点”问题的分析方法和解题思路都能基本掌握。
5.教学反思
（1）本节课以问题为导向，通过学生的自主性学习，对圆锥曲线中“定值定点”作了初步探讨，教学过程的组织尚存不足，但学生兴趣浓厚，对解析几何交汇处的问题形成解题思路，不仅从方法上给予指导，而且从不同的角度落实逻辑推理素养，数学运算素养，对学生所学的知识进行了巩固与提升，达到一定的效果。最重要的是学生体会到高三的复习不是机械的记忆与接受，要对已学的知识与经验实施“深加工”，使之更进一步充实、完善、提高方能进入最佳应试状态。
（2）对老师而言，我们不可忽视课堂是提升核心素养的主渠道，基于问题驱动的课堂才是真正的数学课堂。课堂上不仅选题要精，同时要精心设计具有启发性的问题。引导学生合理复习，最大限度调动其主观能动性。力求通过不同形式的自主学习和探究活动，让学生体验数学的发现和创造的历程，不仅使其综合能力得到提升，又使数学的核心素养得以落实，从而更好的培养学生的创新能力。
参考文献：
[1] 罗增儒.基于核心素养的教学研修.中学数学教学参考（上旬），2018（9）.
[2] 马佑军.基于核心素养的问题探究历程.中学数学教学参考（上旬），2018（7）.
（作者单位：宝鸡中学）
问题：已知抛物线 的焦点为 ， 为抛物线上两动点，且 ，过 两点分别作抛物线的切线，设交点为 。
（1）证明： 为定值；（2）略。
1.问题的分析与求解
圆锥曲线问题是每年高考必考内容，又是学生复习的难点，题目一给出，学生开始画图分析，试图尽快得出答案。思考之后，初步探索出解题思路。
生1：可先特殊化，当 时， ，得 =0.实质是证明 =0.
师：由特殊向一般过渡，这种分析问题的思路很好，关键如何做一般性证明？
同学们都纷纷演算，片刻后。
生2：设出 两点坐标，由 ，用 可表示 两点坐标关系（思索），想办法求出 点坐标，利用数量积证明。
师：那你怎样求出 点坐标？
生2：设抛物线两切线方程并联立，求 点坐标。
教室内展开激烈讨论。
生3：设切线方程还得求斜率，由 知 是一个二次函数，利用导数法求曲线上点 处切线斜率，从而写切线方程，联立两切线方程求 点坐标。
师：生3分析的很好，请这位同学上黑板板书过程。
生3：证明：由题意 设 ，由 得，
，
將（1）式两边平方并把 代入得：
解（2），（3）式得： ，且有： 。
抛物线方程为 ， ，
所以过 两点的抛物线的切线方程分别为：
，
联立求解得 点坐标为 ，
=（ ，
故 =0.
生4：老师，我由 看出 共线，这样可设过焦点的直线方程求解 坐标关系。
师：生4说的对，可以抛开 来证明 =0.
生4：由 知 共线，设过焦点 的直线方程为：
由 ，设 ，则 。
求 点坐标与生3相同，即 ，以下证明与生3同。
师：这位同学分析很精彩，将直线与圆锥曲线的常规解法引用进来，韦达定理用的很巧妙。
生5：老师生4解答不完整，对直线斜率不存在的情形未分析。
我结合学生的讨论，对解题中的细节做了重点强调，并指出同学们易忽视的问题。接着针对
这道题的求解提出如下问题：
（1）根据本题，对抛物线 ，两切线交点 的坐标是？点 的位置？
（2）直线 与 的位置关系如何？
（3）探究 是否为定值？
（4）此问题结论是什么？对其他形式的抛物线成立吗？
在学生自主探究，讨论反思的基础上，得到答案。
生6：（1）点 的坐标是 ，点 在抛物线的准线上；
（2）由上述解题易证 ；（略）
（3）在上面题目中， =-3，对抛物线 ， ；
（4）结论：过抛物线 焦点 的直线交抛物线于 两点，过 两点作抛物线的切线，两切线相交于点 ，则：
①点 在准线上；② =0.；③ ；④ ；⑤结论对其他形式抛物线也成立。
师：总结很到位，在高三复习中就应该象这样去分析每一道试题，才有收获。我趁机提出本节课复习的一个知识点――――抛物线焦点弦的性质。
2.抛物线焦点弦性质探究
2.1提出问题串，创设学习情景
设 是抛物线 的焦点弦，且 ，
问题1 ？， ？
问题2 弦长 =？，若已知直线 的倾斜角为 ，则弦长 =？
问题3 三角形 的面积怎样表示？
问题4 能否为定值？
问题5 以弦 为直径的圆与准线的位置关系是怎样的？
问题6 以焦半径 或 为直径的圆与 轴的位置关系怎样？
问题7 记 两点在准线上的身影为 两点，则
问题8 以 为直径的圆与弦 的切点是？
