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1问题的提出
在演示液体对容器侧壁的压强随深度的增加而增大实验时，往往用如图1所示的圆柱形水筒，让水从距水面深度不同的三个小孔A、B、C喷出来。可以观察到：小孔越低，水喷得越急。但有人却说：小孔越低，水喷得越急，所以射程也越远。其实这种说法是错误的，现分析如下。
[TP6CW104。TIF，BP#]
2问题的分析
以桌面为参考平面，设筒内水面的高度为H，水的密度为ρ，流速为v0，大气压强为p0；A孔处的高度为h，水的流速为v，压强为p1。根据伯努利方程得
[JZ]p0 [SX（]1[]2[SX）]ρv20 ρgH=p1 [SX（]1[]2[SX）]ρv2 ρgh，
因为筒的容量较大，孔很小，当水从小孔喷出时，水面下降的速度很小，所以v0≈0。又因为小孔A处与大气相通，故p1=p0。则
[JZ]ρgH=[SX（]1[]2[SX）]ρv2 ρgh，
解得v=[KF（]2g（H-h）[KF）]，其中H-h为小孔A处距水面的深度，因此小孔位置越低（即h越小），水喷出的速度越大，即越急。但速度大，并不意味喷射远。水从小孔喷出后，做的是平抛运动，即在水平方向上做匀速直线运动，射程s=vt；在竖直方向上做自由落体运动，h=[SX（]1[]2[SX）]gt2。则
[JZ]s[WB]=vt=[KF（]2g（H-h）[KF）]·[KF（]2h/g[KF）][DW]=2[KF（]-（h-[SX（]H[]2[SX）]）2 [SX（]H2[]4[SX）][KF）]。
由s=2[KF（]-（h-[SX（]H[]2[SX）]）2 [SX（]H2[]4[SX）][KF）]可知，当h=[SX（]H[]2[SX）]时，s有最[FL）]
可调亮度台灯P滑变化的数学分析
温剑飞谭本华
（深圳市光明中学广东 深圳518000）
[TP6CW88。TIF，Y#]
例1有一个可调亮度的台灯，其电路图如图1所示，R为滑动变阻器，R滑最大 A。灯泡变亮，滑动变阻器消耗的电功率变小
B。灯泡变亮，滑动变阻器消耗的电功率变大
C。灯泡变暗，滑动变阻器消耗的电功率变小
D。灯泡变暗，滑动变阻器消耗的电功率变大
据题意，这是一个串联电路，当滑片由a向b滑时，R滑增大，所以I减小，根据PL=I2RL可知，灯泡的实际功率减小，灯泡变暗。
下面分析滑动变阻器消耗功率（P滑）的变化情况：
电路电流[JZ]I=[SX（]U[]RL R滑[SX）]，
则[JZ]P滑=I2R滑，
将I代入可得[JZ]P滑=（[SX（]U[]RL R滑[SX）]）2R滑，
变形得[JZ]P滑=[SX（]U2[][SX（]（RL R滑）2[]R滑[SX）][SX）]，
只要分析出[SX（]（RL R滑）2[]R滑[SX）]的变化即可分析出P滑的变化。
设R滑为x （x>0），RL （RL>0）为常数a（a>0），
即f（x）=[SX（]（a x）2[]x[SX）]=x 2a [SX（]a2[]x[SX）]，设x1>x2>0，
[JZ]f（x1）-f（x2）[WB]=x1-x2 [SX（]a2[]x1[SX）]-[SX（]a2[]x2[SX）]
[DW]=[SX（]（x1-x2）（x1x2-a2）[]x1x2[SX）]，
因为[JZ]x1-x2>0，x1x2>0，
（1）若x>a，即[SX（]x[]a[SX）]>1，则x1>a，x2>a，x1x2-a2>0，
f（x1）-f（x2）>0，故此时f（x）为增函数；
（2）若x [HJ1。3mm]
[LL]f（x1）-f（x2）<0，故此时f（x）为减函数。
根据P滑=[SX（]U2[][SX（]（RL R滑）2[]R滑[SX）][SX）]=[SX（]U2[]f（x）[SX）]可知：
当x>a时（即R滑>RL），f（x）是增函数，则P滑为减函数；
当x 结论：P滑的变化与R滑及RL的比值大小有关系：
