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【摘要】教学“相遇”一课要突出模型思想，可以引导学生在理解数量关系上搭建相遇问题的模型，同时在用方程解决问题的策略上搭建方程思想，让学生亲身经历了建模的过程，最终掌握了相遇问题的数学本质——“速度×时间=路程”这一典型模型，两条线一明一暗，相辅相成，有效促进了学生建模思想的形成和解决问题能力的提升.
【关键词】小学数学；相遇问题；方程；模型思想
2013年在“特级教师研修班”的一次磨课活动中，我上了一堂“相遇”.这是北师大版五上的一节课，在此之前，已经分别学习过“路程、时间和速度”，也学过了列方程解应用题，本课在“综合与实践”领域中把这两者结合在一起，要上一节“用方程解决相遇问题”的课，到底该教给学生什么新的东西呢？在备课和磨课的过程中，进行了很多的思考，慢慢明白了这节课，其实就是一个建模的过程，并且不单单是一个模型，而是有一明一暗两条线，引导学生建模，获得数学体验和方法.
一、明线：搭建“相遇问题”的模型
“相遇”这节课，如何让学生明确什么是相遇问题，并真正理解相遇问题的本质，是本节课的重中之重.我安排了六个环节，由浅入深，螺旋上升，引导学生逐步地揭开“相遇问题”的神秘面纱.
（一）以理想模型为起点
教材中的例题，是在实际公路上的相遇问题，路也不一定是一条直线，对于学生最初接触到相遇问题时，理解上有一定的难度.于是，我将“相遇问题”最基本的模型抽象出来，用“手指走路”这个游戏展示，是理想中的相遇问题.这样可以让学生更快地感知到“相遇”的几要素，抓住问题最典型的特征.
课堂片段：
师：（在黑板上画一条线段）在数学中，我们可以把它看成是一段路程.
师：（用食指和中指站立在线段的一端，两只手指交替在线段上前行）谁能用数学中的一个数量关系来描述我刚才的动作？
生：路程=速度×时间.
师：现在，我想邀请一位同学上来和老师一起走完这段路，谁想上来？
一位学生上来，和老师分别用手指站立在线段的两端，师喊“开始”，同时出发，相向而行，最终在线段上的某一点相遇.
师：谁能用数学的语言来描述一下，我们刚才是怎么走的？
生：从一段路的两端同时出发，相向而行，最终相遇.
师：（用大括号标注）这一段是老师走的路程，另外一段是学生走的路程，谁能用一个数量关系式来表示它们之间的关系？
生：老师走的路程 同学走的路程=总路程.
师：像这样“两人”从“两端”“同时”出发，“相向”而行，最终相遇，就是相遇问题，今天这节课，我们就来研究相遇问题.（板书：两人、两端、同时、相向）
这段短短的“路”中，学生观察思考、亲身体验，很快就理解了相遇的几要素，对相遇问题的最初印象，有了一个清晰的轮廓.
（二）从理想到现实
当然，生活中的相遇问题不可能都是这么理想化的，例题中就出示了学生生活中非常熟悉的乘车问题：
景宁到杭州的公路长540千米，一辆中巴车从景宁出发，每时行驶80千米，一辆小汽车从杭州出发，每时行驶100千米，两车同时开出，相向而行，经过几时相遇？
此题中，地点、车辆和事件都是学生们熟悉的，但是和导入又有所区别，导入中的线段是理想中的相遇问题，路程和线段图一样，都是直线，而景宁到杭州的路并不是一条直线，中巴车和小汽车也不会在高速公路上真的“相遇”，只是交错而过.但有了前面的铺垫，学生们很快就判断这是一道相遇问题，并写出了等量关系：中巴车行驶的路程 小汽车行驶的路程=总路程.
（三）从行程到工程
第三个环节，我设计了一道工程问题，因为虽然不是两辆车相遇，但是这还是在公路上进行的，学生理解起来并没有难度.
这时，相遇问题的范围明显拓宽了，不一定是行程问题，在工程问题中，两队从两端开始修路，最后在中间某点相遇，其本质也是一样的.为了让学生更加容易理解，这一题我选择了用线段图来展示.并向学生提问：这是相遇问题吗？引发学生去思考和比较，从而发现甲乙两队也是从公路的两端同时出发，相向而行，最终相遇.从图上，学生很容易得出：甲队修的路 乙队修的路=总路程.
