论文部分内容阅读
【摘要】 理解学生的数学思维，是学习科学的主要特征之一. 教师的教学应该是在理解学生数学思维的基础上而展开的. 论文通过对五年级学生学习循环小数后，教师为促进学生对循环节的深入理解，设计问题以了解学生的思维并通过问题的设置将学生的思维引向深入. 从而达到从熟练到精通的学习效果.
【关键词】 理解学生思维；数学教学；循环小数；案例分析
1. 前 言
新学习科学研究发现，“学生带着有关世界如何运作的前概念来到课堂. 如果他们的初期理解没被卷入其中，那么他们也许不能掌握所教的新概念和信息，否则他们会为了考试的目的而学习它们，但仍会回到课堂之外的前概念. ”也就是说，儿童在进入学校前已经具备了前概念知识（未经正式训练前就形成的数量意识、未经训练的策略等）. 对学生数学思维的理解也是当今国际小学数学教育研究的焦点问题. 卡朋特等在Children’s Mathematics一书中，基于对儿童前概念知识的深入了解，研究出儿童解决数学文字题的思维表现以及常用的几种解决问题的策略. 他们的研究成果也成为美国小学数学教师专业发展的必备文献.
事实上，在进行数学教学的时候，有针对性地提出适合学生思维的问题，甚至在学生理解问题的基础上自己提出问题并解决，这对促进学生对数学问题的深层次理解，对解决问题的方法的本质的发现，从而达到对数学的精通，有着积极的意义. 而教师在了解学生数学思维进行教学的过程中也会有更多的惊喜和发现.
2. 案例分析
循环小数0.275275…小数部分的第100个数字是什么？
问题分析：从知识的层面，问题考查的显然是学生对无限循环小数中循环节的理解；而从解决问题的方法层面，考查的则是整数的除法，包括整除类以及有余数的除法；从对问题所涉及的知识联系层面，考查的是如何在整除以及有余数的除法问题之间，将余数和循环节中某些数字建立联系. 最后层面，也是解决该问题的关键，需要学生具有领悟数学问题本质的初步能力. 这也就是为什么该问题之所以称为培优题的关键所在.
生：100 ÷ 3 = 33…1，答：第100个数字是2.
师：为什么第100个数字就是2呢？
生：因为100除以3余1啊！
点评：学生凭直觉，并建立正确的数学模型，正确地答出问题，说明学生已经正确识别出该无限循环小数是以275为循环节的，所谓的位数，就是要求在275的循环中，刚好落在哪个位置. 但是，在用自己的语言表达自己的思维的时候，依然是模糊的，或者说，在知识联系层面，还没有清楚意识到余数与数位之间的内在联系.
生再次看看问题以及自己的解答，仿佛顿悟一样，大声说出：100 ÷ 3 = 33…1，也就是说，275循环33次，最后还剩一个数，这个数自然就是2了.
点评：这个问题学生已经解决了，并且认识到100位小数中，已经包含了33个275的循环，还剩下一个1，自然就是循环节275的第1位. 但是学生通过本问题的解决，仅仅是了解了余数为1的时候，小数部分的位数为循环节的第1个数. 而且，这种理解仅仅是意会，却没有用明确的数学语言表述出来. 因此，教师进一步提出一个不同的问题：
引申1：循环小数0.275275…小数部分的第200个数字是什么？
生：200 ÷ 3 = 66……2，第200个数字是7.
点评：引申1的问题，刚好符合余数为2的情况. 学生的解答很顺利，也非常正确. 说明学生已经识别了这一类问题的模式，能够熟练运用这种模式解决问题. 但是，问题1和引申1针对的是某个位置与循环节个数之比有余数的情况而言的，如果刚好整除呢？于是教师又提出一个问题：
引申2：循环小数0.275275…小数部分的第300个数字是什么？
生：300 ÷ 3 = 100.
这时，学生陷入了思索，有余数的情况很容易解决，可是，整除的话，如何确定第300位数？
点评：学生之所以出现这种困惑，在于他们依然没有识别余数与循环节中某些数字的内在联系. 然而在经过深入的思考之后，学生猜测出应该是5（也就是循环节275中的最后一位）.
师：为什么呢？你是怎样想的？
生：我是这样想的，275是个3位数，这个3位数扩大100倍就是300位，所以第300位就是5.
多么巧妙的解法！教师不禁为学生这样的想法拍案叫绝！这与教师预想的解释：因为300中包含100个275，所以第300位自然是5了；或者用余数的方法，按照化归的思想进行解释：300中有99个275，还余3位数，所以最后一位数就是275中的最后一位数5. 然而，教师的两种解释都没有学生的思维理解更加简单直观.
3. 结 论
通过刚才的案例分析，可以看出，教师在教学中不必求全求多，而应针对某一问题由浅入深的理解，由具体到抽象的逐步认识，并养成观察归纳的思维、注重问题之间内在联系的反省思维.
【参考文献】
[1]约翰·D·布兰思福特，等. 人是如何学习的——大脑、心理、经验及学校（扩展版）[M].程可拉，等译.上海：华东师范大学出版社，2013.
[2]M·苏珊娜·多诺万，约翰·D·布兰思福特.学生是如何学习的——课堂中的数学[M].史亚娟，译.桂林：广西师范大学出版社，2011.
[3]Carpenter T P，Fennema E，Franke M L.Children’s Mathematics：Cognitively Guided Instruction[M].Portsmouth， NH： Heinemann，1999.
[4]Mathematics Teacher Preparation Content Workshop Program Steering Committee， Mathematical Sciences Education Board， National Research Council. Knowing and Learning Mathematics for Teaching. Washington D C：National Academy Press，2001.
