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（兰州六十六中学 甘肃 兰州 730000）
【摘 要】文【2】与文【1】之辩论，在“高斯算法”到“倒序相加法”的思维过渡。
《课程标准》对“双基”的要求。第一要获得必要的数学基础知识和基本技能，理解基本的数学概念、数学结论的本质；第二要了解概念、结论产生的背景、应用，通过自主学习、探究活动，体验数学发现和创造的历程；第三要体会其中所蕴涵的数学思想方法及作用。
观点1：从《课程标准》和教材上讲，文【1】观点难免有些偏颇。
观点2：毕氏算法的本质才是“倒序相加法”，而非“高斯算法”。
观点3：文【2】所述“配对求和”的本质就是“集合与对应”的论断是深刻的，体现出数列与函数融合的思想。
观点4：教材的设计可认为是“等差数列前n项和公式推导”的一题两解。
【关键词】高斯算法；倒序相加法；毕氏算法
文【2】与文【1】之辩论，在“高斯算法”到“倒序相加法”的思维过渡。文【1】所述：学生在探究“高斯算法”的算理时兴趣盎然，而由“高斯算法”过渡到“倒序相加法”时，学生都满脸茫然，课堂教学活动成了教师的“独角戏”，其结果是教师硬塞给了学生一个倒序相加的方法。因此，教材的设计存在缺陷。文【2】认为，文【1】的结论是“教教材”、“照本宣科”的结果。于是，在“高斯算法”过渡到“倒序相加法”时，渗透数学思想方法，即分类讨论思想和集合与对应思想，“倒序相加法”就自然生成，从“高斯算法”到“倒序相加法”成为了教学的一个有机整体，一个可操作的有序流程。
孰是孰非？来看《课程标准》对“双基”的要求。第一要获得必要的数学基础知识和基本技能，理解基本的数学概念、数学结论的本质；第二要了解概念、结论产生的背景、应用，要求通过不同形式的自主学习、探究活动，体验数学发现和创造的历程；第三要體会其中所蕴涵的数学思想方法，以及它们在后续学习中的作用。因此，在教材里所呈现出来的数学，就不再是一种现成的，以定论形式呈现的客观对象，而应当是一个可以“做出来”的数学，一个充满探究与交流、猜测与论证的活动过程。学生需要从事的和能够做的数学活动显然不再只是模仿、记忆等，而包括：观察、实验、猜测、验证、推理、交流等有利于其一般发展的活动。
观点1：从《课程标准》和作为数学课程理念的基本物化形式的教材上讲，文【1】观点难免有些偏颇 至于是否是“教教材”、“照本宣科”，不能只看课堂教学的呈现形式，更要了解教师的备课，而这一切又是以其教学思想和数学素养为前提。其中有两点值得我们思考：一是学生已有的经验和技能对问题解决是至关重要的；二是由“高斯算法”到“倒序相加法”，不给学生思考的时间。教学过程铺设得畅通无阻（也可能是表面的），不想有什么地方为难学生，最好是学生一听就懂，一学就会，而如何揭示知识的形成过程和学生思维、能力的培养考虑较少。现代心理学认为，学习过程中缺乏学生的主动参与，课堂上传授的知识与方法就不能在学生的心理上得到应有的认同，也就谈不上同化和顺应，很难在学生的头脑中形成新的认知结构。
以下结合笔者4年前的一次教学实际，有针对性地谈谈。
著名数学家、数学教育家汉斯·弗赖登塔尔指出，数学教育如果脱离了那些丰富而又复杂的背景教材，就将成为“无源之水，无本之木”。为了上好“等差数列前n项和”（人教版，全日制普通高级中学，必修，第一册上）这堂课，笔者查找了一些材料，想从中追寻到10岁高斯的求解经历，无果。却有意外收获，对揭示“倒序相加法”有着重要作用。课堂教学（两课时）摘录。师：今天我们学习等差数列前n项和,请同学们根据课题，自拟一道计算题（从中选出以下三个问题展开）。
问题1 计算1+2+3+…+100=？学生很快得出了正确答案。
问题2 计算1+2+3+…+n=？（从前100项和推广到前n项和）
问题3 等差数列前n 项和Sn=a1+a2+a3 + …+an =？（从特殊到一般）