（四）从实遇到虚遇
不管是行程问题还是工程问题，相向出发并相遇还是非常形象的，这样学生就很容易被思维定式：相遇问题一定要有相遇.在这个时候，及时出现下题就显得尤为重要：
有一份5700字的文件，由于时间紧急，安排甲、乙两名打字员同时开始录入，甲每分录入100个字，乙每分录入90个字，录完这份文件需用多长时间？
课堂片段：
师：这是相遇问题吗？
生：不是，这是打字，他们没有开车，也没有走路，不会相遇.
生：是，我觉得列算式的方法是一样的.
生：我认为可以看成是相遇问题，我们可以这样想象：如果把这些字打在一条长长的纸条上，甲乙分别从两端开始打，当两人一起把这些字打完的时候，他们俩就相遇了.
生：甲打的字 乙打的字=总字数，可以用前面几题的方法去做.所以，这也是一道相遇问题.
学生一开始认为不是相遇问题，到逐渐产生怀疑，最后用各种角度来说明它也可以归到相遇问题，学生脑子中的相遇就由前几道题的真实相遇到了虚拟相遇，思维的范围渐渐拓展，离相遇问题的本质也就越来越近了.
（五）总结提升，构建模型
课上到这里，学生也见识到了相遇问题的几种呈现方式，是该停下腳步，整理和思考一下了.于是，安排了对比和小结的环节.
课堂片段：
课件同时出示四个线段图和四条等量关系.
师：刚才，我们学习了四道题目，你发现它们之间有什么共同点？ 四人小组讨论.
生：这些都是相遇问题.
生：它们的等量关系都是差不多的.
生：我觉得它们都是有两个人、两个队或者两方一起做一件事情.
生：恩，它们都是合作完成一件事情.
师：是啊，只要是两者合作完成一件事情，我们都可以看成相遇问题，用我们今天学习的方法来解决.生活中还有什么事情是可以看成相遇问题的呢？
生：两个工程队盖房子、两人一起做零件……
自此，相遇问题的内涵得到了提升，学生心中已经有了一个清晰的模型，明白了只要两者合作完成一件事情，都可以看成相遇问题，就可以用今天所学的方程来解决.
（六）抓住本质，再次升华
但仅仅到这，并不是相遇问题模型的全部，在拓展部分出示了古代数学著作《九章算术》中的一道题目：今有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海.今凫雁俱起.问何日相逢.
这明显是一道相遇问题，但是总路程并没有告诉我们，如果我们把总路程看成是单位“1”的话，野鸭和大雁的速度也已知，即可根据“野鸭飞的路程 大雁飞的路程=总路程”来列出方程.
学生发现，当相遇问题的总路程或工作总量没有告知，而看成是单位“1”的话，题目就变成的工程问题.从本质上说，相遇问题就是工程问题的前身，此时，相遇问题的模型进一步得到了升华.
二、暗线：搭建用方程解应用题的解题策略的模型
在用方程解决相遇问题的过程中，“线段图—等量关系—列方程解决问题”是密不可分的三环节，为学生正确解决问题区分了梯度、降低了难度，也是学生必须掌握的几个策略.我安排了以下四个环节，层层递进，让学生在不知不觉中构建了解题策略的模型.
（一）初步认识线段图，体验等量关系
在导入部分，我先在黑板上画出一条线段，并和学生在线段上用手指走路，后面用大括号标注了教师走的部分和学生走的部分，写出了等量关系：教师走的路程 学生走的路程=总路程.此时，黑板上留下的板书其实就是一个线段图，学生充分经历了这个线段图形成的过程，并对线段图有了动态的认识，对等量关系有了初步的印象，为例题中学生自己尝试画线段图奠定了基础.并且，留在黑板上的板书，也是对后面不会画线段图的同学，提供了一个提醒和示范的作用.
（二）亲自设计线段图，说出等量关系
例题中，先是让学生用自己会的方法解决问题，有的学生用算术方法，也有的学生在黑板上的等量关系的迁移下，想到用方程解决问题.在展示了学生的方程后，我提问：你能看懂这个方程吗？能不能根据这个方程画出线段图呢？学生开始尝试画出线段图，在巡回指导的过程中，发现部分学生依照原来的平面图用弯曲的线来画，提醒学生在数学中我们可以把总路程抽象成一段直的线段.又有部分学生在画出总路程之后，不知道下一步该做什么，此时就提醒这些学生，看看黑板上的那个线段图，观察图中标注出了什么东西，并在线段图上说一说等量关系.
