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三、与能量相关的弹簧问题
（全国.1997）质量為m的钢板与直立轻弹簧的上端连接，弹簧下端固定在地上.平衡时弹簧的压缩量为x0，如图所示.一物块从钢板正上方距离为3x0的A处自由落下，打在钢板上并立刻与钢板一起向下运动，但不粘连.它们到达最低点后又向上运动.已知物块质量为m时，它们恰能回到O点.若物块质量为2m，仍从A处自由落下，则物块与钢板回到O点时，还具有向上的速度.求物块向上运动到达的最高点与O点的距离.
[析]本题是以物块、钢板及竖直轻弹簧的相互作用过程这一物理情境为研究重点，通过对动量的传递守恒，能量的转化守恒等知识点的考查，考核考生的理解、推理和分析综合等多方面的能力.题设的这种物理情境要求考生必须对有弹簧的弹力这样一种变力做功的较为复杂的物理过程做出自己的分析，并且能定量确定某些特定位置的弹性势能.另外，本题在设问上也独具匠心，考生须认真审题，才能挖掘出隐含条件，弄清物理过程.例如，“打在钢板上并立刻与钢板一起向下运动”说明碰撞时间极短，故系统动量近似守恒.”恰能回到O点”说明弹簧弹性势能为零.同时，对临界点O点的分析也犹为重要.由于物块和钢板不粘连，故能准确地判断出两物体在O点分离也是解题的关键.
解：设物块自A处自由下落与钢板碰撞前瞬间的速度为v0.
由机械能守恒可得v0=6gx0.①
设v1为物块与钢板碰撞后一起开始向下运动的速度.因碰撞时间极短，故动量守恒.有mv0=2mv1.②
设刚碰完时弹簧的弹性势能为EP.当它们一起回到O点时，弹簧无形变，弹性势能为零.根据题给条件，这时物块与钢板的速度为零.由机械能守恒定律，有
Ep （2m）v =2mgx0③
设v2为质量为2m的物块与钢板碰撞后开始一起向下运动的速度.则有2mv0=3mv2④
设碰完时弹簧的弹性势能为E P，它们回到O点时，弹性势能为零，但它们继续向上运动.设此时速度为v.则有.
E p （3m）v =3mgx0 （3m）v ⑤
在以上两种情况中，弹簧的初始压缩量都是x0，故有E′p=Ep.⑥
当质量为2m的物块与钢板一起回到O点时，弹簧的弹力为零，物块与钢板只受到重力作用，加速度为g.一过O点，钢板受到弹簧向下的拉力作用，加速度大于g.由于物块与钢板不粘连，物块不可能受到钢板的拉力，其加速度仍为g.故在O点物块与钢板分离.分离后，物块以速度v竖直上升，则由以上各式解得物块向上运动所到最高点与O点的距离为.l= = x0.
（全国.1997）质量為m的钢板与直立轻弹簧的上端连接，弹簧下端固定在地上.平衡时弹簧的压缩量为x0，如图所示.一物块从钢板正上方距离为3x0的A处自由落下，打在钢板上并立刻与钢板一起向下运动，但不粘连.它们到达最低点后又向上运动.已知物块质量为m时，它们恰能回到O点.若物块质量为2m，仍从A处自由落下，则物块与钢板回到O点时，还具有向上的速度.求物块向上运动到达的最高点与O点的距离.
[析]本题是以物块、钢板及竖直轻弹簧的相互作用过程这一物理情境为研究重点，通过对动量的传递守恒，能量的转化守恒等知识点的考查，考核考生的理解、推理和分析综合等多方面的能力.题设的这种物理情境要求考生必须对有弹簧的弹力这样一种变力做功的较为复杂的物理过程做出自己的分析，并且能定量确定某些特定位置的弹性势能.另外，本题在设问上也独具匠心，考生须认真审题，才能挖掘出隐含条件，弄清物理过程.例如，“打在钢板上并立刻与钢板一起向下运动”说明碰撞时间极短，故系统动量近似守恒.”恰能回到O点”说明弹簧弹性势能为零.同时，对临界点O点的分析也犹为重要.由于物块和钢板不粘连，故能准确地判断出两物体在O点分离也是解题的关键.
解：设物块自A处自由下落与钢板碰撞前瞬间的速度为v0.
由机械能守恒可得v0=6gx0.①
设v1为物块与钢板碰撞后一起开始向下运动的速度.因碰撞时间极短，故动量守恒.有mv0=2mv1.②
设刚碰完时弹簧的弹性势能为EP.当它们一起回到O点时，弹簧无形变，弹性势能为零.根据题给条件，这时物块与钢板的速度为零.由机械能守恒定律，有
Ep （2m）v =2mgx0③
设v2为质量为2m的物块与钢板碰撞后开始一起向下运动的速度.则有2mv0=3mv2④
设碰完时弹簧的弹性势能为E P，它们回到O点时，弹性势能为零，但它们继续向上运动.设此时速度为v.则有.
E p （3m）v =3mgx0 （3m）v ⑤
在以上两种情况中，弹簧的初始压缩量都是x0，故有E′p=Ep.⑥
当质量为2m的物块与钢板一起回到O点时，弹簧的弹力为零，物块与钢板只受到重力作用，加速度为g.一过O点，钢板受到弹簧向下的拉力作用，加速度大于g.由于物块与钢板不粘连，物块不可能受到钢板的拉力，其加速度仍为g.故在O点物块与钢板分离.分离后，物块以速度v竖直上升，则由以上各式解得物块向上运动所到最高点与O点的距离为.l= = x0.