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去年的一次教研课上，我校的一位中年教师犯了一个科学性错误，课后，笔者向她指了出来。无独有偶，前些时，在扬州市每年一度的"百堂好课竞赛"活动中，一位教师犯下了同样的错误（估计这位执教者到现在还没觉察到）。我想：这么大型的教学观摩活动都有人犯这样的错误，可见，此类错误的发生不在少数。为此，笔者感到有必要将它指出来，让那些至今还不知错的教师认识到这一点，好在今后的教学中注意。
一、再现课堂：
教学的内容是四年级上册第56页上（课标苏教版）加法的交换律和结合律（教材如下）。课始，教者引导学生直奔主题，在学生列出"28 17"和"17 28"，求出两个算式的结果相等，可以用等号连接后，问：像这样的等式你能不能再说出几个？一会儿，学生说出了许多。如："7 8=8 7"、"12 16=16 12"（生说师板书）……接着教者引导学生观察所举出的式子，问：这些算式有什么相同的地方，有什么不同的地方，然后归纳出运算定律。
二、所犯错误
以上的教学程序，粗一看，好像没什么不足或过错；细一想，教者却犯了"循环论证"和与"不完全归纳法"相悖的两个科学性的错误。
我们知道，教、学加法的交换律和结合律并不难，尤其是加法的交换律，学生在一、二年级时就已经用过，用它来验证加法计算的结果是否正确。只不过当时没向学生挑明这是什么律而已，但学生确实有这方面的经验，知道了它的存在。所以，本节课的主要任务是使学生认识其规律的正确性。怎样教才能达到这一目的？就小学生来说，唯一正确的方法是运用不完全归纳加以"证明"，即从众多的实例中归纳出一般规律。而本节课的教学，当学生得到"28 17=17 28"后，教者便让学生按规律接下去再说几个这样的等式，违反了不完全归纳法的推理过程，犯了下以特例代表普遍的错误；而且是在让学生运用这一规律去证明规律存在的正确性，又犯了"循环论证"的错误。
三、列举理由
课后，如果有人指出他的错误，他有可能列举出以下一点或几点理由：
1、教科书里不是也只举了一个事例吗？
2、别人也是这样教的，我教了这么多年，也没人说过。
3、前人总结出来的"公理"，只要学生知道了就行，何必在这上面浪费时间？
4、在这上面瞎折腾，还不如出几题让学生练练"实惠"。
四、对比说道
1、教材是举了一个例题后就进行归纳，而教者不能这样教。这是因为除了说教材受教材版面的限制外，还有一点就是教师有充实、整合教材的义务，应该对教材不齐全处进行适当的扩展，使之更加完善、科学。
2、虽然那么多的教师都这样教，这么多年来你这样教都没人说个"不"字，但不等于这样教是科学的；就因为不少的人都这样教，习以为常了，所以不被大家所广泛的重视，只重视教法的翻新。这与谬论流传久了，又得不到人们的制止、纠正，往往被人们认为是真理的如同一辙。我想：为什么有那么多的人犯同样一个错误？因为他们被假象迷惑了！即学生举出了许多的实例，好像也符合不完全归纳的推理过程，其实不然（究竟怎样处理，下文有介绍）。
3、前人总结出来的公式、定律、定理等当然不可能错，如果直接将结果教给学生，学生也能掌握，但其中的所以然，学生说不清，道不明，而且，由于不是学生亲身经历探索过程得到的，学生很容易遗忘。
4、的确，在被前人已证明是正确的前提下，多耗时间是得不到暂时的"实惠"，有时显得还有点多余。但教师如能长期坚持，却能使学生的能力得以不断提高，学习的后力不断增强，使学生得到永久的实惠。
五、深究危害
根据以上情况，我可以武断地说，上文那位教师的教学，不利于学生健康成长，容易使学生产生这样的错觉——证明某一个问题（论点）的对错，只要举一个例子，这个例子能说明是对的，整个说法就全都正确，否则，全部都是错的。如判断"两个数的积总比两个数的和大"是否正确，学生只要举出"3×4>3 4"例子，就可以说那种说法就正确了。可见，这样的教学给学生带来的负面影响有多大！
六、提出建议
1、编者在编写教材时，受篇幅的限制，不可能罗列出更多的事例来加以说明，需要我们做教师的在教学时加以补充，使教材更趋于合理。
2、教者要根据具体的内容要求，设计出既符合教材特点，又有利于学生掌握的教学方案。如教学（二年级下册第3页，题右）余数要比除数小，要让学生多举例、多说理、多思考。教学时可以让学生这样想：如果商写"1"，那么余数就变成了"4"，这说明了什么（剩下的桃还可以再放一盘，不符题意）？要让学生多次领悟余数要比除数小的道理；四年级加法的交换律（上文举的课例），例题讲完之后，可以让学生再举多个交换因数的位置的两个算式，如："7 8"与"8 7"、"12 16"与"16 12"等，口算出它们的结果，发现确实相等后，再用等号连接，然后在众多实例的基础上归纳，而不能让学生直接说出"7 8=8 7"和"12 16=16 12"……这样的等式；六年级下册第29页圆锥体积公式的推导，教者课前要多准备几套等底等高的圆柱和圆锥体（最好每套大小不一样），在教师操作后，各小组学生操作验证，让学生多动手，从动手中亲身体验圆锥的体积等于与它等底等高的圆柱体积的三分之一。总之，要让学生感到，我们所要得到的结果，是普遍存在的，是完全正确的。
