一道含绝对值的无理方程根问题的解法探究

• 作 者: 刘胜林
• 出 处: 数理化学习·高一二版
• 发表日期: 2014年5期
• 关键词: 绝对值 方程根 学生 思维能力 数学素养 高考试题 取值范围 解决问题 分布 切入点 题目 视角 实数 实根 检测 读者 程度

　　题目：已知关于x的方程|x-k|=212kx在区间[k-1，k+1]上有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是.
　　本题以方程为依托，将绝对值、无理式、根的分布有机结合，编拟出一道含绝对值的无理方程根的分布问题，全面检测学生的数学素养和思维能力，是各类赛题和高考试题的热点，同时由于该类试题的综合性强、复杂程度大，学生往往不知从何下手，不能很好的找到解决问题的切入点和突破口，因而也成为难点.本文将从不同的视角入手分析进而给出本题的三种不同解答，以飨读者.
　　视角1：注意到方程式中含有绝对值和无理式，于是可对x进行分类讨论进而去其绝对值符号，而后利用代数换元将问题转化到一元二次方程根的分布上来求解.
　　解法1：依题可知：k≥0.又k=0时原方程为|x|=0，此时方程有且仅有一根x=0不合题意，故k>0.①当k>x≥0时，原方程可化为k-x=212kx，令t=x，则k>t≥0，t2+212kt-k=0.记f （t）=t2+212kt-k，则t0=-214k<0，f （0）=
　　-k<0，f （k）=212kk>0，于是由函数f （t）图象可知：在区间t∈[0，k）上方程f （t）=0有且仅有一根，即方程|x-t|=212kx在区间x∈[k-1，k]上有且仅有一根.又方程|x-t|=212kx在区间[k-1，k+1]上有两个不相等的实根，所以方程
　　|x-t|=212kx在区间（k，k+1]上有且仅有一根.②当k+1≥x>k时，原方程可化为x-k=212kx，令t=x，则关于t的方程t2-212kt-k=0在k0，所以1≥k>0.
　　视角2：方程|x-t|=212kx在区间[k-1，k+1]上有两个不相等的实根等价于函数h（x）=|x-k|与r（x）=212kx在区间[k-1，k+1]上的图象有且仅有两个不同交点.为此可借助函数h（x）、r（x）的图象数形结合分析求解.
　　图1解法2：依题可知k>0（理由同上），记h（x）=|x-k|，r（x）=212kx，则方程|x-t|=212kx在区间[k-1，k+1]上有两个不相等的实根等价于函数h（x）=|x-k|与r（x）=212kx的图象在区间[k-1，k+1]上有且仅有两个不同交点，于是由图1可知：要使函数h（x）与r（x）的图象在区间[ k-1，k+1]上有且仅有两个不同交点，当且仅当h（k+1）≥r（k+1），即1≥212kk+1，化简整理得k3+k2-2≤0，即（k-1）（k2+2k+2）≤0，解得k≤1.又k>0，所以1≥k>0.
　　视角3：方程|x-t|=212kx在区间[k-1，k+1]上有两个不相等的实根，即方程|x-k|-212kx=0在区间[k-1，k+1]上有两个不相等的实根，等价于函数H（x）=|x-k|-212kx在区间[k-1，k+1]上有两个不同零点.于是根据函数解析式，借助导数工具通过分类讨论探究函数H（x）图象的变化及其性质，进而确定使得函数H（x）在区间[k-1，k+1]上有两个不同零点的限制条件，最后求解限制条件.
　　解法3：易知：方程|x-t|=212kx在区间[k-1，k+1]上有两个不相等的实根，即方程|x-k|-212kx=0在区间[k-1，k+1]上有两个不相等的实根，等价于函数H（x）=|x-k|-212kx在区间[k-1，k+1]上有两个零点.又依题可知k>0（理由同上），于是：