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1.【教学背景】
教材分析：《数学课程标准》不仅把“数学思考”作为总体目标之一提出，同时，还将“双基”扩展为“四基”，即基础知识、基本技能、基本数学思想、基本活动经验。由此可见，数学思想方法教学变得越来越重要。如何在学生学习数学知识的同时渗透数学思想和方法的教学，让学生在掌握表层知识的同时领悟到深层知识，实现数学学习质的“飞跃”，是我们重点要探究的问题。
《打电话》是义务教育课程标准实验教科书（人教版）五年级下册数学综合应用的内容。本内容结合学生生活中熟悉的素材，合唱队在假期接到一个紧急任务，老师要打电话尽快通知到每个队员。让学生帮助老师设计一个打电话的方案，并从中寻找最优的方案。通过这个综合应用，让学生进一步体会数学与生活的密切联系以及优化思想在生活中的应用，从逐个通知到分组通知，再到互相转告，最后明确“让通知者都不空闲”的优化策略，从而使得打电话时间大大缩短。培养学生应用数学知识解决实际问题的能力，同时通过画图的方式发现事物隐含的规律，培养学生归纳推理的思维能力。
学情分析：学生在四年级上册的《数学广角》中已接触过合理安排时间的有关优化思想的学习，打电话的经验学生也有，如何设计一个方案尽快通知到每个同学，那就要学生动脑了。学生对这节课的内容会感兴趣，也会联系生活实际及自己的生活经验来设计方案，但是否能找到最优的方案，发现事物隐含的规律，是重点也是难点，所以本节课让学生亲身经历寻找最优方案的全過程，在理解的基础上再运用优化的思想解决生活中实际问题。
教学中我做了如下目标定位：（1）结合学生生活实际，使学生在众多的方案中找到打电话的最优方法，通过画图的方式发现事物隐含的规律。（2）创设情境，使学生亲身经历寻找最优方案的全过程。（3）进一步体会数学与生活的密切联系，以及优化思想在生活中的应用，培养学生应用数学知识解决实际问题的能力。教学重点是让学生探讨最优化的方案。教学难点是让学生通过画图的方式发现事物隐含的规律。
教法学法：基于对教材认真反复研读的基础上，再从学生的基础考虑，估计到学生探索“打电话尽快通知15人”的方案比较困难，因此采取分层递进的方法，先让学生探索“打电话尽快通知7人”的方案，进而探索“打电话尽快通知15人”的方案。这样处理教材，分散了难点，也符合数学归纳的思想和方法。教学中有意让学生不断经历试误的过程，让每个学生基于自己的生活经验与认识设计不同的方案，于是，从方案一的“逐个通知”，到方案二的分组通知，最后逐步优化到 “所有人不空闲”，让学生充分体会了解决问题方法的多样性与优化的思想。
2.【课堂写真】：
2.1 复习激趣：（1分钟）
2.1.1 唤起回忆，优化思想：
师：（课件呈现）同学们，在生活中，我们总是力求把事情办得又好又快，比如说，烙饼的时候，充分利用锅里的空间，就能尽快烙好;沏茶的时候，烧水的同时，去洗茶杯找茶叶，就能节省时间;货船到了港口，按卸货时间从少到多排列就能使这些货船等候时间的总和最少。记得吗？在四年级我们曾学过怎样运用优化的思想来合理安排，节省时间。
2.1.2 激趣：
（1）情境：今天，杜老师带来了这样一个问题，看大家能不能用优化的思想解决，有信心吗？请看大屏幕。 怎样通知呢？
（2）请师生共评方法的优劣：
（发短信）师：好，又快又方便。
（ 家校通）师：好，又快又省事！
（打电话）师：用这个方法放心，一打电话，我马上就能知道对方是否接到通知。
师：我们就从最理想的状态，估计一下用短信、校讯通、网络群消息来通知全校大概多长时间？