很久以前，就有一些数学家及爱好者潜心研究此类问题，发现一个有趣的现象，采用一种方法，就使问题迎刃而解。他们是谁？发现了什么？用了什么秘密武器？公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派发现，从1开始，任意多个连续自然数之和构成“三角形数”，如图1，毕氏学派以一点代表1，二点代表2，等等。
图1学生对此赞叹不已，老师不失时机：“毕氏学派会用怎样的方法去解“三角形数”，即问题2？“三角形数”对你解决问题2有怎样的启发？” 此时，学生已处于知识简单积累后的膨发状态，思维正处于联系旧知，探索新知的最佳认知时刻，偶然的一次触动都极有可能带来认知上的质的飞跃。老师则走到学生中去倾听、去观察。发现：大部分学生在尝试用“高斯算法”，期盼能从中有所斩获，并不为教师或教材的意志为转移。
教学中，在探究“高斯算法”到一般情况时，产生了两大矛盾冲突，一是问题的抽象化与学生形象思维的矛盾：前100项的和与前n项的和；正整数数列的和与等差数列的和；一是解题方法的复杂化与学生定势思维的矛盾：不讨论与分类讨论。遇到了三大问题：⑴项数n是多少?⑵ a1+an有多少项？⑶ n是奇数时，中间项是第几项，值是多少？
方法一：分类讨论思想的运用。
如果问题2、3上来就分n为偶数和奇数，并不利于学生接受。要突破教学难点，化解矛盾，应从具体到抽象，在解决问题⑴、⑵、⑶的基础上，逐渐递进。(以问题2为例)
n=6 n=7
1+2+3+4+5+6= 1+2+3+4+5+6+7=
(1+6)+(2+5)+(3+4) (1+7)+(2+6)+(3+5)+4
3项=n2项 3项=n-12 项
= (1+6)x62=21 = (1+7)x72=28,中间项4是第n+12 项
n是偶数 n是奇数
1+2+…+n= 1+2+…+n= (1+n)+［2+(n-1)］+…… (1+n)+［2+(n-1)］+…+1+n2
?项= n2项 ?项= n-12项
= (1+n)n2 = (1+n)n2,中间项1+n2 是第n+12 项
方法二、倒序相加法的运用。
师：那么，2300年以前的毕氏学派是怎样求解三角形数的呢？毕氏算法与高斯算法之间有没有必然的联系？在三角形数旁补一倒立的三角形数，如图2，得到一平行四边形。下来由学生观察得到：平行四边形每行都有n+1个点，共n行，由此易得1+2+…+n= 12n(n+1)。
图2即Sn=1+2+3+…+n
Sn=n+(n-1)+…+1推出2Sn=n(1+n)推出Sn=12n(1+n)
同学们惊呼：“想法真是太棒了！”师：“这都是毕氏学派的智慧和不断实践的结晶啊！”老师称其解题的本质思路就是倒“形”逆“式”。 “倒形”构造了一个新的数列{n-m+1}(m∈N* ，m≤n)； “逆式”是新数列和的必然结果，“两数列前n项和相等”是求和前提。”
学生意犹未尽，“老师，我发现梯形面积的推导和毕氏算法是一样的，也是将一图形倒置后拼接成平行四边形后，借助于平行四边形面积推得梯形面积公式。”“老师，把三角形数看作梯形面积，因为它的上底有1个点，下底有n个点，高有n行，所以 Sn=(1+n)n2。”
师：“说得好！既有知识间的相互聯系，又有形数联想的思考，对公式的记忆、应用很有帮助。”随手画图3，演示梯形面积公式的推导。
图3 “老师，高斯在计算1+2+3+……+100时，是否受到梯形面积公式和毕氏算法的启发？”师：“问题提得好，很具挑战性。土地丈量即面积计算、毕氏算法都远早于高斯生活的年代，前人的经验、方法会对包括高斯、我们在内的一代又一代人产生深刻又长远的影响。同学们不妨上网查询或走进图书馆，来了解一下。”（以下略）
观点2：毕氏算法的本质才是“倒序相加法”，而非“高斯算法” 毕氏算法不仅体现有数形结合的思想方法、逆向思维的思考方式，又自然过渡到等差数列的前n项和公式的推导中来，还具有现实意义——-团队精神：一群人长期醉心于数学研究，他们志同道合，为了定理的证明、概念的形成和问题的求解，唇枪舌战，激烈思辩。一举多得，何乐不为？那么，教材设计为什么不引人毕达哥拉斯学派的算法，而选择高斯算法？