（三）依照线段说关系，尝试列出方程
在刚才的题目中，学生是由文字到方程，再画出线段图的，于是在下面的“工程队”的题目中，我故意不出现文字，而是直接出示线段图，让学生根据线段图，写出题目中的等量关系，并完成题目.于是这个环节的重点，就由上个环节的“画线段图”，转移到了“写等量关系”上来.能不能找准等量关系，是准确列出方程的关键，因此，这个环节值得我们去浓墨重彩地描绘.
教学片断：
师：观察这幅线段图，你能读懂什么？
生：有甲乙两个工程队，甲单每天修70米，乙每天修50米，他们一起修一条长1200米的公路，几天可以修完？
师：这是一道相遇问题吗？它和刚才的题目有什么相同和不同？
生：虽然他们不是走路和开车，但是他们也是从路的两端同时出发，相向而修，最终把路修完的时候就相遇了，所以我认为是相遇问题.
师：能说一说每一段线段表示什么意思吗？
生：左边是甲工程队修的公路，右边是乙工程队修的公路.合起来是总路程.
师：可以用一个等量关系来概括吗？
生：甲队修的路程 乙队修的路程=总路程.
（四）抓住本质建模型，独立解决问题
前面几个环节完成之后，学生对列方程解决相遇问题的解题步骤有了较清晰的认识，于是在“甲乙打字”的题目中，安排了鞏固练习，让学生说一说等量关系，再根据等量关系列出方程，并解决问题.
在这几个环节中，从线段图到等量关系到方程，虽然呈现的形式不同，但学生慢慢抓住了最本质的东西，就是“甲完成的 乙完成的=工作总量”.并利用这个关系列出方程，解决了问题.
新课标中明确指出：“让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，进而使学生获得对数学理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步与发展.”在“相遇”这节课中，让学生由浅入深的亲身经历了建模的过程，并让学生不断地提出质疑和解释，最终掌握了相遇问题的模型以及用方程解决相遇问题的数量关系的模型，两条线一明一暗，相辅相成，有效促进了学生建模思想的形成和解决问题能力的提升.
【参考文献】
[1]赵家臣.浅谈小学数学中相遇问题的教学[J].学周刊，2012（25）.
[2]叶萍恺.小学数学的“数学建模”教学策略[J].教育教学论坛，2012（04）.
[3]石俊华.行程问题教学浅议[J].内蒙古教育学院学报，1996（02）.
【关键词】小学数学；相遇问题；方程；模型思想
2013年在“特级教师研修班”的一次磨课活动中，我上了一堂“相遇”.这是北师大版五上的一节课，在此之前，已经分别学习过“路程、时间和速度”，也学过了列方程解应用题，本课在“综合与实践”领域中把这两者结合在一起，要上一节“用方程解决相遇问题”的课，到底该教给学生什么新的东西呢？在备课和磨课的过程中，进行了很多的思考，慢慢明白了这节课，其实就是一个建模的过程，并且不单单是一个模型，而是有一明一暗两条线，引导学生建模，获得数学体验和方法.
一、明线：搭建“相遇问题”的模型
“相遇”这节课，如何让学生明确什么是相遇问题，并真正理解相遇问题的本质，是本节课的重中之重.我安排了六个环节，由浅入深，螺旋上升，引导学生逐步地揭开“相遇问题”的神秘面纱.
（一）以理想模型为起点
教材中的例题，是在实际公路上的相遇问题，路也不一定是一条直线，对于学生最初接触到相遇问题时，理解上有一定的难度.于是，我将“相遇问题”最基本的模型抽象出来，用“手指走路”这个游戏展示，是理想中的相遇问题.这样可以让学生更快地感知到“相遇”的几要素，抓住问题最典型的特征.
课堂片段：
师：（在黑板上画一条线段）在数学中，我们可以把它看成是一段路程.
师：（用食指和中指站立在线段的一端，两只手指交替在线段上前行）谁能用数学中的一个数量关系来描述我刚才的动作？
生：路程=速度×时间.
师：现在，我想邀请一位同学上来和老师一起走完这段路，谁想上来？
一位学生上来，和老师分别用手指站立在线段的两端，师喊“开始”，同时出发，相向而行，最终在线段上的某一点相遇.
师：谁能用数学的语言来描述一下，我们刚才是怎么走的？
生：从一段路的两端同时出发，相向而行，最终相遇.
