论文部分内容阅读
在讲授苏教版高中数学必修五第三章不等式的复习题第十一题第三小题“函数f(x)=(m+1)x-mx+m-1，若不等式f(x)＞0的解集为R，则m的取值范围是”时，有位学生问：“由x∈R时，x2-x+1＞0恒成立，故f(x)＞0等价于m＞x2-1x2-x+1.构建函数y=x2-1x2-x+1（x∈R）,于是m只要大于函数y=x2-1x2-x+1（x∈R）的最大值即可”.在将学生的想法完善时，笔者发现借助函数的最值可以解决一些含有参数字母的不等式恒成立问题.
问题一当x∈（-2，+∞），不等式x+16x+2-a＞0恒成立，求a的取值范围.
解析：构建函数y=x+16x+2，(x∈（-2，+∞）)，只要此函数的最小值大于a即可.
由x∈（-2，+∞）知x+2＞0
y=x+16x+2=x+2+16x+2≥2(x+2)16x+2-2=6
当且仅当x+2=16x+2即x=2时取等号.
所以当x=2时y取得最小值为6.故a＜6.
点评：解此类不等式恒成立时，可将不等式适当变形，实现参数字母的变量分离，即将不等式变形为f(x)＞a（或f(x)＜a）的形式.由在某一区间上，f(x)＞a恒成立等价于函数y=f(x)在区间上的最小值m大于a；f(x)＜a恒成立等价于函数y=f(x)在区间上的最大值M小于a.因而就转化为求函数y=f(x)在区间上的最值问题.解题时要注意函数的定义域.
问题二对于x∈［0，1］的一切值，求使ax+1＞0恒成立的a的取值范围.
解析一：此题的解决可构建函数f(x)=ax+1，（x∈［0，1］）只要函数f(x)=ax+1，x∈［0，1］的最小值m＞0即可.注意由函数知，此题设及对字母a的处理，由于题中没有明确a的取值范围，需要按照a为零、正数与负数进行讨论.
当a=0时，f(x)=1，故ax+1＞0恒成立；
当a＞0时，f(x)=ax+1在［0，1］上为增函数，
在x=0时，f(x)取得最小值为1，此时1＞0恒成立，故a＞0
当a＜0时，f(x)=ax+1在［0，1］上为减函数，
在x=1时，f(x)取得最小值为a+1，由a+1＞0得a＞-1，
所以-1＜a＜0
综上所述在a＞-1时，ax+1＞0恒成立.
解析二：由x∈［0，1］知，
当x=0时，1＞0，故ax+1＞0恒成立；
当x≠0时，不等式变形为a＞-1x，设g(x)=-1x，（x∈（0，1］）由反比例函数的图象和性质可知，g(x)=-1x，（x∈（0，1］）为单调递增函数，当x=1时，g(x)取得最大值为-1，所以a＞-1.
综上所述在a＞-1时，ax+1＞0恒成立.
问题三函数f(x)=2x+a，（x∈［0，2］），g(x)=x2+2x，（x∈［0，2］），
若对于任意的x1，x2∈［0，2］，f(x1)≥g(x2)恒成立，求a的取值范围.
解析：由f(x1)与g(x2)两者之间无共同的变量知，f(x1)≥g(x2)恒成立等价于函数y=f(x)（x∈［0，2］）的最小值m大于或等于y=g(x)(x∈［0，2］)的最大值M，即m≥M.
由函数f(x)=2x+a，（x∈［0，2］）为单调递增函数知，在x=0时f(x)取得最小值m=a，
由函数g(x)=x2+2x，（x∈［0，2］）为单调递增函数知，在x=2时g(x)取得最大值M=8，所以a≥8.
点评：此类不等式求解的关键在要弄明白不等号的左右两边是否含有相同的变量，只有在不含有相同的变量时才可以.
问题四函数f(x)=2x+a，（x∈［0，2］），g(x)=x2+1x，（x∈［0，2］），若对于任意的x1∈［0，2］，总存在x2∈［0，2］，使f(x1)≥g(x2)恒成立，求a的取值范围.
解析：由对于任意的x1∈［0，2］，总存在x2∈［0，2］，使f(x1)≥g(x2)恒成立，结合两函数图象的相互关系可知，只要y=f(x)(x1∈［0，2］)的最小值m大于或等于y=g(x)(x∈［0，2］)的最小值n，即m≥n.
由函数f(x)=2x+a，(x∈［0，2］)为单调递增函数知，在x=0时f(x)取得最小值m=a，由函数g(x)=x2+2x，（x∈［0，2］）为单调递增函数知，在x=0时g(x)取得最大值n=0，所以a≥0.
点评：解决此类问题关键在于要弄清两函数之间的图象的相互关系，此题是最小值之间的关系，若将条件“若对于任意的x1∈［0，2］，总存在x2∈［0，2］”变为“若对于任意的x2∈［0，2］，总存在x1∈［0，2］”则是函数y=f(x)(x∈［0，2］)的最大值M大于或等于y=g(x)(x1∈［0，2］)的最大值N，即M≥N.
