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[摘 要]分数的意义和性质比较抽象，学生理解起来比较困难。教学时，应充分整合课本情境、调动学生的生活经验、运用几何直观手段，为学生架设一座思维桥梁，从而促进学生通过操作、观察、猜测、归纳、概括等活动有效探究分数产生的背景、分数的意义、分数与除法的关系以及分数的基本性质。
[关键词]几何直观;抽象思维; 分数意义; 分数性质
[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2019）05-0033-02
数学课程标准指出“在数学课程中，应当注重发展学生的数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力和模型思想”，同时认为“几何直观就是利用图形描述和分析问题，借助几何直观可以使复杂的数学问题变得简明、形象”。几何直观不仅在“图形与几何”领域中广泛运用，而且在“数与代数”“统计与概率”“综合与实践”三个领域中也有着重要的教学实践意义。
人教版教材五年级下册安排了“分数的意义和性质”的内容，要求学生能了解分数的产生，理解分数的意义，明确分数与除法的关系，认识真分数和假分数，能把假分数转化成带分数或整数;探究与掌握分数的基本性质，会比较分数的大小。这个单元创设了丰富直观的情境，要求教师能充分利用图形直观与数形结合揭示分数概念的几何内涵，从而有效培养和发展学生的几何直观能力。在教学本单元时，我借助几何直观为学生架设了一座思维桥梁。
一、借助几何直观，揭示分数的现实背景
“分数的产生”的内容往往被教师视为可有可无，大多只关注到教材中的一句小结：“在进行测量、分物或者计算时，往往不能正好得到整数的结果，这时常用分数来表示。”对此，为了更好地揭示分数的产生背景，我课前制作了直观教具——测量长度的绳结，及通过网络收集雄伟壮丽的埃及金字塔图片，课始通过大屏幕呈现图片，然后进行讲述：“据资料记载，古埃及的胡夫金字塔高 146.59米，相当于40层楼高，它在巴黎埃菲尔铁塔（1889年建成，塔高312.5米）修建之前，是世界上最高的建筑物。胡夫金字塔占地80亩，塔底呈正方形，边长230多米，周长约1千米。全塔用230多万块大小不同的巨石砌成，总体积为250万立方米。平均每块石头重2.5吨，最重的一块约160吨。”接着提问：“那时的埃及人还没有我们今天的尺子、卷尺等测量工具，他们是怎样测量这些大小不同的巨石的呢？”我引导学生观察课本的主题图，讨论：绳结的长度一定，巨石大小不一时，会得到什么样的测量数据？最后，我拿出自制的绳结，让学生动手量一量黑板的长度。
上述教学中，我利用绳结创设测量情境，引导学生观察、讨论、操作，直观形象地揭示了“测量物体得不到整数结果时，就可以用等分一个单位长度的方法再测量”的现实背景——产生分数，让学生在几何直观操作中有效感知：分数是人们在生产生活的实际需要中自然产生的。引出分数概念后，再让学生讨论课本情境中分蛋糕、分月饼的方法与结果，使学生通过具体事例初步抽象出分数与除法的关系。
二、借助几何直观，探究分数的意义
揭示分数的生活与生产背景并不是本单元教学的终极目标。促进学生对分数意义的理解才是本单元教学的最终目标，同时也是运用图形、图式这一几何直观教学手段的又一价值所在。