观点3：文【2】所述“配对求和”的本质就是“集合与对应”的论断是深刻的，体现出数列与函数融合的思想 但学生是否理解，笔者持怀疑的观点。一是“集合与对应”的概念，对高一学生来说非常抽象，难以把握。函数就是两个非空数集间的一种特殊对应，它在高中数学概念中是公认的难点之一；二是对应的形式是多对一，一对多，还是一对一？针对问题1+2+3+…+99，按高斯算法“配对求和”：1与99对应，2与98对应，…，49与51对应，那么50与谁对应？以上问题不解决，“倒序相加法”难以自然形成。
观点4：教材的设计可认为是“等差数列前n项和公式推导”的一题两解 事实上，教材为每一位教师的教育教学都提供了广阔的创作空间和施展才华的舞台，对教材的理解也是仁者见仁，智者见智，只要教学科学、合理、有效，什么问题都是可以畅所欲言的。数学教师应该是具有民主素质的教师，拥有独立的人格、自由的思想和敢于直面现实的勇气。思想上要冲破条条框框的束缚，传承“不唯上、不唯书、只唯真”之精神；教学上在深入挖掘过程或背景的基础上，增添能揭示本质的数学发现、数学创造，不仅能激发学生的兴趣，使学生对其思维过程自觉的进行探索，不断地有新的发现，新的体会，从而达到对问题本质的理解，就会取得更好的教学效果。
参考文献
［1］ 陈朝晖 “等差数列的前n项和公式推导”的商榷 数学通报 2007.5
［2］ 陆楷章 是教材设计的缺陷吗 数学通报 2009.1
［3］ 郭思乐 感悟学习的若干思考 课程·教材·教法 2002.1
［4］ 祁 平 文化观下的数学教育的实践与认识 数学通报 2003.1
［5］ 张乃达 做一名反思型的教师 中学数学 2003.1
［6］ 严士健，张奠宙，王尚志 普通高中数学课程标准（实验）解读 2004.4
［7］ 潘 青 浅谈建构观下的课堂例题设计 数学通报 2003.3
［8］ 张乃达 数学教育价值的整合 中学数学 2003.3
［9］ 马 复 认识新课程意义下的数学教材 数学教育学报 2005.1
［10］ 汪晓勤，韩祥临著 中学数学中的数学史 北京：科学出版社2002
【摘 要】文【2】与文【1】之辩论，在“高斯算法”到“倒序相加法”的思维过渡。
《课程标准》对“双基”的要求。第一要获得必要的数学基础知识和基本技能，理解基本的数学概念、数学结论的本质；第二要了解概念、结论产生的背景、应用，通过自主学习、探究活动，体验数学发现和创造的历程；第三要体会其中所蕴涵的数学思想方法及作用。
观点1：从《课程标准》和教材上讲，文【1】观点难免有些偏颇。
观点2：毕氏算法的本质才是“倒序相加法”，而非“高斯算法”。
观点3：文【2】所述“配对求和”的本质就是“集合与对应”的论断是深刻的，体现出数列与函数融合的思想。
观点4：教材的设计可认为是“等差数列前n项和公式推导”的一题两解。
【关键词】高斯算法；倒序相加法；毕氏算法
文【2】与文【1】之辩论，在“高斯算法”到“倒序相加法”的思维过渡。文【1】所述：学生在探究“高斯算法”的算理时兴趣盎然，而由“高斯算法”过渡到“倒序相加法”时，学生都满脸茫然，课堂教学活动成了教师的“独角戏”，其结果是教师硬塞给了学生一个倒序相加的方法。因此，教材的设计存在缺陷。文【2】认为，文【1】的结论是“教教材”、“照本宣科”的结果。于是，在“高斯算法”过渡到“倒序相加法”时，渗透数学思想方法，即分类讨论思想和集合与对应思想，“倒序相加法”就自然生成，从“高斯算法”到“倒序相加法”成为了教学的一个有机整体，一个可操作的有序流程。
孰是孰非？来看《课程标准》对“双基”的要求。第一要获得必要的数学基础知识和基本技能，理解基本的数学概念、数学结论的本质；第二要了解概念、结论产生的背景、应用，要求通过不同形式的自主学习、探究活动，体验数学发现和创造的历程；第三要體会其中所蕴涵的数学思想方法，以及它们在后续学习中的作用。因此，在教材里所呈现出来的数学，就不再是一种现成的，以定论形式呈现的客观对象，而应当是一个可以“做出来”的数学，一个充满探究与交流、猜测与论证的活动过程。学生需要从事的和能够做的数学活动显然不再只是模仿、记忆等，而包括：观察、实验、猜测、验证、推理、交流等有利于其一般发展的活动。