一、再现课堂：
教学的内容是四年级上册第56页上（课标苏教版）加法的交换律和结合律（教材如下）。课始，教者引导学生直奔主题，在学生列出"28 17"和"17 28"，求出两个算式的结果相等，可以用等号连接后，问：像这样的等式你能不能再说出几个？一会儿，学生说出了许多。如："7 8=8 7"、"12 16=16 12"（生说师板书）……接着教者引导学生观察所举出的式子，问：这些算式有什么相同的地方，有什么不同的地方，然后归纳出运算定律。
二、所犯错误
以上的教学程序，粗一看，好像没什么不足或过错；细一想，教者却犯了"循环论证"和与"不完全归纳法"相悖的两个科学性的错误。
我们知道，教、学加法的交换律和结合律并不难，尤其是加法的交换律，学生在一、二年级时就已经用过，用它来验证加法计算的结果是否正确。只不过当时没向学生挑明这是什么律而已，但学生确实有这方面的经验，知道了它的存在。所以，本节课的主要任务是使学生认识其规律的正确性。怎样教才能达到这一目的？就小学生来说，唯一正确的方法是运用不完全归纳加以"证明"，即从众多的实例中归纳出一般规律。而本节课的教学，当学生得到"28 17=17 28"后，教者便让学生按规律接下去再说几个这样的等式，违反了不完全归纳法的推理过程，犯了下以特例代表普遍的错误；而且是在让学生运用这一规律去证明规律存在的正确性，又犯了"循环论证"的错误。
三、列举理由
课后，如果有人指出他的错误，他有可能列举出以下一点或几点理由：
1、教科书里不是也只举了一个事例吗？
2、别人也是这样教的，我教了这么多年，也没人说过。
3、前人总结出来的"公理"，只要学生知道了就行，何必在这上面浪费时间？
4、在这上面瞎折腾，还不如出几题让学生练练"实惠"。
四、对比说道
1、教材是举了一个例题后就进行归纳，而教者不能这样教。这是因为除了说教材受教材版面的限制外，还有一点就是教师有充实、整合教材的义务，应该对教材不齐全处进行适当的扩展，使之更加完善、科学。
2、虽然那么多的教师都这样教，这么多年来你这样教都没人说个"不"字，但不等于这样教是科学的；就因为不少的人都这样教，习以为常了，所以不被大家所广泛的重视，只重视教法的翻新。这与谬论流传久了，又得不到人们的制止、纠正，往往被人们认为是真理的如同一辙。我想：为什么有那么多的人犯同样一个错误？因为他们被假象迷惑了！即学生举出了许多的实例，好像也符合不完全归纳的推理过程，其实不然（究竟怎样处理，下文有介绍）。
3、前人总结出来的公式、定律、定理等当然不可能错，如果直接将结果教给学生，学生也能掌握，但其中的所以然，学生说不清，道不明，而且，由于不是学生亲身经历探索过程得到的，学生很容易遗忘。
4、的确，在被前人已证明是正确的前提下，多耗时间是得不到暂时的"实惠"，有时显得还有点多余。但教师如能长期坚持，却能使学生的能力得以不断提高，学习的后力不断增强，使学生得到永久的实惠。
五、深究危害
根据以上情况，我可以武断地说，上文那位教师的教学，不利于学生健康成长，容易使学生产生这样的错觉——证明某一个问题（论点）的对错，只要举一个例子，这个例子能说明是对的，整个说法就全都正确，否则，全部都是错的。如判断"两个数的积总比两个数的和大"是否正确，学生只要举出"3×4>3 4"例子，就可以说那种说法就正确了。可见，这样的教学给学生带来的负面影响有多大！
六、提出建议
1、编者在编写教材时，受篇幅的限制，不可能罗列出更多的事例来加以说明，需要我们做教师的在教学时加以补充，使教材更趋于合理。
2、教者要根据具体的内容要求，设计出既符合教材特点，又有利于学生掌握的教学方案。如教学（二年级下册第3页，题右）余数要比除数小，要让学生多举例、多说理、多思考。教学时可以让学生这样想：如果商写"1"，那么余数就变成了"4"，这说明了什么（剩下的桃还可以再放一盘，不符题意）？要让学生多次领悟余数要比除数小的道理；四年级加法的交换律（上文举的课例），例题讲完之后，可以让学生再举多个交换因数的位置的两个算式，如："7 8"与"8 7"、"12 16"与"16 12"等，口算出它们的结果，发现确实相等后，再用等号连接，然后在众多实例的基础上归纳，而不能让学生直接说出"7 8=8 7"和"12 16=16 12"……这样的等式；六年级下册第29页圆锥体积公式的推导，教者课前要多准备几套等底等高的圆柱和圆锥体（最好每套大小不一样），在教师操作后，各小组学生操作验证，让学生多动手，从动手中亲身体验圆锥的体积等于与它等底等高的圆柱体积的三分之一。总之，要让学生感到，我们所要得到的结果，是普遍存在的，是完全正确的。