教材在“分数的意义”一节中展示了一张圆形纸片、一张正方形纸片、一条线段这三个单位“1”，同时呈现了一把香蕉（4根）、一盘面包（8个）两个实物情境，我在教学时先让学生静心观察三个单位“1”的直观几何图形，然后说一说这三个图形中的阴影部分各表示什么。在三年级上学期，学生已借助动手操作、几何直观，初步认识了分数，理解了“平均分”“其中的一份”“几份”等概念，因此学生都能说出“把一个圆平均分成四份，阴影部分占其中的一份”“把一个正方形平均分成四份，阴影部分占其中的一份”“把一条线段平均分成四段，一段占其中的一份”。随后，我再让学生观察两个实物情境，并讨论：1根香蕉是这一把香蕉的几分之几？2块面包是这一盘面包的几分之几？让学生同桌互议。紧接着，我面露困惑地设疑：“1根香蕉是四分之一，2块面包也是四分之一，为什么它们都可以用四分之一表示呢？”一部分学生很不屑地指着实物图抢着发言：“因为一个是把4根香蕉平均分了的四分之一，一个是把8块面包平均分了的四分之一呗！”我进一步诱导着学生钻“圈套”：“是这样吗？那么上面的一个圆、一个正方形、一条线段中的一部分，也都是四分之一，它们是一回事呀？”学生纷纷举手发言：“它们分的东西不同，但平均分的份数是一样的！”在层层设疑之后，我一步步引导学生借助几何直观和形象思维实现对单位“1”的理解，并探究出如下三个描述性定义。
第一，像一把香蕉、一盘面包、一張纸、一条线段，这样一个物体、一些物体等都可以看作一个整体，把这个整体平均分成若干份，这样的一份或几份都可以用分数表示。
第二，一个整体可以用自然数1来表示， 我们可以把它叫作单位“1”。
第三，把单位“1”平均分成若干份，表示其中的一份的分数叫作分数单位。
学生在几何直观的启发下，进行了自主而有效的探究。他们认为，课本第62页中“表示其中的一份的数叫作分数单位。”这句话中的“数”表达不太明确，将其改为“分数”会更清楚一些，如“表示其中的一份的分数叫作分数单位。”虽然学生的这种表述没有课本上对分数的描述严密，但是他们这种朴素的逻辑推理经历与过程，却是几何直观下绽放的思维火花。
三、借助几何直观，抽象出分数与除法的关系
题目：1千克葡萄干平均装在2个袋子里，每袋重多少千克？平均装在3个袋子里呢？
解：2÷1=2（千克）
3÷1=3（千克）
答：平均装在2个袋子里，每袋重2千克;平均装在3个袋子里，每袋装3千克。 这道题是学生在学习“分数与除法”后的作业。从作业反馈中可以看出，学生在学习新知“单位1”时，与旧知“平均分”发生了负迁移，没有弄清“把单位‘1’平均分”与“一个数占另一个数的几分之几”的联系与区别，模糊了被除数与除数的关系。
数论对分数有这样的描述：①原有量的单位或数的单位能转换成比“1”更小的单位，于是有分数定义：把单位一（或整体“1”）平均分成若干份，表示其中的一份或几份的数是分数;②可以以“1”为单位重新定义一个与原有量同单位的其他量，并用分数表示，这个分数也常常被称为那个其他量的对应分率。
数论的这段描述实质上把分数的來源做了分类，通常把①产生分数的方法称为切分法，把②产生分数的方法称为量比法。
切分法中的单位“1”处于分子位置，通常应用此意义求平均数， “把单位‘1’平均分”表达的就是这个意思。量比法中的单位“1”处于分母位置，是将“1”平均分的总份数作为分母， “一个数占另一个数的几分之几”表达的就是这个意思。
经过这样一番思考后，我觉得学生存在的认知误区还是在单位“1”。对此，我借助“分数与除法”中例1、例2的情境图，重点让学生边观察图形边思考：哪个量是单位“1”？平均分哪个量？要求平均分应该怎样列式？在观察与思考后，学生这样描述分数与除法的关系：将单位“1”平均分或是几个几个地分，在“平均分”与“几个几个地分”中单位“1”的量就是被除数，当商不是整数时，可以用分数很方便地表示，其中除数做分母，被除数做分子。
此时再让学生回过头去检查作业，学生恍然大悟，正确列出算式：
