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新课程下的高考立体几何解答题的考查都是“双轨制”：综合法和向量法.初步统计，近九成的考生选择“向量法”和“混合法”（即综合几何法和坐标向量法混合使用）.而使用“综合法”的少而又少.其实，向量法并非就是坐标向量法，还包括非坐标向量法，后者的使用比前者更加广泛，更加自由.这样，以模式化的“算”代替“空间想象”造成一些考生空间想象能力不足.但是，立体几何的一个突出功能是培养学生的空间想象能力，其中尤为重要的是图形想象能力.因此，立体几何在考查学生空间想象能力方面通常是以选择题或填空题的形式出现，属于“小题”的范畴.这类题目在解法上通常更具灵活性，思维上更具创新性，需要做到“小题巧解”.下面将以近年来高考数学出现的相关四类题型举例分析，希望能抛砖引玉，引起广大同行的重视.
一、 以“动态”的点、线、面为载体，考查学生的空间想象能力
新考纲对考生的空间想象能力的考查提出了“能够想象几何图形的运动和变化情况”的更高要求.因此立体几何中除了固定的线线、线面、面面关系外，还渗透了一些“动态”的点，线和面，给“静态”的立体几何赋予了新的活力、新的亮点，同时也给学生解决问题提供了更广阔的思维空间，能有效地检测学生的直观感知、观察发现、空间想象等能力，具有很好的考查功能和导向作用.
例1 正方体ABCD—A1B1C1D1,E、F分别是AA1、CC1的中点，P是CC1上的动点(包括端点),过E、D 、P作正方体的截面，若截面为四边形，则P的轨迹是（）
A. 线段C1F
B. 线段CF
C. 线段CF和一点C1
D. 线段C1F和一点C
对于本题，由于学生的空间想象能力不足，不能依据平面的基本定理和线面平行定理作两平面的交线，学生因陌生而“难”.但只要我们结合选项分析，动点P的运动经历了端点C→线段CF→中点F→线段C1F→端点C1五个过程，过E、D、P所作正方体截面的边数随之发生改变.以下，按运动过程，充分发挥学生的想象力，依据相关定理，正确画出图形，把符号语言转化为图形语言，然后依据图形研究判断，那就容易了.当点P在线段CF上移动时，易由线面平行的性质定理知：直线DE平行于平面BB1C1C，则直线DE与过DE的截面DEP与平面BB1C1C的交线必平行，因此两平面的交线为过点P与DE平行的直线，由于点P在线段CF上，故此时过P与DE平行的直线与直线BB1的交点在线段BB1上，故此时截面为四边形（实质上是平行四边形）.据此作图如上左.当点P恰为点F（或点C）时，此时截面DEFB1也为平行四边形.当点P在线段C1F上时，如上右图分别延长DE、DP交A1D1、D1C1于点H、G,则据平面基本定理知点H、G既在平面DEP内也在平面A1B1C1D1内，故GH为两平面的交线，连GH分别交A1B1、B1C1于点K、N（注不可能交在两直线的延长线上），再分别连结EK、KN、PN即得截面为DEKNP，此时为五边形.如果考生试图求出动点P的轨迹方程，在确定轨迹，那就大绕弯了.
本题与北京卷10年理8（在正方体中，利用棱上的动点所得四面体体积……）、08年理8(在正方体中，过对角线上动点作对角面的垂线……)、09年理8(A点问题)类比，不难发现它们都秉持在运动变化中考查学生对图形中线线、线面、面面位置关系以及各种数量关系做出准确的分析、判断，把看到的、想到的东西用空间图形的方式表现出来，是深化空间想象能力考查的标志.
二、 以运动几何体为载体，考查学生的空间想象能力
在历年的高考中，经常出现面积、体积较灵活的小题，以考查学生空间想象能力.学生只有较强的“构图”能力，必要时能够运用割、补、展、转等方法，构建空间几何体才能解决问题.