师：（用大括号标注）这一段是老师走的路程，另外一段是学生走的路程，谁能用一个数量关系式来表示它们之间的关系？
生：老师走的路程 同学走的路程=总路程.
师：像这样“两人”从“两端”“同时”出发，“相向”而行，最终相遇，就是相遇问题，今天这节课，我们就来研究相遇问题.（板书：两人、两端、同时、相向）
这段短短的“路”中，学生观察思考、亲身体验，很快就理解了相遇的几要素，对相遇问题的最初印象，有了一个清晰的轮廓.
（二）从理想到现实
当然，生活中的相遇问题不可能都是这么理想化的，例题中就出示了学生生活中非常熟悉的乘车问题：
景宁到杭州的公路长540千米，一辆中巴车从景宁出发，每时行驶80千米，一辆小汽车从杭州出发，每时行驶100千米，两车同时开出，相向而行，经过几时相遇？
此题中，地点、车辆和事件都是学生们熟悉的，但是和导入又有所区别，导入中的线段是理想中的相遇问题，路程和线段图一样，都是直线，而景宁到杭州的路并不是一条直线，中巴车和小汽车也不会在高速公路上真的“相遇”，只是交错而过.但有了前面的铺垫，学生们很快就判断这是一道相遇问题，并写出了等量关系：中巴车行驶的路程 小汽车行驶的路程=总路程.
（三）从行程到工程
第三个环节，我设计了一道工程问题，因为虽然不是两辆车相遇，但是这还是在公路上进行的，学生理解起来并没有难度.
这时，相遇问题的范围明显拓宽了，不一定是行程问题，在工程问题中，两队从两端开始修路，最后在中间某点相遇，其本质也是一样的.为了让学生更加容易理解，这一题我选择了用线段图来展示.并向学生提问：这是相遇问题吗？引发学生去思考和比较，从而发现甲乙两队也是从公路的两端同时出发，相向而行，最终相遇.从图上，学生很容易得出：甲队修的路 乙队修的路=总路程.
（四）从实遇到虚遇
不管是行程问题还是工程问题，相向出发并相遇还是非常形象的，这样学生就很容易被思维定式：相遇问题一定要有相遇.在这个时候，及时出现下题就显得尤为重要：
有一份5700字的文件，由于时间紧急，安排甲、乙两名打字员同时开始录入，甲每分录入100个字，乙每分录入90个字，录完这份文件需用多长时间？
课堂片段：
师：这是相遇问题吗？
生：不是，这是打字，他们没有开车，也没有走路，不会相遇.
生：是，我觉得列算式的方法是一样的.
生：我认为可以看成是相遇问题，我们可以这样想象：如果把这些字打在一条长长的纸条上，甲乙分别从两端开始打，当两人一起把这些字打完的时候，他们俩就相遇了.
生：甲打的字 乙打的字=总字数，可以用前面几题的方法去做.所以，这也是一道相遇问题.
学生一开始认为不是相遇问题，到逐渐产生怀疑，最后用各种角度来说明它也可以归到相遇问题，学生脑子中的相遇就由前几道题的真实相遇到了虚拟相遇，思维的范围渐渐拓展，离相遇问题的本质也就越来越近了.
（五）总结提升，构建模型
课上到这里，学生也见识到了相遇问题的几种呈现方式，是该停下腳步，整理和思考一下了.于是，安排了对比和小结的环节.
课堂片段：
课件同时出示四个线段图和四条等量关系.
师：刚才，我们学习了四道题目，你发现它们之间有什么共同点？ 四人小组讨论.
生：这些都是相遇问题.
生：它们的等量关系都是差不多的.
生：我觉得它们都是有两个人、两个队或者两方一起做一件事情.
生：恩，它们都是合作完成一件事情.
师：是啊，只要是两者合作完成一件事情，我们都可以看成相遇问题，用我们今天学习的方法来解决.生活中还有什么事情是可以看成相遇问题的呢？
生：两个工程队盖房子、两人一起做零件……
自此，相遇问题的内涵得到了提升，学生心中已经有了一个清晰的模型，明白了只要两者合作完成一件事情，都可以看成相遇问题，就可以用今天所学的方程来解决.
（六）抓住本质，再次升华
但仅仅到这，并不是相遇问题模型的全部，在拓展部分出示了古代数学著作《九章算术》中的一道题目：今有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海.今凫雁俱起.问何日相逢.