[5]郑姝，陈玲，陈美玲.基于1 ∶ 1课堂环境下的小学数学深度教学的资源设计[J].中国电化教育，2013（3）：88-94.
【关键词】 理解学生思维；数学教学；循环小数；案例分析
1. 前 言
新学习科学研究发现，“学生带着有关世界如何运作的前概念来到课堂. 如果他们的初期理解没被卷入其中，那么他们也许不能掌握所教的新概念和信息，否则他们会为了考试的目的而学习它们，但仍会回到课堂之外的前概念. ”也就是说，儿童在进入学校前已经具备了前概念知识（未经正式训练前就形成的数量意识、未经训练的策略等）. 对学生数学思维的理解也是当今国际小学数学教育研究的焦点问题. 卡朋特等在Children’s Mathematics一书中，基于对儿童前概念知识的深入了解，研究出儿童解决数学文字题的思维表现以及常用的几种解决问题的策略. 他们的研究成果也成为美国小学数学教师专业发展的必备文献.
事实上，在进行数学教学的时候，有针对性地提出适合学生思维的问题，甚至在学生理解问题的基础上自己提出问题并解决，这对促进学生对数学问题的深层次理解，对解决问题的方法的本质的发现，从而达到对数学的精通，有着积极的意义. 而教师在了解学生数学思维进行教学的过程中也会有更多的惊喜和发现.
2. 案例分析
循环小数0.275275…小数部分的第100个数字是什么？
问题分析：从知识的层面，问题考查的显然是学生对无限循环小数中循环节的理解；而从解决问题的方法层面，考查的则是整数的除法，包括整除类以及有余数的除法；从对问题所涉及的知识联系层面，考查的是如何在整除以及有余数的除法问题之间，将余数和循环节中某些数字建立联系. 最后层面，也是解决该问题的关键，需要学生具有领悟数学问题本质的初步能力. 这也就是为什么该问题之所以称为培优题的关键所在.
生：100 ÷ 3 = 33…1，答：第100个数字是2.
师：为什么第100个数字就是2呢？
生：因为100除以3余1啊！
点评：学生凭直觉，并建立正确的数学模型，正确地答出问题，说明学生已经正确识别出该无限循环小数是以275为循环节的，所谓的位数，就是要求在275的循环中，刚好落在哪个位置. 但是，在用自己的语言表达自己的思维的时候，依然是模糊的，或者说，在知识联系层面，还没有清楚意识到余数与数位之间的内在联系.
生再次看看问题以及自己的解答，仿佛顿悟一样，大声说出：100 ÷ 3 = 33…1，也就是说，275循环33次，最后还剩一个数，这个数自然就是2了.
点评：这个问题学生已经解决了，并且认识到100位小数中，已经包含了33个275的循环，还剩下一个1，自然就是循环节275的第1位. 但是学生通过本问题的解决，仅仅是了解了余数为1的时候，小数部分的位数为循环节的第1个数. 而且，这种理解仅仅是意会，却没有用明确的数学语言表述出来. 因此，教师进一步提出一个不同的问题：
引申1：循环小数0.275275…小数部分的第200个数字是什么？
生：200 ÷ 3 = 66……2，第200个数字是7.
点评：引申1的问题，刚好符合余数为2的情况. 学生的解答很顺利，也非常正确. 说明学生已经识别了这一类问题的模式，能够熟练运用这种模式解决问题. 但是，问题1和引申1针对的是某个位置与循环节个数之比有余数的情况而言的，如果刚好整除呢？于是教师又提出一个问题：
引申2：循环小数0.275275…小数部分的第300个数字是什么？
生：300 ÷ 3 = 100.
这时，学生陷入了思索，有余数的情况很容易解决，可是，整除的话，如何确定第300位数？
点评：学生之所以出现这种困惑，在于他们依然没有识别余数与循环节中某些数字的内在联系. 然而在经过深入的思考之后，学生猜测出应该是5（也就是循环节275中的最后一位）.
师：为什么呢？你是怎样想的？
生：我是这样想的，275是个3位数，这个3位数扩大100倍就是300位，所以第300位就是5.
多么巧妙的解法！教师不禁为学生这样的想法拍案叫绝！这与教师预想的解释：因为300中包含100个275，所以第300位自然是5了；或者用余数的方法，按照化归的思想进行解释：300中有99个275，还余3位数，所以最后一位数就是275中的最后一位数5. 然而，教师的两种解释都没有学生的思维理解更加简单直观.
3. 结 论
通过刚才的案例分析，可以看出，教师在教学中不必求全求多，而应针对某一问题由浅入深的理解，由具体到抽象的逐步认识，并养成观察归纳的思维、注重问题之间内在联系的反省思维.
【参考文献】
[1]约翰·D·布兰思福特，等. 人是如何学习的——大脑、心理、经验及学校（扩展版）[M].程可拉，等译.上海：华东师范大学出版社，2013.
[2]M·苏珊娜·多诺万，约翰·D·布兰思福特.学生是如何学习的——课堂中的数学[M].史亚娟，译.桂林：广西师范大学出版社，2011.
[3]Carpenter T P，Fennema E，Franke M L.Children’s Mathematics：Cognitively Guided Instruction[M].Portsmouth， NH： Heinemann，1999.
[4]Mathematics Teacher Preparation Content Workshop Program Steering Committee， Mathematical Sciences Education Board， National Research Council. Knowing and Learning Mathematics for Teaching. Washington D C：National Academy Press，2001.
[5]郑姝，陈玲，陈美玲.基于1 ∶ 1课堂环境下的小学数学深度教学的资源设计[J].中国电化教育，2013（3）：88-94.