例2 一个棱长为6cm的密封正方体盒子中放一个半径为1cm的小球，无论怎样摇动盒子，求小球在盒子中不能到达的空间的体积.
根据题设，我们可以引导学生从以下几个层次在头脑中做数学：
（1）在边长为2的正方体中放半径为1cm的小球，则小球所不能到达的空间体积为：2×2×2-4π3×13=8-4π3（cm3）
此时小球恰好为正方体的内切球.
（2） 在2×2×6的正四棱柱中放半径为1cm的小球, 任意摇动小球.当摇动小球时,它只能上下运动,小球的球心可以在一条长度为4的线段上运动，线段的端点与正四棱柱的上、下底面各相距1cm，则小球所能够到达的空间体积为小球的球心从线段的一端运动到另一端时所构成的立体的体积，它恰好等于两个半球加上一个圆柱，两个半球恰好合成一个小球的体积，而圆柱的底面半径为1cm，圆柱的高为4cm，故小球所到达的空间体积为π×12×4+4π3×13=16π3(cm3).
因此小球所不能到达的体积为24-16π3(cm3).
（3） 回到我们一开始提的问题中来，小球所能够到达的空间体积就相当于小球的球心沿着一个4×4×4正方体的每一条棱走一遍所构成的立体的体积加上4×4×4正方体的体积，而对于立体和4×4×4正方体重叠部分的体积我们除去.所以当小球在6×6×6的正方体中任意摇动时所能到达的空间体积是
4×4×4+π×12×4×3+4π3×13+6×1×4×4=160+40π3(cm3)
所以小球所不能到达的体积6×6×6-160-40π3=56-40π3(cm3).
此题最大的特色是把“物体运动”与“空间体积”自然的融合在一起，实现了“动与静”的交汇.因此这类题目在解法上更需要我们有充分的空间想象能力，把立体图在头脑中呈现，无图想图，力求做到“小题巧解”，才能适应高考的要求.
三、 以变动的几何体为载体，考查学生的空间想象能力
在近几年全国各地的高考试题中，以往的柱体、椎体都变成了可以变动的几何体，而且多以非常态的、非标准的状态出现，部分学生往往因为不能透过看似复杂的表象看清问题的实质而无法下手.实际上，对于这类问题，一般要画出变动前后的平面图形与立体图形，并弄清变动前后哪些发生了变化，哪些没有发生变化.这些未变化的已知条件都是我们分析问题和解决问题的突破口.
例3 如图所示，透明塑料制成的长方体容器ABCD—A1B1C1D1内灌进一些水，固定容器底面一边BC于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面五个命题：
（1） 有水的部分始终呈棱柱形；（2） 没有水的部分始终呈棱柱形；
(3) 水面EFGH所在四边形的面积为定值；(4) 棱A1D1始终与水面所在平面平行；(5) 当容器倾斜如图3所示时，BE•BF是定值.其中所有正确命题的序号是.（写出所有正确命题的序号）
此题中的水体随容器的位置改变而变动.这时教师要充分发挥积极地引导作用，引导学生在变动的状态下揭示图形中点、线、面不变的位置关系与数量关系，帮助学生建立空间观念，提高空间想象能力和几何直观能力.分析如下：（1） 因为AD∥BC,BC固定于地面上，所以AD与地面平行，从而AD与水平面平行，所以AD∥FG∥EH.又因为AA1∥BB1∥CC1∥DD1，所以四边形BCGF、FGHE、HEAD和ABCD均为平行四边形.因为平面ABFE∥平面DCGH，所以水的部分始终呈棱柱形(四棱柱或三棱柱).所以命题（1）正确.
（2） 同理可证没有水的部分始终呈棱柱形，所以命题（2）也正确.
（3） 当底面ABCD放置在地面上时，水面面积与上、下底面面积相等，在倾斜过程中，水的面积改变，因此命题（3）不正确.