这明显是一道相遇问题，但是总路程并没有告诉我们，如果我们把总路程看成是单位“1”的话，野鸭和大雁的速度也已知，即可根据“野鸭飞的路程 大雁飞的路程=总路程”来列出方程.
学生发现，当相遇问题的总路程或工作总量没有告知，而看成是单位“1”的话，题目就变成的工程问题.从本质上说，相遇问题就是工程问题的前身，此时，相遇问题的模型进一步得到了升华.
二、暗线：搭建用方程解应用题的解题策略的模型
在用方程解决相遇问题的过程中，“线段图—等量关系—列方程解决问题”是密不可分的三环节，为学生正确解决问题区分了梯度、降低了难度，也是学生必须掌握的几个策略.我安排了以下四个环节，层层递进，让学生在不知不觉中构建了解题策略的模型.
（一）初步认识线段图，体验等量关系
在导入部分，我先在黑板上画出一条线段，并和学生在线段上用手指走路，后面用大括号标注了教师走的部分和学生走的部分，写出了等量关系：教师走的路程 学生走的路程=总路程.此时，黑板上留下的板书其实就是一个线段图，学生充分经历了这个线段图形成的过程，并对线段图有了动态的认识，对等量关系有了初步的印象，为例题中学生自己尝试画线段图奠定了基础.并且，留在黑板上的板书，也是对后面不会画线段图的同学，提供了一个提醒和示范的作用.
（二）亲自设计线段图，说出等量关系
例题中，先是让学生用自己会的方法解决问题，有的学生用算术方法，也有的学生在黑板上的等量关系的迁移下，想到用方程解决问题.在展示了学生的方程后，我提问：你能看懂这个方程吗？能不能根据这个方程画出线段图呢？学生开始尝试画出线段图，在巡回指导的过程中，发现部分学生依照原来的平面图用弯曲的线来画，提醒学生在数学中我们可以把总路程抽象成一段直的线段.又有部分学生在画出总路程之后，不知道下一步该做什么，此时就提醒这些学生，看看黑板上的那个线段图，观察图中标注出了什么东西，并在线段图上说一说等量关系.
（三）依照线段说关系，尝试列出方程
在刚才的题目中，学生是由文字到方程，再画出线段图的，于是在下面的“工程队”的题目中，我故意不出现文字，而是直接出示线段图，让学生根据线段图，写出题目中的等量关系，并完成题目.于是这个环节的重点，就由上个环节的“画线段图”，转移到了“写等量关系”上来.能不能找准等量关系，是准确列出方程的关键，因此，这个环节值得我们去浓墨重彩地描绘.
教学片断：
师：观察这幅线段图，你能读懂什么？
生：有甲乙两个工程队，甲单每天修70米，乙每天修50米，他们一起修一条长1200米的公路，几天可以修完？
师：这是一道相遇问题吗？它和刚才的题目有什么相同和不同？
生：虽然他们不是走路和开车，但是他们也是从路的两端同时出发，相向而修，最终把路修完的时候就相遇了，所以我认为是相遇问题.
师：能说一说每一段线段表示什么意思吗？
生：左边是甲工程队修的公路，右边是乙工程队修的公路.合起来是总路程.
师：可以用一个等量关系来概括吗？
生：甲队修的路程 乙队修的路程=总路程.
（四）抓住本质建模型，独立解决问题
前面几个环节完成之后，学生对列方程解决相遇问题的解题步骤有了较清晰的认识，于是在“甲乙打字”的题目中，安排了鞏固练习，让学生说一说等量关系，再根据等量关系列出方程，并解决问题.
在这几个环节中，从线段图到等量关系到方程，虽然呈现的形式不同，但学生慢慢抓住了最本质的东西，就是“甲完成的 乙完成的=工作总量”.并利用这个关系列出方程，解决了问题.
新课标中明确指出：“让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，进而使学生获得对数学理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步与发展.”在“相遇”这节课中，让学生由浅入深的亲身经历了建模的过程，并让学生不断地提出质疑和解释，最终掌握了相遇问题的模型以及用方程解决相遇问题的数量关系的模型，两条线一明一暗，相辅相成，有效促进了学生建模思想的形成和解决问题能力的提升.
【参考文献】
[1]赵家臣.浅谈小学数学中相遇问题的教学[J].学周刊，2012（25）.
[2]叶萍恺.小学数学的“数学建模”教学策略[J].教育教学论坛，2012（04）.
[3]石俊华.行程问题教学浅议[J].内蒙古教育学院学报，1996（02）.