（1）当R滑 （2）当R滑>RL时，P滑随着R滑的增大而减小，R滑的减小而增大。
故例1的正确答案为D。
例2（2011年杭州）在如图2所示的电路中，电源电压为3 V，电阻R的阻值为5 Ω，[TP6CW89。TIF，Y#]滑动变阻器标有“20 Ω 2 A”字样（忽略温度对电阻的影响），当滑片由A端滑动B端的过程中
A。电阻R两端的电压不断变大
B。电阻R的功率不断变小
C。滑动变阻器两端的电压不断变小
D。滑动变阻器的功率不断变大
关于选项D的分析：根据上面的结论，因为电阻R的阻值为5 Ω，当变阻器在0～5 Ω变化时，即此时R滑R定，P滑随着R滑的增大而减小。 变化可用图3表示。
[TP6CW90。TIF，BP#]
从上面的分析可以看出，关于可调亮度台灯 变化的分析，初中生是很难运用数学推理的方法分析的，遇到这样的问题，初中生只能用取多组数值代入的方法来解题。因此，本人认为关于此类电路中P滑变化的分析超过了初中生的能力要求，在命题时应该尽量避免。
[KH-2][KG-2][JZ][CDH01155]
[FL（K2]大值H，也就是说在h=[SX（]H[]2[SX）]处开孔，射程最远，为H。
由s=2[KF（]-（h-[SX（]H[]2[SX）]）2 [SX（]H2[]4[SX）][KF）]还可知，只要|h=[SX（]H[]2[SX）]|相等，射程s就相同。即水从h=[SX（]H[]2[SX）]向上、向下等距离处的小孔喷出的射程相等，且小孔越远离h=[SX（]H[]2[SX）]处，其射程越小。
3建议与启示
从以上分析可知：（1）不能想当然地说小孔越低，水的射[HJ1。7mm]程就越远。只有在底座高度大于或等于H/2时，上述结论才成立；（2）水再深，其射程也不会超过H（从水面到参考平面的高度）；（3）利用本实验装置来演示液体对容器侧壁压强与液体深度的关系，不能用射程的远近来验证液体对容器侧壁压强的大小。若要演示液体对容器侧壁压强与液体深度的关系，可以将实验装置进行如下改进，如图2，取塑料饮料瓶一只，在其侧壁从上至下开几个小孔，再在小孔上蒙上一层薄橡皮膜，将水缓缓注入瓶内，可以观察到水越深处，薄橡皮膜外凸越明显，表明压强越大。
在演示液体对容器侧壁的压强随深度的增加而增大实验时，往往用如图1所示的圆柱形水筒，让水从距水面深度不同的三个小孔A、B、C喷出来。可以观察到：小孔越低，水喷得越急。但有人却说：小孔越低，水喷得越急，所以射程也越远。其实这种说法是错误的，现分析如下。
[TP6CW104。TIF，BP#]
2问题的分析
以桌面为参考平面，设筒内水面的高度为H，水的密度为ρ，流速为v0，大气压强为p0；A孔处的高度为h，水的流速为v，压强为p1。根据伯努利方程得
[JZ]p0 [SX（]1[]2[SX）]ρv20 ρgH=p1 [SX（]1[]2[SX）]ρv2 ρgh，
因为筒的容量较大，孔很小，当水从小孔喷出时，水面下降的速度很小，所以v0≈0。又因为小孔A处与大气相通，故p1=p0。则
[JZ]ρgH=[SX（]1[]2[SX）]ρv2 ρgh，
解得v=[KF（]2g（H-h）[KF）]，其中H-h为小孔A处距水面的深度，因此小孔位置越低（即h越小），水喷出的速度越大，即越急。但速度大，并不意味喷射远。水从小孔喷出后，做的是平抛运动，即在水平方向上做匀速直线运动，射程s=vt；在竖直方向上做自由落体运动，h=[SX（]1[]2[SX）]gt2。则
[JZ]s[WB]=vt=[KF（]2g（H-h）[KF）]·[KF（]2h/g[KF）][DW]=2[KF（]-（h-[SX（]H[]2[SX）]）2 [SX（]H2[]4[SX）][KF）]。
由s=2[KF（]-（h-[SX（]H[]2[SX）]）2 [SX（]H2[]4[SX）][KF）]可知，当h=[SX（]H[]2[SX）]时，s有最[FL）]
可调亮度台灯P滑变化的数学分析
温剑飞谭本华
（深圳市光明中学广东 深圳518000）