观点1：从《课程标准》和作为数学课程理念的基本物化形式的教材上讲，文【1】观点难免有些偏颇 至于是否是“教教材”、“照本宣科”，不能只看课堂教学的呈现形式，更要了解教师的备课，而这一切又是以其教学思想和数学素养为前提。其中有两点值得我们思考：一是学生已有的经验和技能对问题解决是至关重要的；二是由“高斯算法”到“倒序相加法”，不给学生思考的时间。教学过程铺设得畅通无阻（也可能是表面的），不想有什么地方为难学生，最好是学生一听就懂，一学就会，而如何揭示知识的形成过程和学生思维、能力的培养考虑较少。现代心理学认为，学习过程中缺乏学生的主动参与，课堂上传授的知识与方法就不能在学生的心理上得到应有的认同，也就谈不上同化和顺应，很难在学生的头脑中形成新的认知结构。
以下结合笔者4年前的一次教学实际，有针对性地谈谈。
著名数学家、数学教育家汉斯·弗赖登塔尔指出，数学教育如果脱离了那些丰富而又复杂的背景教材，就将成为“无源之水，无本之木”。为了上好“等差数列前n项和”（人教版，全日制普通高级中学，必修，第一册上）这堂课，笔者查找了一些材料，想从中追寻到10岁高斯的求解经历，无果。却有意外收获，对揭示“倒序相加法”有着重要作用。课堂教学（两课时）摘录。师：今天我们学习等差数列前n项和,请同学们根据课题，自拟一道计算题（从中选出以下三个问题展开）。
问题1 计算1+2+3+…+100=？学生很快得出了正确答案。
问题2 计算1+2+3+…+n=？（从前100项和推广到前n项和）
问题3 等差数列前n 项和Sn=a1+a2+a3 + …+an =？（从特殊到一般）
很久以前，就有一些数学家及爱好者潜心研究此类问题，发现一个有趣的现象，采用一种方法，就使问题迎刃而解。他们是谁？发现了什么？用了什么秘密武器？公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派发现，从1开始，任意多个连续自然数之和构成“三角形数”，如图1，毕氏学派以一点代表1，二点代表2，等等。
图1学生对此赞叹不已，老师不失时机：“毕氏学派会用怎样的方法去解“三角形数”，即问题2？“三角形数”对你解决问题2有怎样的启发？” 此时，学生已处于知识简单积累后的膨发状态，思维正处于联系旧知，探索新知的最佳认知时刻，偶然的一次触动都极有可能带来认知上的质的飞跃。老师则走到学生中去倾听、去观察。发现：大部分学生在尝试用“高斯算法”，期盼能从中有所斩获，并不为教师或教材的意志为转移。
教学中，在探究“高斯算法”到一般情况时，产生了两大矛盾冲突，一是问题的抽象化与学生形象思维的矛盾：前100项的和与前n项的和；正整数数列的和与等差数列的和；一是解题方法的复杂化与学生定势思维的矛盾：不讨论与分类讨论。遇到了三大问题：⑴项数n是多少?⑵ a1+an有多少项？⑶ n是奇数时，中间项是第几项，值是多少？
方法一：分类讨论思想的运用。
如果问题2、3上来就分n为偶数和奇数，并不利于学生接受。要突破教学难点，化解矛盾，应从具体到抽象，在解决问题⑴、⑵、⑶的基础上，逐渐递进。(以问题2为例)
n=6 n=7
1+2+3+4+5+6= 1+2+3+4+5+6+7=
(1+6)+(2+5)+(3+4) (1+7)+(2+6)+(3+5)+4
3项=n2项 3项=n-12 项
= (1+6)x62=21 = (1+7)x72=28,中间项4是第n+12 项
n是偶数 n是奇数
1+2+…+n= 1+2+…+n= (1+n)+［2+(n-1)］+…… (1+n)+［2+(n-1)］+…+1+n2
?项= n2项 ?项= n-12项
= (1+n)n2 = (1+n)n2,中间项1+n2 是第n+12 项
方法二、倒序相加法的运用。