总之，函数的最值与不等式的关系非常密切，在解决不等式有关的问题若能够充分利用函数的有关性质将使我们的思路更加清晰，达到优化解.
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文
问题一当x∈（-2，+∞），不等式x+16x+2-a＞0恒成立，求a的取值范围.
解析：构建函数y=x+16x+2，(x∈（-2，+∞）)，只要此函数的最小值大于a即可.
由x∈（-2，+∞）知x+2＞0
y=x+16x+2=x+2+16x+2≥2(x+2)16x+2-2=6
当且仅当x+2=16x+2即x=2时取等号.
所以当x=2时y取得最小值为6.故a＜6.
点评：解此类不等式恒成立时，可将不等式适当变形，实现参数字母的变量分离，即将不等式变形为f(x)＞a（或f(x)＜a）的形式.由在某一区间上，f(x)＞a恒成立等价于函数y=f(x)在区间上的最小值m大于a；f(x)＜a恒成立等价于函数y=f(x)在区间上的最大值M小于a.因而就转化为求函数y=f(x)在区间上的最值问题.解题时要注意函数的定义域.
问题二对于x∈［0，1］的一切值，求使ax+1＞0恒成立的a的取值范围.
解析一：此题的解决可构建函数f(x)=ax+1，（x∈［0，1］）只要函数f(x)=ax+1，x∈［0，1］的最小值m＞0即可.注意由函数知，此题设及对字母a的处理，由于题中没有明确a的取值范围，需要按照a为零、正数与负数进行讨论.
当a=0时，f(x)=1，故ax+1＞0恒成立；
当a＞0时，f(x)=ax+1在［0，1］上为增函数，
在x=0时，f(x)取得最小值为1，此时1＞0恒成立，故a＞0
当a＜0时，f(x)=ax+1在［0，1］上为减函数，
在x=1时，f(x)取得最小值为a+1，由a+1＞0得a＞-1，
所以-1＜a＜0
综上所述在a＞-1时，ax+1＞0恒成立.
解析二：由x∈［0，1］知，
当x=0时，1＞0，故ax+1＞0恒成立；
当x≠0时，不等式变形为a＞-1x，设g(x)=-1x，（x∈（0，1］）由反比例函数的图象和性质可知，g(x)=-1x，（x∈（0，1］）为单调递增函数，当x=1时，g(x)取得最大值为-1，所以a＞-1.
综上所述在a＞-1时，ax+1＞0恒成立.
问题三函数f(x)=2x+a，（x∈［0，2］），g(x)=x2+2x，（x∈［0，2］），
若对于任意的x1，x2∈［0，2］，f(x1)≥g(x2)恒成立，求a的取值范围.
解析：由f(x1)与g(x2)两者之间无共同的变量知，f(x1)≥g(x2)恒成立等价于函数y=f(x)（x∈［0，2］）的最小值m大于或等于y=g(x)(x∈［0，2］)的最大值M，即m≥M.
由函数f(x)=2x+a，（x∈［0，2］）为单调递增函数知，在x=0时f(x)取得最小值m=a，
由函数g(x)=x2+2x，（x∈［0，2］）为单调递增函数知，在x=2时g(x)取得最大值M=8，所以a≥8.
点评：此类不等式求解的关键在要弄明白不等号的左右两边是否含有相同的变量，只有在不含有相同的变量时才可以.
问题四函数f(x)=2x+a，（x∈［0，2］），g(x)=x2+1x，（x∈［0，2］），若对于任意的x1∈［0，2］，总存在x2∈［0，2］，使f(x1)≥g(x2)恒成立，求a的取值范围.
解析：由对于任意的x1∈［0，2］，总存在x2∈［0，2］，使f(x1)≥g(x2)恒成立，结合两函数图象的相互关系可知，只要y=f(x)(x1∈［0，2］)的最小值m大于或等于y=g(x)(x∈［0，2］)的最小值n，即m≥n.
由函数f(x)=2x+a，(x∈［0，2］)为单调递增函数知，在x=0时f(x)取得最小值m=a，由函数g(x)=x2+2x，（x∈［0，2］）为单调递增函数知，在x=0时g(x)取得最大值n=0，所以a≥0.
点评：解决此类问题关键在于要弄清两函数之间的图象的相互关系，此题是最小值之间的关系，若将条件“若对于任意的x1∈［0，2］，总存在x2∈［0，2］”变为“若对于任意的x2∈［0，2］，总存在x1∈［0，2］”则是函数y=f(x)(x∈［0，2］)的最大值M大于或等于y=g(x)(x1∈［0，2］)的最大值N，即M≥N.
总之，函数的最值与不等式的关系非常密切，在解决不等式有关的问题若能够充分利用函数的有关性质将使我们的思路更加清晰，达到优化解.
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文