[TP6CW88。TIF，Y#]
例1有一个可调亮度的台灯，其电路图如图1所示，R为滑动变阻器，R滑最大
B。灯泡变亮，滑动变阻器消耗的电功率变大
C。灯泡变暗，滑动变阻器消耗的电功率变小
D。灯泡变暗，滑动变阻器消耗的电功率变大
据题意，这是一个串联电路，当滑片由a向b滑时，R滑增大，所以I减小，根据PL=I2RL可知，灯泡的实际功率减小，灯泡变暗。
下面分析滑动变阻器消耗功率（P滑）的变化情况：
电路电流[JZ]I=[SX（]U[]RL R滑[SX）]，
则[JZ]P滑=I2R滑，
将I代入可得[JZ]P滑=（[SX（]U[]RL R滑[SX）]）2R滑，
变形得[JZ]P滑=[SX（]U2[][SX（]（RL R滑）2[]R滑[SX）][SX）]，
只要分析出[SX（]（RL R滑）2[]R滑[SX）]的变化即可分析出P滑的变化。
设R滑为x （x>0），RL （RL>0）为常数a（a>0），
即f（x）=[SX（]（a x）2[]x[SX）]=x 2a [SX（]a2[]x[SX）]，设x1>x2>0，
[JZ]f（x1）-f（x2）[WB]=x1-x2 [SX（]a2[]x1[SX）]-[SX（]a2[]x2[SX）]
[DW]=[SX（]（x1-x2）（x1x2-a2）[]x1x2[SX）]，
因为[JZ]x1-x2>0，x1x2>0，
（1）若x>a，即[SX（]x[]a[SX）]>1，则x1>a，x2>a，x1x2-a2>0，
f（x1）-f（x2）>0，故此时f（x）为增函数；
（2）若x
[LL]f（x1）-f（x2）<0，故此时f（x）为减函数。
根据P滑=[SX（]U2[][SX（]（RL R滑）2[]R滑[SX）][SX）]=[SX（]U2[]f（x）[SX）]可知：
当x>a时（即R滑>RL），f（x）是增函数，则P滑为减函数；
当x
（1）当R滑
故例1的正确答案为D。
例2（2011年杭州）在如图2所示的电路中，电源电压为3 V，电阻R的阻值为5 Ω，[TP6CW89。TIF，Y#]滑动变阻器标有“20 Ω 2 A”字样（忽略温度对电阻的影响），当滑片由A端滑动B端的过程中
A。电阻R两端的电压不断变大
B。电阻R的功率不断变小
C。滑动变阻器两端的电压不断变小
D。滑动变阻器的功率不断变大
关于选项D的分析：根据上面的结论，因为电阻R的阻值为5 Ω，当变阻器在0～5 Ω变化时，即此时R滑
[TP6CW90。TIF，BP#]
从上面的分析可以看出，关于可调亮度台灯 变化的分析，初中生是很难运用数学推理的方法分析的，遇到这样的问题，初中生只能用取多组数值代入的方法来解题。因此，本人认为关于此类电路中P滑变化的分析超过了初中生的能力要求，在命题时应该尽量避免。
[KH-2][KG-2][JZ][CDH01155]
[FL（K2]大值H，也就是说在h=[SX（]H[]2[SX）]处开孔，射程最远，为H。
由s=2[KF（]-（h-[SX（]H[]2[SX）]）2 [SX（]H2[]4[SX）][KF）]还可知，只要|h=[SX（]H[]2[SX）]|相等，射程s就相同。即水从h=[SX（]H[]2[SX）]向上、向下等距离处的小孔喷出的射程相等，且小孔越远离h=[SX（]H[]2[SX）]处，其射程越小。
3建议与启示
从以上分析可知：（1）不能想当然地说小孔越低，水的射[HJ1。7mm]程就越远。只有在底座高度大于或等于H/2时，上述结论才成立；（2）水再深，其射程也不会超过H（从水面到参考平面的高度）；（3）利用本实验装置来演示液体对容器侧壁压强与液体深度的关系，不能用射程的远近来验证液体对容器侧壁压强的大小。若要演示液体对容器侧壁压强与液体深度的关系，可以将实验装置进行如下改进，如图2，取塑料饮料瓶一只，在其侧壁从上至下开几个小孔，再在小孔上蒙上一层薄橡皮膜，将水缓缓注入瓶内，可以观察到水越深处，薄橡皮膜外凸越明显，表明压强越大。