最快几分钟就行了，还能更快吗？那打电话要多长时间呢？如果给1个人打电话用1分钟，给2个人打电话就要分钟，给全校800多人打电话，要800分钟！大概估一估，大约13小时，天呀！
（3）导入：如果用优化的思想合理安排的话，打电话通知全校时间能变得少些再少些吗？这节课，我们就一起来探讨吧。
3.尝试感知：
3.1 化繁为简
师：全校人数太多，探讨起来比较麻烦，怎么办呢？如果人数少是不是就更容易些呢？就让我们化繁为简，先从较小的数据入手。
3.2 明确探讨要求
师：出示例题，谁来读：
要通知15名同学，如果每分钟通知1人，要求尽快通知到每一个人，请帮助老师设计一个打电话的方案。
师：这里面有哪几个关键词？（15人，每分钟通知1人，尽快）课件展示。
师：你打算怎么给这15名同学打电话？
师及时概括分组的方法和一传十、十传百的方法！
师：请用适当的方法把方案表示出来，并计算这种方案所用的时间。
3.3 独立探究，小组交流
3.4 展示方案，感受方案的不断优化、充分比较
（1）展示分组方案：
师：有请设计师来说说自己的方案。
师：还有疑问吗？
师：为什么分组通知就比一个一个通知要快呢？
师：看来有人帮忙、同时打电话就能省时间。
师：是不是分组越多就越快呢？你是怎么想的？请说明理由（渗透极限的思想，分15组）
（2）展示最优方案 ：
师：再请这位设计师来说说自己的方案。
师：还有疑问吗？
师：我不明白了，这两个方案都是有人帮忙同时打电话，为什么这个方案更快？
师适时概括：分组方案里最多有几人帮忙，而这种方案越到后面帮忙的人就越多。 师：在这个方案里，帮忙的人还能更多吗？找一找，这个方案里还有人空闲着没帮忙吗？
师：这就是最快的方案吗？为什么？
板书：每个人都不空闲。
师：这个方案怎样做到尽快的呢？
每个同学接到通知后马上通知别人，接下来他（她）再继续通知其他人，直到所有人都接到通知为止。
4.运用规律，解决问题：
4.1 直接运用表格中的数据解决问题
师：大家的火眼金睛真厉害，发现了这么多规律，会用规律解决问题吗？下面进入抢答环节。
师：5分钟最多通知多少人？与第5分钟最多通知多少人，是一个问题吗？可要听仔细、想清楚！
7分钟最多通知多少人？
4.2 明确表示所显示的是人数范围，解决人数不是表内数据的问题
师：刚才我们直接运用表格中的数据解决了问题，那么如果想通知我们全班37名同学，像这样最少要多少分钟就可以全部通知到？
师：说说你是怎样想的？
师：要通知50人至少需要多少分钟？还是6分钟呀！
师：再多通知一些，通知62人呢？
师：为什么都是6分钟呢？
师：想一想：当需要通知的总人数从多少人到多少人时，最少用6分钟就能保证都通知到？
师：像这样10分钟可以通知1023人，那么要多少分钟就可以通知我们全校800名学生？
师：10分钟，和开始上课时估计发短信、校训通差不多，10分钟就能打电话通知到全校800多人，简直难以置信。只能说，优化的思想太神奇了！
4.3 理想状态与实际生活中的差异
（1）师：多有效率呀！不过这是最理想的情况，在实际生活中实施这个方案可能遇到这样那样的问题，影响打电话的效率，想一想会遇到哪些问题呢？我们应该提前做好哪些准备呢？
（2）生说师概括：首先登记电话，做到不重复不遗漏。
师：可以借助图示方案确定谁通知谁，然后每个人都记下自己要通知的人。
课件演示：先画好电话通知示意图，再确定好谁通知谁。不重复不遗漏。
师：在现实生活中提前做好准备，尽量做到最优化，这样就会有效率了。
5.总结
通过今天的学习，你有什么收获？
【分析研究】：
学生数学学习内容贯穿着两条主线，数学基础知识和数学思想方法。数学基础知识是一条明线，直接用文字的形式写在教材里，反映着知识间的纵向联系。数学思想方法则是一条暗线，反映着知识间的横向联系，隐藏在基础知识的背后，需要教师加以分析、提炼才能使之显露出来。数学知识是对生活的提炼，数学思想方法是对数学知识的提炼。
