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【摘要】通过勾股定理的教学，举例说明“动手操作”的有效性及应该注意的问题，并通过实践培养学生的能力。
【关键词】勾股定理；教学；动手操作；有效性
【中图分类号】G6336
【文献标识码】B
【文章编号】1671-8437（2017）18-0033-03
课堂教学中，往往是动手操作比较耗时间，教学环节不好组织与掌控，许多教师不愿让学生“动手操作”。比如：学生在学习“勾股定理”之前都知道勾股定理的内容，有些教师就直接告诉学生勾股定理的结论然后讲它的运用。这样学生势必有疑问：勾股定理是怎么得出来的？为什么会有a2+b2=c2呢？并且，学生对勾股定理的理解也不深刻。我认为，动手操作、探索勾股定理的过程非常重要。我在教学过程中进行了一些尝试，学生很感兴趣。下面用案例进行分析。
案例一：探索勾股定理的教学设计
方法1在网格中利用正方形的面积之间的关系让学生进行计算与操作。
探究：
（1）A、B、C面积之间的关系？
（2）直角三角形三边的数量关系？
（3）归纳勾股定理的结论？
（4）在计算C的面积时用到了什么思想方法？
方法2用四个全等的直角三角形和一个边长为C的正方形拼图（课前准备好）最终在老师的引导下拼出下图：并由学生观察计算论证勾股定理。
学生：∵S大正方形=4SRt△+S小正方形
=4×12ab+（a-b）2
=2ab+a2-2ab+b2
=a2+b2
又∵S大正方形=C2
∴a2+b2=c2
这就是直角三角形三条边之间的关系。
方法3用两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形（课前准备好），由学生拼图、验证勾股定理。
学生证明：∵S梯=12（a+b）（a+b）
=12（a+b）2
又∵S梯=2SRtΔ+S等腰RtΔ
=2×12ab+12c2
=ab+12c2
∴12（a+b）2=ab+12c2
∴（a+b）2=2ab+c2
即a2+2ab+b2=2ab+c2
∴a2+b2=c2
案例二：勾股定理逆定理的教学设计
（1）创设情境：出示金字塔的图片，引导学生了解金字塔的横截面是长方形，进而讲述古埃及人得到的方法：用13个等距的结把一根绳子分成等长的12段，然后以3个结，4个结，5个结的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角。
问题情境提问：这种方法意味着什么？
学生回答：如果三角形的三边满足32+42=52。那么围成的三角形是直角三角形。
教师：按照这种做法真能得到一个直角三角形吗？
（2）动手操作：如何根据已知三边做出一个三角形呢？
在老师做一个边长为6，8，10的三角形过程中回顾这种作三角形的方法。（边说边做）下面，请同学们作出①三边为5，12，13的三角形。用量角器量一量三角形中有没有直角。②作一个直角三角形，使它的两直角边分别为5和12
（3）活动猜想：由上述两个活动你有什么发现？
学生1：在活动一中，我发现13这条边所对的角为90°。
学生2：我发现如果a2+b2=c2，那么以a、b、c为三边的三角形是直角三角形。
学生3：我发现活动二中作出的直角三角形与活动一中画出的三角形全等。
教师：它们全等的依据是什么？
学生3：边边边，我先在第二个直角三角形中利用勾股定理算出斜边=13，就发现这两个三角形的三边对应相等，所以它们全等。
教师：这么说第一个三角形中有一个角应与直角相等。从而说明它就是直角三角形了。
学生：是的
教师：第一个三角形中三边有什么关系呢？
学生4：较短两边的平方和等于最长边的平方：52+122=169=132
教师：那么最长边所对的角就是直角了，能从特殊到一般，用字母表示吗？归纳结论。
学生5：如果a2+b2=c2，那么以a、b、c为三边的三角形是直角三角形。
教师：非常好，这就是勾股定理的逆定理。
案例三：在讲授“蚂蚁怎样走最近”这一课中长方体的展开图问题。有一个封闭的长方体的A处有一只蚂蚁，B处有一滴糖，蚂蚁A捕捉到这一信息，想从表面爬到B处，蚂蚁有多少种路线可走？怎样走最近？
（1）先由学生空间想象。
（2）再分小组讨论交流。
（3）老师事先设计一个长方体纸盒，在表面上用透明胶粘上不同颜色的色卡纸（每个面颜色不同）可以翻折色卡纸。让小组代表动手上台操作，展示将立体图形转化为平面图形的不同方法。
学生1：沿长方体的棱从A→C→D→B。总长为2+3+1=6
学生2：从A→D→B，总长为：22+32+1=13+1
学生3：从A→C→B，总长为：2+12+32=2+10
学生4：将右侧面展到正面来，两点之间线段最短
AB=2+12+32=18
学生5：将上底面展到正面来。
AB=22+3+12=20
教师：还有补充吗？
学生6：将上底面翻到左侧面。