（4） 因为棱A1D1∥AD，AD平行于水面或者在水面上，所以棱A1D1始终与水面所在平面平行，所以命题（4）正确.
(5) 因为水的体积不变，而棱柱BEF—CHG的高不变，所以棱柱的底面积不变，从而BE•BF为定值，所以命题(5)也正确.
从中可以看出，图形处理等考查主要是在图形的变式和非标准位置图形中体现的，这就要求对位置关系有更透彻的观察，更具体的想象，尤其是图形的分解、组合，即对空间想象能力的要求更高了.
四、 以三视图为载体，考查学生的空间想象能力
新课标对立体几何的内容变化最大的是增加了三视图，以几何体、三视图、直观图之间的互相转化，来帮助学生完善思维结构，发展空间想象能力，尤其是图形想象能力.即要求学生能够通过空间几何体的直观图画出它的三视图，从三视图画出它的直观图.
例4 （2008年高考海南与宁夏卷理）某几何体的一条棱长为7,在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为6的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a和b的线段，则a+b的最大值为（）
此题以三视图为载体，考查考生对空间基本的几何图形（平面图形或立体图形）的熟悉程度，考查空间想象能力.解答本题，必须由提供的三视图通过想象还原出几何体的形状，并借助图形思考.为了使得思考直观、简捷，我们需要对图形进行适当的构造.不妨构造一个长方体，其一条体对角线长为7，其三个相邻面的对角线长分别为6，a和b.设过长方体同一顶点的三条棱长分别是x、y、z，则x2+y2=a2,
x2+z2=b2,
z2+y2=6;所以
2(x2+y2+z2)=a2+b2+6,可知a2+b2=8,结合基本不等式得
(a+b)2=a2+b2+2ab≤2（a2+b2）=16;故选C.
本题在如何构造图形上是开放的，因此，构造的图形是否突出问题的本质，达到直观、简捷，需要较强的空间想象能力.此时的空间想象能力主要表现为识图、画图能力和对图形的转换能力.
本文从以上四个方面对近年立体几何在考查学生空间想象能力的四种题型进行了分析和讨论，意在引起同行对高考数学中新动向的关注，在平时的复习过程中，要在这些方面多下功夫，踦身于高考数学创新改革的前沿，捕捉高考考点的微妙变化，并整合到自己的复习实践中来，才能稳操高考数学的胜卷.
（责任编辑：朱善宏）
一、 以“动态”的点、线、面为载体，考查学生的空间想象能力
新考纲对考生的空间想象能力的考查提出了“能够想象几何图形的运动和变化情况”的更高要求.因此立体几何中除了固定的线线、线面、面面关系外，还渗透了一些“动态”的点，线和面，给“静态”的立体几何赋予了新的活力、新的亮点，同时也给学生解决问题提供了更广阔的思维空间，能有效地检测学生的直观感知、观察发现、空间想象等能力，具有很好的考查功能和导向作用.
例1 正方体ABCD—A1B1C1D1,E、F分别是AA1、CC1的中点，P是CC1上的动点(包括端点),过E、D 、P作正方体的截面，若截面为四边形，则P的轨迹是（）
A. 线段C1F
B. 线段CF
C. 线段CF和一点C1
D. 线段C1F和一点C
对于本题，由于学生的空间想象能力不足，不能依据平面的基本定理和线面平行定理作两平面的交线，学生因陌生而“难”.但只要我们结合选项分析，动点P的运动经历了端点C→线段CF→中点F→线段C1F→端点C1五个过程，过E、D、P所作正方体截面的边数随之发生改变.以下，按运动过程，充分发挥学生的想象力，依据相关定理，正确画出图形，把符号语言转化为图形语言，然后依据图形研究判断，那就容易了.当点P在线段CF上移动时，易由线面平行的性质定理知：直线DE平行于平面BB1C1C，则直线DE与过DE的截面DEP与平面BB1C1C的交线必平行，因此两平面的交线为过点P与DE平行的直线，由于点P在线段CF上，故此时过P与DE平行的直线与直线BB1的交点在线段BB1上，故此时截面为四边形（实质上是平行四边形）.据此作图如上左.当点P恰为点F（或点C）时，此时截面DEFB1也为平行四边形.当点P在线段C1F上时，如上右图分别延长DE、DP交A1D1、D1C1于点H、G,则据平面基本定理知点H、G既在平面DEP内也在平面A1B1C1D1内，故GH为两平面的交线，连GH分别交A1B1、B1C1于点K、N（注不可能交在两直线的延长线上），再分别连结EK、KN、PN即得截面为DEKNP，此时为五边形.如果考生试图求出动点P的轨迹方程，在确定轨迹，那就大绕弯了.