1÷2 =[12]（千克）
1÷3=[13]（千克）
最后，我安排几道变式练习题让学生完成，以加强知识的巩固与运用。
四、借助几何直观，概括归纳分数的性质
借助几何直观可生动形象地描述数学问题，直观地反映分析问题的思路，这也是生成数学概念、探究数学算理、推导数学性质的有效渠道。数学家克莱因指出：“数学不是依靠在逻辑上，而是依靠在正确的直观上，数学的直观就是对概念、证明的直接把握。”对此，在本单元的教学中，教师可借助几何直观，引导学生概括归纳分数的性质。
例如，在教学“分数的基本性质”前，我让学生准备好学具——圆（透明塑料片）。上课时，我预设了操作、观察、思考三个教学环节。
1.操作。
玩一玩：可以找到哪些分数？
比一比：哪些分数表示的数量大小是一样的？
画一画：将3条等长的线段分别平均分成2段、4段和8段。
2.观察。
引导观察：分别取它们的 [12]、[24]、[48]，想一想这三个分数表示的线段之间有什么关系？
3.思考。
请男生从左往右观察[12]、[24]、[48]这三个分数的分子与分母，看看它们发生了怎样的变化。
请女生从右往左观察[12]、[24]、[48]这三个分数的分子与分母，看看它们发生了怎样的变化。
再请男生和女生分别推选出代表，用自己喜欢的方法运用线条、符号、数字把观察结果与发现在黑板上表达出来。
最后请学生议一议：你能把这节课的观察与发现用一句话总结出来吗？
通过动手操作、直观观察、分析思考，学生惊喜地发现：[12=][24]=[48]。
就这样，分数的基本性质在学生的直观感悟中自然而然地生成了。
孔凡哲教授与史宁中教授均认为，几何直观具体表现为四种形式，即实物直观、简约符号直观、图形直观和替代物直观。本单元的教学中，我整合课本情境、调动学生的生活经验、运用几何直观手段为学生架设起从直观形象思维向抽象逻辑思维过渡的桥梁，促进学生在操作、观察、猜测、归纳、概括等活动中掌握分数产生的背景、分数的意义、分数与除法的关系以及分数的基本性质。
（责编 黄春香）
[关键词]几何直观;抽象思维; 分数意义; 分数性质
[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2019）05-0033-02
数学课程标准指出“在数学课程中，应当注重发展学生的数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力和模型思想”，同时认为“几何直观就是利用图形描述和分析问题，借助几何直观可以使复杂的数学问题变得简明、形象”。几何直观不仅在“图形与几何”领域中广泛运用，而且在“数与代数”“统计与概率”“综合与实践”三个领域中也有着重要的教学实践意义。
人教版教材五年级下册安排了“分数的意义和性质”的内容，要求学生能了解分数的产生，理解分数的意义，明确分数与除法的关系，认识真分数和假分数，能把假分数转化成带分数或整数;探究与掌握分数的基本性质，会比较分数的大小。这个单元创设了丰富直观的情境，要求教师能充分利用图形直观与数形结合揭示分数概念的几何内涵，从而有效培养和发展学生的几何直观能力。在教学本单元时，我借助几何直观为学生架设了一座思维桥梁。
一、借助几何直观，揭示分数的现实背景