本节课通过老师的巧妙地设计，以怎样打电话更省时为着力点，让学生经历知识的形成过程，用恰当的语言进行深入浅出的分析，把隐蔽在知识内容背后的思想方法提示出来，让学生逐步领会蕴涵其中的数学思想方法。整节课学生兴奋积极，情绪饱满的投入学习各环节，无论是在知识、能力还是情感上都得到了不同程度地发展。
第一：通过挖掘教材体验数学思想方法，把抽象的数学问题生活化、情境化，让学生亲近数学，喜欢数学。
数学对于学生来讲是抽象的、陌生的，这节课最优方案选择对学生来说更是如此。但生活对于学生来讲则上形象的、熟悉的，在学生的知识经验里，已经储备了一些怎样最省时的知识经验，因此，教学不能无视学生的这些经验，而是要把儿童现有的知识经验作为新知识的增长点，引导儿童从原有的知识经验中“生长”出新的知识经验。今天这节课教师正是了解到学生已有经验，思维起点，在课中优化这些以“生活”为背景的教学内容，把生活素材、生活经验、生活情景作为重要资源，引入课堂。为学生创设一种宽松的研究氛围，鼓励学生毫无顾虑地把自己的想法说出来，启发他们设计各种各样打電话的方法，用学生喜欢的打电话，切饼，细胞分裂和对折绳子等游戏贯穿整节课，让学生置身于一定的情境中，调用各种感官去体验、感受既充分调动了学生学习的积极性，又引导学生丰富和调整自己的理解，感受抽象的知识就在自己的身边，体验到“我就在数学之中”，从而自然的去喜欢数学、去研究抽象的数学，增强了学生对数学的兴趣和信心。最后的教学实践也证明，学生在第二种方案的过程中，就已经初步感悟到当教师在通知其他同学时，已得到通知的学生也应投入到打电话的行列之中，设计方法的热情很高，他们积极思维。各种方案中，既有生活经验的迁移，又有学生的创造性设计，这样既扩大了知识的信息量，又开拓了他们的思路。
第二：通过教学过程渗透数学思想方法，沟通前后知识的联系。
数学发展到今天， 已成为一个符号化的世界。符号就是数学存在的具体化身。数学用的语言与通常的语言有重大区别，它将自然语言变为一种简明的符号语言。在本课打电话方案的记录上，我从正反两方面入手，培养学生符号化的思想。首先引导学生初步学会将日常语言叙述的数量关系转化为数学符号语言。其次， 我还请部分同学板书，引导学生将看懂抽象的符号所反映的数量关系，把符号化思维渗透于教学的始终， 以培养学生抽象思维的能力。
课中我注重化繁为简、数学符号化思想的渗透。打电话方案的记录方式有很多种，可以用文字完整描述，可以用数字1-15分别代替15名学生逐条简单记录，还可以用画图示的方式形象记录。在课堂上，我提示学生“用图示的方法”来记录。虽然学生展示的结果各不相同，但无论哪一种图示都体现出数学的简约美。
在发现规律的教学环节中，我通过图示引导学生有序思维。第一分钟时，有几人打电话？打完电话后共有多少人（这里包括教师）知道这个消息？第二分钟呢？第三分钟呢？通过“层层剥笋”，规律一步步明晰，道理不说自明。
学生正处在从具体形象思维向抽象逻辑思维过渡的阶段。特别是高年级学生的抽象思维发生了“飞跃”或“质变”，这一阶段正是发展学生逻辑思维的有利时期。而学生在思考打电话的时间与通知到的学生人数问题时，常会被表面现象所迷惑，而不能抓住事物的内在规律和本质——即第n分钟所有接到通知的队员和老师的总数是一个等比数列。为了克服思维的表面性与不求甚解的毛病，我创设探究情境，让学生的思维过程得以充分暴露，使思维深刻。
参考文献：
[1]《数学课程标准》.
[2]义务教育课程标准实验教科书（人教版）五年级下册.