AB=12+3+22=26
教师：哪条路线最短？
学生：18=32最短。
教师：如果是一只苍蝇从盒子內的A飞到B最短路线是多少？ 学生继续思考：
学生7：那就是长方体的对角线
AB=22+12+32=14
通过刚才的三个案例，我发现“动手操作”有几个优点：
（1）手脑并用，拓展训练思维能力；
（2）生动、形象、直观便于学生理解；
（3）在活动中分类讨论，交流合作，探究知识产生的过程，学生活动充分，调动了学生的学习积极性，学生很感兴趣；
（4）从特殊→一般的数学思想得到有效升华；
（5）数学在实践中得到了运用。
经过实践我清晰地认识到“动手操作”在探究结论中的重要作用，其设计的有效性对教师能否顺利完成预设目标，学生能力是否真正得到提升有一定的影响，“动手操作”作为对学生能力的考核已是中考的重点，所以在教师备课中要予以重视，设置动手操作的有效性应作为思考的首要任务。
下面對“动手操作”如何能有效进入课堂提几点思考和建议：
①强化操作的指向性。操作应当是在学生想知而未知，似懂而非懂，产生学习心理需要时应运而生的产物，操作前要使学生明确为什么而操作，通过操作可以解决什么问题，这样的操作才会有针对性，才不会失控，操作才具有实效。
②操作不能停留在“告诉事实，验证结论”上。学生机械地执行教师的“指令”，模仿与复制，只做而不想，这样的操作是无效的，必须手脑并用，留给学生自主探索，自主思维的时空，让学生在操作中经历数学知识探究的过程，不断提高学生教学思维含量，这样的操作才是有效的。
③强化操作的指导性。由于学生认知差异，其操作也不尽相同，我们组织学生操作既不能整齐划一，指导学生亦步亦趋的操作，也不能放任自由，天马行空，让学生“瞎”操作。必须把握教材要求和学生实际情况，充分发挥教师对学生自主操作的调控，导向作用，保证操作有序，有效进行。
④强化操作的共享性。学生通过独立思考，动手操作，借助已有的知识和经验获得新知，此时要及时组织学生交流思考过程和操作过程，聆听别人的建议和意见，促进外部操作和内部思维活动的“和谐共振”。
⑤强化操作的创新性。新课程积极倡导培养学生创新意识和实践能力，在学生动手操作过程中调动学生的求异思维，引导通过操作“创造”知识，这是操作的高层次发展，也是数学教学理想之路。
因此教师不能因时间无法调控而回避“动手操作”，现阶段对于学生积累活动经验的呼声越来越高，呼吁在有限的时间内进行手脑并用的有效操作，所以我们应在教学过程中积极探索，有效地让学生动手操作，培养学生提出和解决问题的能力，让学生终生受益。
【关键词】勾股定理；教学；动手操作；有效性
【中图分类号】G6336
【文献标识码】B
【文章编号】1671-8437（2017）18-0033-03
课堂教学中，往往是动手操作比较耗时间，教学环节不好组织与掌控，许多教师不愿让学生“动手操作”。比如：学生在学习“勾股定理”之前都知道勾股定理的内容，有些教师就直接告诉学生勾股定理的结论然后讲它的运用。这样学生势必有疑问：勾股定理是怎么得出来的？为什么会有a2+b2=c2呢？并且，学生对勾股定理的理解也不深刻。我认为，动手操作、探索勾股定理的过程非常重要。我在教学过程中进行了一些尝试，学生很感兴趣。下面用案例进行分析。
案例一：探索勾股定理的教学设计
方法1在网格中利用正方形的面积之间的关系让学生进行计算与操作。
探究：
（1）A、B、C面积之间的关系？
（2）直角三角形三边的数量关系？
（3）归纳勾股定理的结论？
（4）在计算C的面积时用到了什么思想方法？
方法2用四个全等的直角三角形和一个边长为C的正方形拼图（课前准备好）最终在老师的引导下拼出下图：并由学生观察计算论证勾股定理。
学生：∵S大正方形=4SRt△+S小正方形
=4×12ab+（a-b）2
=2ab+a2-2ab+b2
=a2+b2
又∵S大正方形=C2
∴a2+b2=c2
这就是直角三角形三条边之间的关系。
方法3用两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形（课前准备好），由学生拼图、验证勾股定理。
学生证明：∵S梯=12（a+b）（a+b）
=12（a+b）2
又∵S梯=2SRtΔ+S等腰RtΔ
=2×12ab+12c2
=ab+12c2
∴12（a+b）2=ab+12c2
∴（a+b）2=2ab+c2
即a2+2ab+b2=2ab+c2
∴a2+b2=c2
案例二：勾股定理逆定理的教学设计
（1）创设情境：出示金字塔的图片，引导学生了解金字塔的横截面是长方形，进而讲述古埃及人得到的方法：用13个等距的结把一根绳子分成等长的12段，然后以3个结，4个结，5个结的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角。
问题情境提问：这种方法意味着什么？