“分数的产生”的内容往往被教师视为可有可无，大多只关注到教材中的一句小结：“在进行测量、分物或者计算时，往往不能正好得到整数的结果，这时常用分数来表示。”对此，为了更好地揭示分数的产生背景，我课前制作了直观教具——测量长度的绳结，及通过网络收集雄伟壮丽的埃及金字塔图片，课始通过大屏幕呈现图片，然后进行讲述：“据资料记载，古埃及的胡夫金字塔高 146.59米，相当于40层楼高，它在巴黎埃菲尔铁塔（1889年建成，塔高312.5米）修建之前，是世界上最高的建筑物。胡夫金字塔占地80亩，塔底呈正方形，边长230多米，周长约1千米。全塔用230多万块大小不同的巨石砌成，总体积为250万立方米。平均每块石头重2.5吨，最重的一块约160吨。”接着提问：“那时的埃及人还没有我们今天的尺子、卷尺等测量工具，他们是怎样测量这些大小不同的巨石的呢？”我引导学生观察课本的主题图，讨论：绳结的长度一定，巨石大小不一时，会得到什么样的测量数据？最后，我拿出自制的绳结，让学生动手量一量黑板的长度。
上述教学中，我利用绳结创设测量情境，引导学生观察、讨论、操作，直观形象地揭示了“测量物体得不到整数结果时，就可以用等分一个单位长度的方法再测量”的现实背景——产生分数，让学生在几何直观操作中有效感知：分数是人们在生产生活的实际需要中自然产生的。引出分数概念后，再让学生讨论课本情境中分蛋糕、分月饼的方法与结果，使学生通过具体事例初步抽象出分数与除法的关系。
二、借助几何直观，探究分数的意义
揭示分数的生活与生产背景并不是本单元教学的终极目标。促进学生对分数意义的理解才是本单元教学的最终目标，同时也是运用图形、图式这一几何直观教学手段的又一价值所在。
教材在“分数的意义”一节中展示了一张圆形纸片、一张正方形纸片、一条线段这三个单位“1”，同时呈现了一把香蕉（4根）、一盘面包（8个）两个实物情境，我在教学时先让学生静心观察三个单位“1”的直观几何图形，然后说一说这三个图形中的阴影部分各表示什么。在三年级上学期，学生已借助动手操作、几何直观，初步认识了分数，理解了“平均分”“其中的一份”“几份”等概念，因此学生都能说出“把一个圆平均分成四份，阴影部分占其中的一份”“把一个正方形平均分成四份，阴影部分占其中的一份”“把一条线段平均分成四段，一段占其中的一份”。随后，我再让学生观察两个实物情境，并讨论：1根香蕉是这一把香蕉的几分之几？2块面包是这一盘面包的几分之几？让学生同桌互议。紧接着，我面露困惑地设疑：“1根香蕉是四分之一，2块面包也是四分之一，为什么它们都可以用四分之一表示呢？”一部分学生很不屑地指着实物图抢着发言：“因为一个是把4根香蕉平均分了的四分之一，一个是把8块面包平均分了的四分之一呗！”我进一步诱导着学生钻“圈套”：“是这样吗？那么上面的一个圆、一个正方形、一条线段中的一部分，也都是四分之一，它们是一回事呀？”学生纷纷举手发言：“它们分的东西不同，但平均分的份数是一样的！”在层层设疑之后，我一步步引导学生借助几何直观和形象思维实现对单位“1”的理解，并探究出如下三个描述性定义。
第一，像一把香蕉、一盘面包、一張纸、一条线段，这样一个物体、一些物体等都可以看作一个整体，把这个整体平均分成若干份，这样的一份或几份都可以用分数表示。
第二，一个整体可以用自然数1来表示， 我们可以把它叫作单位“1”。
第三，把单位“1”平均分成若干份，表示其中的一份的分数叫作分数单位。
学生在几何直观的启发下，进行了自主而有效的探究。他们认为，课本第62页中“表示其中的一份的数叫作分数单位。”这句话中的“数”表达不太明确，将其改为“分数”会更清楚一些，如“表示其中的一份的分数叫作分数单位。”虽然学生的这种表述没有课本上对分数的描述严密，但是他们这种朴素的逻辑推理经历与过程，却是几何直观下绽放的思维火花。
三、借助几何直观，抽象出分数与除法的关系
题目：1千克葡萄干平均装在2个袋子里，每袋重多少千克？平均装在3个袋子里呢？
解：2÷1=2（千克）
3÷1=3（千克）