教材分析：《数学课程标准》不仅把“数学思考”作为总体目标之一提出，同时，还将“双基”扩展为“四基”，即基础知识、基本技能、基本数学思想、基本活动经验。由此可见，数学思想方法教学变得越来越重要。如何在学生学习数学知识的同时渗透数学思想和方法的教学，让学生在掌握表层知识的同时领悟到深层知识，实现数学学习质的“飞跃”，是我们重点要探究的问题。
《打电话》是义务教育课程标准实验教科书（人教版）五年级下册数学综合应用的内容。本内容结合学生生活中熟悉的素材，合唱队在假期接到一个紧急任务，老师要打电话尽快通知到每个队员。让学生帮助老师设计一个打电话的方案，并从中寻找最优的方案。通过这个综合应用，让学生进一步体会数学与生活的密切联系以及优化思想在生活中的应用，从逐个通知到分组通知，再到互相转告，最后明确“让通知者都不空闲”的优化策略，从而使得打电话时间大大缩短。培养学生应用数学知识解决实际问题的能力，同时通过画图的方式发现事物隐含的规律，培养学生归纳推理的思维能力。
学情分析：学生在四年级上册的《数学广角》中已接触过合理安排时间的有关优化思想的学习，打电话的经验学生也有，如何设计一个方案尽快通知到每个同学，那就要学生动脑了。学生对这节课的内容会感兴趣，也会联系生活实际及自己的生活经验来设计方案，但是否能找到最优的方案，发现事物隐含的规律，是重点也是难点，所以本节课让学生亲身经历寻找最优方案的全過程，在理解的基础上再运用优化的思想解决生活中实际问题。
教学中我做了如下目标定位：（1）结合学生生活实际，使学生在众多的方案中找到打电话的最优方法，通过画图的方式发现事物隐含的规律。（2）创设情境，使学生亲身经历寻找最优方案的全过程。（3）进一步体会数学与生活的密切联系，以及优化思想在生活中的应用，培养学生应用数学知识解决实际问题的能力。教学重点是让学生探讨最优化的方案。教学难点是让学生通过画图的方式发现事物隐含的规律。
教法学法：基于对教材认真反复研读的基础上，再从学生的基础考虑，估计到学生探索“打电话尽快通知15人”的方案比较困难，因此采取分层递进的方法，先让学生探索“打电话尽快通知7人”的方案，进而探索“打电话尽快通知15人”的方案。这样处理教材，分散了难点，也符合数学归纳的思想和方法。教学中有意让学生不断经历试误的过程，让每个学生基于自己的生活经验与认识设计不同的方案，于是，从方案一的“逐个通知”，到方案二的分组通知，最后逐步优化到 “所有人不空闲”，让学生充分体会了解决问题方法的多样性与优化的思想。
2.【课堂写真】：
2.1 复习激趣：（1分钟）
2.1.1 唤起回忆，优化思想：
师：（课件呈现）同学们，在生活中，我们总是力求把事情办得又好又快，比如说，烙饼的时候，充分利用锅里的空间，就能尽快烙好;沏茶的时候，烧水的同时，去洗茶杯找茶叶，就能节省时间;货船到了港口，按卸货时间从少到多排列就能使这些货船等候时间的总和最少。记得吗？在四年级我们曾学过怎样运用优化的思想来合理安排，节省时间。
2.1.2 激趣：
（1）情境：今天，杜老师带来了这样一个问题，看大家能不能用优化的思想解决，有信心吗？请看大屏幕。 怎样通知呢？
（2）请师生共评方法的优劣：
（发短信）师：好，又快又方便。
（ 家校通）师：好，又快又省事！
（打电话）师：用这个方法放心，一打电话，我马上就能知道对方是否接到通知。
师：我们就从最理想的状态，估计一下用短信、校讯通、网络群消息来通知全校大概多长时间？
最快几分钟就行了，还能更快吗？那打电话要多长时间呢？如果给1个人打电话用1分钟，给2个人打电话就要分钟，给全校800多人打电话，要800分钟！大概估一估，大约13小时，天呀！