师：那么，2300年以前的毕氏学派是怎样求解三角形数的呢？毕氏算法与高斯算法之间有没有必然的联系？在三角形数旁补一倒立的三角形数，如图2，得到一平行四边形。下来由学生观察得到：平行四边形每行都有n+1个点，共n行，由此易得1+2+…+n= 12n(n+1)。
图2即Sn=1+2+3+…+n
Sn=n+(n-1)+…+1推出2Sn=n(1+n)推出Sn=12n(1+n)
同学们惊呼：“想法真是太棒了！”师：“这都是毕氏学派的智慧和不断实践的结晶啊！”老师称其解题的本质思路就是倒“形”逆“式”。 “倒形”构造了一个新的数列{n-m+1}(m∈N* ，m≤n)； “逆式”是新数列和的必然结果，“两数列前n项和相等”是求和前提。”
学生意犹未尽，“老师，我发现梯形面积的推导和毕氏算法是一样的，也是将一图形倒置后拼接成平行四边形后，借助于平行四边形面积推得梯形面积公式。”“老师，把三角形数看作梯形面积，因为它的上底有1个点，下底有n个点，高有n行，所以 Sn=(1+n)n2。”
师：“说得好！既有知识间的相互聯系，又有形数联想的思考，对公式的记忆、应用很有帮助。”随手画图3，演示梯形面积公式的推导。
图3 “老师，高斯在计算1+2+3+……+100时，是否受到梯形面积公式和毕氏算法的启发？”师：“问题提得好，很具挑战性。土地丈量即面积计算、毕氏算法都远早于高斯生活的年代，前人的经验、方法会对包括高斯、我们在内的一代又一代人产生深刻又长远的影响。同学们不妨上网查询或走进图书馆，来了解一下。”（以下略）
观点2：毕氏算法的本质才是“倒序相加法”，而非“高斯算法” 毕氏算法不仅体现有数形结合的思想方法、逆向思维的思考方式，又自然过渡到等差数列的前n项和公式的推导中来，还具有现实意义——-团队精神：一群人长期醉心于数学研究，他们志同道合，为了定理的证明、概念的形成和问题的求解，唇枪舌战，激烈思辩。一举多得，何乐不为？那么，教材设计为什么不引人毕达哥拉斯学派的算法，而选择高斯算法？
观点3：文【2】所述“配对求和”的本质就是“集合与对应”的论断是深刻的，体现出数列与函数融合的思想 但学生是否理解，笔者持怀疑的观点。一是“集合与对应”的概念，对高一学生来说非常抽象，难以把握。函数就是两个非空数集间的一种特殊对应，它在高中数学概念中是公认的难点之一；二是对应的形式是多对一，一对多，还是一对一？针对问题1+2+3+…+99，按高斯算法“配对求和”：1与99对应，2与98对应，…，49与51对应，那么50与谁对应？以上问题不解决，“倒序相加法”难以自然形成。
观点4：教材的设计可认为是“等差数列前n项和公式推导”的一题两解 事实上，教材为每一位教师的教育教学都提供了广阔的创作空间和施展才华的舞台，对教材的理解也是仁者见仁，智者见智，只要教学科学、合理、有效，什么问题都是可以畅所欲言的。数学教师应该是具有民主素质的教师，拥有独立的人格、自由的思想和敢于直面现实的勇气。思想上要冲破条条框框的束缚，传承“不唯上、不唯书、只唯真”之精神；教学上在深入挖掘过程或背景的基础上，增添能揭示本质的数学发现、数学创造，不仅能激发学生的兴趣，使学生对其思维过程自觉的进行探索，不断地有新的发现，新的体会，从而达到对问题本质的理解，就会取得更好的教学效果。
参考文献
［1］ 陈朝晖 “等差数列的前n项和公式推导”的商榷 数学通报 2007.5
［2］ 陆楷章 是教材设计的缺陷吗 数学通报 2009.1
［3］ 郭思乐 感悟学习的若干思考 课程·教材·教法 2002.1
［4］ 祁 平 文化观下的数学教育的实践与认识 数学通报 2003.1
［5］ 张乃达 做一名反思型的教师 中学数学 2003.1
［6］ 严士健，张奠宙，王尚志 普通高中数学课程标准（实验）解读 2004.4
［7］ 潘 青 浅谈建构观下的课堂例题设计 数学通报 2003.3
［8］ 张乃达 数学教育价值的整合 中学数学 2003.3
［9］ 马 复 认识新课程意义下的数学教材 数学教育学报 2005.1
［10］ 汪晓勤，韩祥临著 中学数学中的数学史 北京：科学出版社2002