反比例函数与一次函数关系及简单应用

• 作 者: 黄朝宗
• 出 处: 教育周报·教研版
• 发表日期: 2020年14期

　　摘要：如果反比例函数

（k≠0）与直线

（

）相切时，并且直线

与x轴、y轴围成面积等于2

;反之亦然。
　　关键词： 函数    切线     面积    定值
　　在初中数学教材中，我们已经研究了反比例函数的图象、性质和解析式，尤其对反比例函数

中的k的符号直接决定了图象的位置和相应的函数变化规律，过反比例函数图象上的任意一点作横轴或纵轴的垂线，这点、垂足和原点构成的三角形面积为

的一半的讨论，给我们留下了深刻的印象，在此基础上，我在教学中逐步发现了一个关于反比例函数与一次函数的有趣关系问题，现提供给读者参考。
　　命题1  如果反比例函数

（k≠0）与直线

（

）相切，并且，直线

与x轴、y轴相交于A、B两点，那么⊿AOB的面积等于2

。
　　


　　证明：∵反比例函数

（k≠0）与直线

（

）相切，∴方程组

有唯一解，由方程组得

，∴

，且這个一元二次方程有相等实数根⊿=0，即

，

，又∵ 直线

与 X轴、Y轴分别交于A（

，0）、B（0，b），∴S_⊿AOB =

 

  命题1说明，反比例函数

（k≠0）与直线

（

）相切时，⊿AOB的面积为定值2

，并且它与反比例函数与直线的切点位置无关。 　　根据命题1我们可以得到命题1的逆命题：命题2如果P（a，b）是反比例函数

（k≠0）圖象上的一点，A、B两点分别在x轴、y上，且A（2a，0），B（0，2b），那么直线与反比例函数相切。
　　


　　证明：∵A（2a，0），B（0，2a），∴OA=2

，OB=2

，S_⊿AOB= 

，设直线

是经过P（a，b）且与反比例函数的直线交x轴于

、Y轴于

，则

（

）

（0，

），S_{⊿A’OB’=} 

，∵直线

是经过P（a，b），∴S_{⊿A’OB’=}2

，∴S_⊿AOB= S_{⊿A‘OB‘     即}

，∴

，

。
　　解得：

，

（不符合题意舍去），∴

    

     故直线AB与反比例函数相切于点P，从反比例函数

（k≠0）与直线

（

）相切的关系中启示我们直线

与X轴、Y轴的交点和原点组成的三角形面积等于2

中，我们可以利用这一几何关系判定直线AB与反比例函数

的位置关系。 　　例1已知：如图示，直线AB与X轴相交于A（3，0）B（0，4），反比例函数

與 AB相切，CD‖AB交X轴、Y轴于C、D且也与反比例函数相切。 求：（1）反比例函数的解析式;（2）直线CD的解析式和切点P的坐标;（3）猜想四边形ABCD是怎样的四边形？试证明你的猜想！
　　


　　解：（1）因为直线AB与反比例函数

相切，∴2

= S_⊿AOB，∵A（3，0）;B（0，4），∴2

=

    

=3，K=3（-3舍去），∴

。
　　（2）直线AB的解析式为


　　∵CD‖AB   设CD直线的解析式为


　　又∵CD直线与

相切，∴

，∴b=-4 或b=4（舍去）故b=-4，∴直线的解析式为

。
　　解方程组

得

，∴P（

）
　　（3）猜想;四边形ABCD是菱形。证明：在

中令x=0，则y=-4，令y=0  则x=-3，故D（0，-4），C（-3，0）∴OA=OC，OB=OD，又AC⊥BD，故四边形ABCD是菱形。
　　命题3 已知反比例函数

（k≠0）且直线

（

）与X轴、Y轴交点与原点所围成的三角形面积为S。 　　當

时：①当

时，直线与反比例函数没有交点;②当

时，直线与反比例函数有且只一个交点;③当

时，直线与反比例函数有两个交点;当

时，无论S为何值时，直线与反比例函数有两个交点。证明：如图所示，直线AB与

（k≠0）相切。则S_⊿AOB=2

，即S=2

，当B点不动时，S<2

，则有S_⊿AOB> S_⊿A‘OB  ，即

∵AB与

有唯一交点P，直线AB，

相交于点B，∴直线AB’与

无交点类似地，可以证明当

时，直线与反比例函数有两个交点。
　　例2：选择题，下列一次函数中与反比例函数

只有一个交点是（        ）
　　A  

                              B  


　　C  

                                D  


　　答案：D