（3）导入：如果用优化的思想合理安排的话，打电话通知全校时间能变得少些再少些吗？这节课，我们就一起来探讨吧。
3.尝试感知：
3.1 化繁为简
师：全校人数太多，探讨起来比较麻烦，怎么办呢？如果人数少是不是就更容易些呢？就让我们化繁为简，先从较小的数据入手。
3.2 明确探讨要求
师：出示例题，谁来读：
要通知15名同学，如果每分钟通知1人，要求尽快通知到每一个人，请帮助老师设计一个打电话的方案。
师：这里面有哪几个关键词？（15人，每分钟通知1人，尽快）课件展示。
师：你打算怎么给这15名同学打电话？
师及时概括分组的方法和一传十、十传百的方法！
师：请用适当的方法把方案表示出来，并计算这种方案所用的时间。
3.3 独立探究，小组交流
3.4 展示方案，感受方案的不断优化、充分比较
（1）展示分组方案：
师：有请设计师来说说自己的方案。
师：还有疑问吗？
师：为什么分组通知就比一个一个通知要快呢？
师：看来有人帮忙、同时打电话就能省时间。
师：是不是分组越多就越快呢？你是怎么想的？请说明理由（渗透极限的思想，分15组）
（2）展示最优方案 ：
师：再请这位设计师来说说自己的方案。
师：还有疑问吗？
师：我不明白了，这两个方案都是有人帮忙同时打电话，为什么这个方案更快？
师适时概括：分组方案里最多有几人帮忙，而这种方案越到后面帮忙的人就越多。 师：在这个方案里，帮忙的人还能更多吗？找一找，这个方案里还有人空闲着没帮忙吗？
师：这就是最快的方案吗？为什么？
板书：每个人都不空闲。
师：这个方案怎样做到尽快的呢？
每个同学接到通知后马上通知别人，接下来他（她）再继续通知其他人，直到所有人都接到通知为止。
4.运用规律，解决问题：
4.1 直接运用表格中的数据解决问题
师：大家的火眼金睛真厉害，发现了这么多规律，会用规律解决问题吗？下面进入抢答环节。
师：5分钟最多通知多少人？与第5分钟最多通知多少人，是一个问题吗？可要听仔细、想清楚！
7分钟最多通知多少人？
4.2 明确表示所显示的是人数范围，解决人数不是表内数据的问题
师：刚才我们直接运用表格中的数据解决了问题，那么如果想通知我们全班37名同学，像这样最少要多少分钟就可以全部通知到？
师：说说你是怎样想的？
师：要通知50人至少需要多少分钟？还是6分钟呀！
师：再多通知一些，通知62人呢？
师：为什么都是6分钟呢？
师：想一想：当需要通知的总人数从多少人到多少人时，最少用6分钟就能保证都通知到？
师：像这样10分钟可以通知1023人，那么要多少分钟就可以通知我们全校800名学生？
师：10分钟，和开始上课时估计发短信、校训通差不多，10分钟就能打电话通知到全校800多人，简直难以置信。只能说，优化的思想太神奇了！
4.3 理想状态与实际生活中的差异
（1）师：多有效率呀！不过这是最理想的情况，在实际生活中实施这个方案可能遇到这样那样的问题，影响打电话的效率，想一想会遇到哪些问题呢？我们应该提前做好哪些准备呢？
（2）生说师概括：首先登记电话，做到不重复不遗漏。
师：可以借助图示方案确定谁通知谁，然后每个人都记下自己要通知的人。
课件演示：先画好电话通知示意图，再确定好谁通知谁。不重复不遗漏。
师：在现实生活中提前做好准备，尽量做到最优化，这样就会有效率了。
5.总结
通过今天的学习，你有什么收获？
【分析研究】：
学生数学学习内容贯穿着两条主线，数学基础知识和数学思想方法。数学基础知识是一条明线，直接用文字的形式写在教材里，反映着知识间的纵向联系。数学思想方法则是一条暗线，反映着知识间的横向联系，隐藏在基础知识的背后，需要教师加以分析、提炼才能使之显露出来。数学知识是对生活的提炼，数学思想方法是对数学知识的提炼。