学生回答：如果三角形的三边满足32+42=52。那么围成的三角形是直角三角形。
教师：按照这种做法真能得到一个直角三角形吗？
（2）动手操作：如何根据已知三边做出一个三角形呢？
在老师做一个边长为6，8，10的三角形过程中回顾这种作三角形的方法。（边说边做）下面，请同学们作出①三边为5，12，13的三角形。用量角器量一量三角形中有没有直角。②作一个直角三角形，使它的两直角边分别为5和12
（3）活动猜想：由上述两个活动你有什么发现？
学生1：在活动一中，我发现13这条边所对的角为90°。
学生2：我发现如果a2+b2=c2，那么以a、b、c为三边的三角形是直角三角形。
学生3：我发现活动二中作出的直角三角形与活动一中画出的三角形全等。
教师：它们全等的依据是什么？
学生3：边边边，我先在第二个直角三角形中利用勾股定理算出斜边=13，就发现这两个三角形的三边对应相等，所以它们全等。
教师：这么说第一个三角形中有一个角应与直角相等。从而说明它就是直角三角形了。
学生：是的
教师：第一个三角形中三边有什么关系呢？
学生4：较短两边的平方和等于最长边的平方：52+122=169=132
教师：那么最长边所对的角就是直角了，能从特殊到一般，用字母表示吗？归纳结论。
学生5：如果a2+b2=c2，那么以a、b、c为三边的三角形是直角三角形。
教师：非常好，这就是勾股定理的逆定理。
案例三：在讲授“蚂蚁怎样走最近”这一课中长方体的展开图问题。有一个封闭的长方体的A处有一只蚂蚁，B处有一滴糖，蚂蚁A捕捉到这一信息，想从表面爬到B处，蚂蚁有多少种路线可走？怎样走最近？
（1）先由学生空间想象。
（2）再分小组讨论交流。
（3）老师事先设计一个长方体纸盒，在表面上用透明胶粘上不同颜色的色卡纸（每个面颜色不同）可以翻折色卡纸。让小组代表动手上台操作，展示将立体图形转化为平面图形的不同方法。
学生1：沿长方体的棱从A→C→D→B。总长为2+3+1=6
学生2：从A→D→B，总长为：22+32+1=13+1
学生3：从A→C→B，总长为：2+12+32=2+10
学生4：将右侧面展到正面来，两点之间线段最短
AB=2+12+32=18
学生5：将上底面展到正面来。
AB=22+3+12=20
教师：还有补充吗？
学生6：将上底面翻到左侧面。
AB=12+3+22=26
教师：哪条路线最短？
学生：18=32最短。
教师：如果是一只苍蝇从盒子內的A飞到B最短路线是多少？ 学生继续思考：
学生7：那就是长方体的对角线
AB=22+12+32=14
通过刚才的三个案例，我发现“动手操作”有几个优点：
（1）手脑并用，拓展训练思维能力；
（2）生动、形象、直观便于学生理解；
（3）在活动中分类讨论，交流合作，探究知识产生的过程，学生活动充分，调动了学生的学习积极性，学生很感兴趣；
（4）从特殊→一般的数学思想得到有效升华；
（5）数学在实践中得到了运用。
经过实践我清晰地认识到“动手操作”在探究结论中的重要作用，其设计的有效性对教师能否顺利完成预设目标，学生能力是否真正得到提升有一定的影响，“动手操作”作为对学生能力的考核已是中考的重点，所以在教师备课中要予以重视，设置动手操作的有效性应作为思考的首要任务。
下面對“动手操作”如何能有效进入课堂提几点思考和建议：
①强化操作的指向性。操作应当是在学生想知而未知，似懂而非懂，产生学习心理需要时应运而生的产物，操作前要使学生明确为什么而操作，通过操作可以解决什么问题，这样的操作才会有针对性，才不会失控，操作才具有实效。
②操作不能停留在“告诉事实，验证结论”上。学生机械地执行教师的“指令”，模仿与复制，只做而不想，这样的操作是无效的，必须手脑并用，留给学生自主探索，自主思维的时空，让学生在操作中经历数学知识探究的过程，不断提高学生教学思维含量，这样的操作才是有效的。
③强化操作的指导性。由于学生认知差异，其操作也不尽相同，我们组织学生操作既不能整齐划一，指导学生亦步亦趋的操作，也不能放任自由，天马行空，让学生“瞎”操作。必须把握教材要求和学生实际情况，充分发挥教师对学生自主操作的调控，导向作用，保证操作有序，有效进行。
④强化操作的共享性。学生通过独立思考，动手操作，借助已有的知识和经验获得新知，此时要及时组织学生交流思考过程和操作过程，聆听别人的建议和意见，促进外部操作和内部思维活动的“和谐共振”。
⑤强化操作的创新性。新课程积极倡导培养学生创新意识和实践能力，在学生动手操作过程中调动学生的求异思维，引导通过操作“创造”知识，这是操作的高层次发展，也是数学教学理想之路。
因此教师不能因时间无法调控而回避“动手操作”，现阶段对于学生积累活动经验的呼声越来越高，呼吁在有限的时间内进行手脑并用的有效操作，所以我们应在教学过程中积极探索，有效地让学生动手操作，培养学生提出和解决问题的能力，让学生终生受益。