本题与北京卷10年理8（在正方体中，利用棱上的动点所得四面体体积……）、08年理8(在正方体中，过对角线上动点作对角面的垂线……)、09年理8(A点问题)类比，不难发现它们都秉持在运动变化中考查学生对图形中线线、线面、面面位置关系以及各种数量关系做出准确的分析、判断，把看到的、想到的东西用空间图形的方式表现出来，是深化空间想象能力考查的标志.
二、 以运动几何体为载体，考查学生的空间想象能力
在历年的高考中，经常出现面积、体积较灵活的小题，以考查学生空间想象能力.学生只有较强的“构图”能力，必要时能够运用割、补、展、转等方法，构建空间几何体才能解决问题.
例2 一个棱长为6cm的密封正方体盒子中放一个半径为1cm的小球，无论怎样摇动盒子，求小球在盒子中不能到达的空间的体积.
根据题设，我们可以引导学生从以下几个层次在头脑中做数学：
（1）在边长为2的正方体中放半径为1cm的小球，则小球所不能到达的空间体积为：2×2×2-4π3×13=8-4π3（cm3）
此时小球恰好为正方体的内切球.
（2） 在2×2×6的正四棱柱中放半径为1cm的小球, 任意摇动小球.当摇动小球时,它只能上下运动,小球的球心可以在一条长度为4的线段上运动，线段的端点与正四棱柱的上、下底面各相距1cm，则小球所能够到达的空间体积为小球的球心从线段的一端运动到另一端时所构成的立体的体积，它恰好等于两个半球加上一个圆柱，两个半球恰好合成一个小球的体积，而圆柱的底面半径为1cm，圆柱的高为4cm，故小球所到达的空间体积为π×12×4+4π3×13=16π3(cm3).
因此小球所不能到达的体积为24-16π3(cm3).
（3） 回到我们一开始提的问题中来，小球所能够到达的空间体积就相当于小球的球心沿着一个4×4×4正方体的每一条棱走一遍所构成的立体的体积加上4×4×4正方体的体积，而对于立体和4×4×4正方体重叠部分的体积我们除去.所以当小球在6×6×6的正方体中任意摇动时所能到达的空间体积是
4×4×4+π×12×4×3+4π3×13+6×1×4×4=160+40π3(cm3)
所以小球所不能到达的体积6×6×6-160-40π3=56-40π3(cm3).
此题最大的特色是把“物体运动”与“空间体积”自然的融合在一起，实现了“动与静”的交汇.因此这类题目在解法上更需要我们有充分的空间想象能力，把立体图在头脑中呈现，无图想图，力求做到“小题巧解”，才能适应高考的要求.
三、 以变动的几何体为载体，考查学生的空间想象能力
在近几年全国各地的高考试题中，以往的柱体、椎体都变成了可以变动的几何体，而且多以非常态的、非标准的状态出现，部分学生往往因为不能透过看似复杂的表象看清问题的实质而无法下手.实际上，对于这类问题，一般要画出变动前后的平面图形与立体图形，并弄清变动前后哪些发生了变化，哪些没有发生变化.这些未变化的已知条件都是我们分析问题和解决问题的突破口.