本节课通过老师的巧妙地设计，以怎样打电话更省时为着力点，让学生经历知识的形成过程，用恰当的语言进行深入浅出的分析，把隐蔽在知识内容背后的思想方法提示出来，让学生逐步领会蕴涵其中的数学思想方法。整节课学生兴奋积极，情绪饱满的投入学习各环节，无论是在知识、能力还是情感上都得到了不同程度地发展。
第一：通过挖掘教材体验数学思想方法，把抽象的数学问题生活化、情境化，让学生亲近数学，喜欢数学。
数学对于学生来讲是抽象的、陌生的，这节课最优方案选择对学生来说更是如此。但生活对于学生来讲则上形象的、熟悉的，在学生的知识经验里，已经储备了一些怎样最省时的知识经验，因此，教学不能无视学生的这些经验，而是要把儿童现有的知识经验作为新知识的增长点，引导儿童从原有的知识经验中“生长”出新的知识经验。今天这节课教师正是了解到学生已有经验，思维起点，在课中优化这些以“生活”为背景的教学内容，把生活素材、生活经验、生活情景作为重要资源，引入课堂。为学生创设一种宽松的研究氛围，鼓励学生毫无顾虑地把自己的想法说出来，启发他们设计各种各样打電话的方法，用学生喜欢的打电话，切饼，细胞分裂和对折绳子等游戏贯穿整节课，让学生置身于一定的情境中，调用各种感官去体验、感受既充分调动了学生学习的积极性，又引导学生丰富和调整自己的理解，感受抽象的知识就在自己的身边，体验到“我就在数学之中”，从而自然的去喜欢数学、去研究抽象的数学，增强了学生对数学的兴趣和信心。最后的教学实践也证明，学生在第二种方案的过程中，就已经初步感悟到当教师在通知其他同学时，已得到通知的学生也应投入到打电话的行列之中，设计方法的热情很高，他们积极思维。各种方案中，既有生活经验的迁移，又有学生的创造性设计，这样既扩大了知识的信息量，又开拓了他们的思路。
第二：通过教学过程渗透数学思想方法，沟通前后知识的联系。
数学发展到今天， 已成为一个符号化的世界。符号就是数学存在的具体化身。数学用的语言与通常的语言有重大区别，它将自然语言变为一种简明的符号语言。在本课打电话方案的记录上，我从正反两方面入手，培养学生符号化的思想。首先引导学生初步学会将日常语言叙述的数量关系转化为数学符号语言。其次， 我还请部分同学板书，引导学生将看懂抽象的符号所反映的数量关系，把符号化思维渗透于教学的始终， 以培养学生抽象思维的能力。
课中我注重化繁为简、数学符号化思想的渗透。打电话方案的记录方式有很多种，可以用文字完整描述，可以用数字1-15分别代替15名学生逐条简单记录，还可以用画图示的方式形象记录。在课堂上，我提示学生“用图示的方法”来记录。虽然学生展示的结果各不相同，但无论哪一种图示都体现出数学的简约美。
在发现规律的教学环节中，我通过图示引导学生有序思维。第一分钟时，有几人打电话？打完电话后共有多少人（这里包括教师）知道这个消息？第二分钟呢？第三分钟呢？通过“层层剥笋”，规律一步步明晰，道理不说自明。
学生正处在从具体形象思维向抽象逻辑思维过渡的阶段。特别是高年级学生的抽象思维发生了“飞跃”或“质变”，这一阶段正是发展学生逻辑思维的有利时期。而学生在思考打电话的时间与通知到的学生人数问题时，常会被表面现象所迷惑，而不能抓住事物的内在规律和本质——即第n分钟所有接到通知的队员和老师的总数是一个等比数列。为了克服思维的表面性与不求甚解的毛病，我创设探究情境，让学生的思维过程得以充分暴露，使思维深刻。
参考文献：
[1]《数学课程标准》.
[2]义务教育课程标准实验教科书（人教版）五年级下册.