答：平均装在2个袋子里，每袋重2千克;平均装在3个袋子里，每袋装3千克。 这道题是学生在学习“分数与除法”后的作业。从作业反馈中可以看出，学生在学习新知“单位1”时，与旧知“平均分”发生了负迁移，没有弄清“把单位‘1’平均分”与“一个数占另一个数的几分之几”的联系与区别，模糊了被除数与除数的关系。
数论对分数有这样的描述：①原有量的单位或数的单位能转换成比“1”更小的单位，于是有分数定义：把单位一（或整体“1”）平均分成若干份，表示其中的一份或几份的数是分数;②可以以“1”为单位重新定义一个与原有量同单位的其他量，并用分数表示，这个分数也常常被称为那个其他量的对应分率。
数论的这段描述实质上把分数的來源做了分类，通常把①产生分数的方法称为切分法，把②产生分数的方法称为量比法。
切分法中的单位“1”处于分子位置，通常应用此意义求平均数， “把单位‘1’平均分”表达的就是这个意思。量比法中的单位“1”处于分母位置，是将“1”平均分的总份数作为分母， “一个数占另一个数的几分之几”表达的就是这个意思。
经过这样一番思考后，我觉得学生存在的认知误区还是在单位“1”。对此，我借助“分数与除法”中例1、例2的情境图，重点让学生边观察图形边思考：哪个量是单位“1”？平均分哪个量？要求平均分应该怎样列式？在观察与思考后，学生这样描述分数与除法的关系：将单位“1”平均分或是几个几个地分，在“平均分”与“几个几个地分”中单位“1”的量就是被除数，当商不是整数时，可以用分数很方便地表示，其中除数做分母，被除数做分子。
此时再让学生回过头去检查作业，学生恍然大悟，正确列出算式：
1÷2 =[12]（千克）
1÷3=[13]（千克）
最后，我安排几道变式练习题让学生完成，以加强知识的巩固与运用。
四、借助几何直观，概括归纳分数的性质
借助几何直观可生动形象地描述数学问题，直观地反映分析问题的思路，这也是生成数学概念、探究数学算理、推导数学性质的有效渠道。数学家克莱因指出：“数学不是依靠在逻辑上，而是依靠在正确的直观上，数学的直观就是对概念、证明的直接把握。”对此，在本单元的教学中，教师可借助几何直观，引导学生概括归纳分数的性质。
例如，在教学“分数的基本性质”前，我让学生准备好学具——圆（透明塑料片）。上课时，我预设了操作、观察、思考三个教学环节。
1.操作。
玩一玩：可以找到哪些分数？
比一比：哪些分数表示的数量大小是一样的？
画一画：将3条等长的线段分别平均分成2段、4段和8段。
2.观察。
引导观察：分别取它们的 [12]、[24]、[48]，想一想这三个分数表示的线段之间有什么关系？
3.思考。
请男生从左往右观察[12]、[24]、[48]这三个分数的分子与分母，看看它们发生了怎样的变化。
请女生从右往左观察[12]、[24]、[48]这三个分数的分子与分母，看看它们发生了怎样的变化。
再请男生和女生分别推选出代表，用自己喜欢的方法运用线条、符号、数字把观察结果与发现在黑板上表达出来。
最后请学生议一议：你能把这节课的观察与发现用一句话总结出来吗？
通过动手操作、直观观察、分析思考，学生惊喜地发现：[12=][24]=[48]。
就这样，分数的基本性质在学生的直观感悟中自然而然地生成了。
孔凡哲教授与史宁中教授均认为，几何直观具体表现为四种形式，即实物直观、简约符号直观、图形直观和替代物直观。本单元的教学中，我整合课本情境、调动学生的生活经验、运用几何直观手段为学生架设起从直观形象思维向抽象逻辑思维过渡的桥梁，促进学生在操作、观察、猜测、归纳、概括等活动中掌握分数产生的背景、分数的意义、分数与除法的关系以及分数的基本性质。
（责编 黄春香）