例3 如图所示，透明塑料制成的长方体容器ABCD—A1B1C1D1内灌进一些水，固定容器底面一边BC于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面五个命题：
（1） 有水的部分始终呈棱柱形；（2） 没有水的部分始终呈棱柱形；
(3) 水面EFGH所在四边形的面积为定值；(4) 棱A1D1始终与水面所在平面平行；(5) 当容器倾斜如图3所示时，BE•BF是定值.其中所有正确命题的序号是.（写出所有正确命题的序号）
此题中的水体随容器的位置改变而变动.这时教师要充分发挥积极地引导作用，引导学生在变动的状态下揭示图形中点、线、面不变的位置关系与数量关系，帮助学生建立空间观念，提高空间想象能力和几何直观能力.分析如下：（1） 因为AD∥BC,BC固定于地面上，所以AD与地面平行，从而AD与水平面平行，所以AD∥FG∥EH.又因为AA1∥BB1∥CC1∥DD1，所以四边形BCGF、FGHE、HEAD和ABCD均为平行四边形.因为平面ABFE∥平面DCGH，所以水的部分始终呈棱柱形(四棱柱或三棱柱).所以命题（1）正确.
（2） 同理可证没有水的部分始终呈棱柱形，所以命题（2）也正确.
（3） 当底面ABCD放置在地面上时，水面面积与上、下底面面积相等，在倾斜过程中，水的面积改变，因此命题（3）不正确.
（4） 因为棱A1D1∥AD，AD平行于水面或者在水面上，所以棱A1D1始终与水面所在平面平行，所以命题（4）正确.
(5) 因为水的体积不变，而棱柱BEF—CHG的高不变，所以棱柱的底面积不变，从而BE•BF为定值，所以命题(5)也正确.
从中可以看出，图形处理等考查主要是在图形的变式和非标准位置图形中体现的，这就要求对位置关系有更透彻的观察，更具体的想象，尤其是图形的分解、组合，即对空间想象能力的要求更高了.
四、 以三视图为载体，考查学生的空间想象能力
新课标对立体几何的内容变化最大的是增加了三视图，以几何体、三视图、直观图之间的互相转化，来帮助学生完善思维结构，发展空间想象能力，尤其是图形想象能力.即要求学生能够通过空间几何体的直观图画出它的三视图，从三视图画出它的直观图.
例4 （2008年高考海南与宁夏卷理）某几何体的一条棱长为7,在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为6的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a和b的线段，则a+b的最大值为（）
此题以三视图为载体，考查考生对空间基本的几何图形（平面图形或立体图形）的熟悉程度，考查空间想象能力.解答本题，必须由提供的三视图通过想象还原出几何体的形状，并借助图形思考.为了使得思考直观、简捷，我们需要对图形进行适当的构造.不妨构造一个长方体，其一条体对角线长为7，其三个相邻面的对角线长分别为6，a和b.设过长方体同一顶点的三条棱长分别是x、y、z，则x2+y2=a2,
x2+z2=b2,
z2+y2=6;所以
2(x2+y2+z2)=a2+b2+6,可知a2+b2=8,结合基本不等式得
(a+b)2=a2+b2+2ab≤2（a2+b2）=16;故选C.
本题在如何构造图形上是开放的，因此，构造的图形是否突出问题的本质，达到直观、简捷，需要较强的空间想象能力.此时的空间想象能力主要表现为识图、画图能力和对图形的转换能力.
本文从以上四个方面对近年立体几何在考查学生空间想象能力的四种题型进行了分析和讨论，意在引起同行对高考数学中新动向的关注，在平时的复习过程中，要在这些方面多下功夫，踦身于高考数学创新改革的前沿，捕捉高考考点的微妙变化，并整合到自己的复习实践中来，才能稳操高考数学的胜卷.
（责任编辑：朱善宏）