对于这些问题，学生热情很高，在前面问题解答的基础上，有些学生化一般为特殊，有些学生设方程联立，有些学生用几何方法，同学们相互讨论，相互交流，自主探究，逐步形成了自己的思维方法，提高了分析问题和解决问题的能力。
2.2反思结论，归纳总结
在学生探索证明的基础上，我叫个别学生讲述了证明思路（略）并总结抛物线焦点弦性质。
生7：性质：（1） ， ；
（2） 为直线 的倾斜角）；
（3） （ 为直线 的倾斜角）；
（4） 为定值 ；
（5）以弦 为直径的圆与准线相切；
（6）以焦半径 或 为直径的圆与 轴相切；
（7） ；
（8）以 为直径的圆切 于点 。
从一道高考试题笔者引导学生探讨了与抛物线焦点弦有关的问题，作为复习，时间有限，到此已经很完美了，可学生问题又来了。
生8：把上面题中抛物线换成椭圆，两切线的交点 好像也在准线上，且 =0，是不是这个结论对三种圆锥曲线都成立呢？
师：既然有同学把这个问题提出来，咱们一起探究吧。
3.拓展延伸
师：我们以椭圆为例证明，设椭圆 ，过右焦点 的直线与椭圆交于 两点，过 两点分别作椭圆的切线，设交点为 。试证：点 在准线上，且 =0。 生9：结论成立，但抛物线方程 表示函数，可用导数法求切线斜率，而椭圆 表示的不是函数关系，这类问题以前没见过，太难不会证啊。
一些同学陷入了深深的思考中，一些同学想通过直线与椭圆相切的条件化简，但半途而废。
师：能不能将方程 变成函数关系？
生3：可以，依然用抛物线中的方法研究，就是运算量大些（部分学生有一定的类比迁移能力，但还需要引导与培养）。
在生3的提示下，同学们开始挥笔运算了，个别学生还在钻研自已的方法，几分钟后，生5上黑板证明。
生5：证明：由 ，
当 时， ，① ，
当 时， ，② ，
不妨设 ，则过 两点的椭圆的切线方程分别为：
，即 ；
，即 。
联立两方程解得： ，③
运算到此，生5顿感式子很繁琐，看不出结果，有些丧气，看到学生能有如此运算能力，我很欣慰，及时给予鼓励，同时，生3给他帮助。
生3：由 共线得， ，有 ，④
將①②④式代入③作如下转化：
，
（教室掌声四起，生3的这种灵活转化，使得点 的位置关系一目了然。）
点在右准线上。
，
。命题得证。
师：这道题的解答充分展示了我们同学有能力学好解析几何，也表现出同学们强有力的分析解决问题，探究问题的能力。
学生们热情不减，还得出在椭圆里， 与 一般情况不垂直等结论。
生10：（总结）设椭圆 ，过右焦点 的直线与椭圆交于 两点，过 两点分别作椭圆的切线，设交点为 。则：
（1） 点在右准线上；（2） =0；（3） 与 一般情况不垂直。
生11：可以用同样的方法研究在双曲线中的情形。
师：同学们已掌握了解题方法，下去自己总结归纳。
4.再思考与提升
为进一步拓展学生的发散思维，，也为不断提升其核心素养，提出以下问题供学生继续探究：
（1）过抛物线 上任意两个动点 的直线，若满足 ，则动直线 恒过定点_____。
（2）对椭圆 与双曲线 又分别恒过定点_____。
课程进行到此，同学们纷纷惊叹试卷中的解析几何试题都能解决了，总结出问题的多样性和解法的相对稳定性的结论。至此，同学们对 “定值定点”问题的分析方法和解题思路都能基本掌握。
5.教学反思
（1）本节课以问题为导向，通过学生的自主性学习，对圆锥曲线中“定值定点”作了初步探讨，教学过程的组织尚存不足，但学生兴趣浓厚，对解析几何交汇处的问题形成解题思路，不仅从方法上给予指导，而且从不同的角度落实逻辑推理素养，数学运算素养，对学生所学的知识进行了巩固与提升，达到一定的效果。最重要的是学生体会到高三的复习不是机械的记忆与接受，要对已学的知识与经验实施“深加工”，使之更进一步充实、完善、提高方能进入最佳应试状态。
（2）对老师而言，我们不可忽视课堂是提升核心素养的主渠道，基于问题驱动的课堂才是真正的数学课堂。课堂上不仅选题要精，同时要精心设计具有启发性的问题。引导学生合理复习，最大限度调动其主观能动性。力求通过不同形式的自主学习和探究活动，让学生体验数学的发现和创造的历程，不仅使其综合能力得到提升，又使数学的核心素养得以落实，从而更好的培养学生的创新能力。
参考文献：
[1] 罗增儒.基于核心素养的教学研修.中学数学教学参考（上旬），2018（9）.
[2] 马佑军.基于核心素养的问题探究历程.中学数学教学参考（上旬），2018（7）.
（作者单位：宝鸡中学）