例谈解题心理过程

• 作 者: 王炜
• 出 处: 数学教学通讯·高中版
• 发表日期: 2017年1期
• 关键词: 不等式 函数 关系 题意 已有 方法

　　[摘 要] 对于解题者来说，记忆已有问题情境称为“源”，当前问题情境称为“靶”，在利用“源”问题解决“靶”问题的过程中，就是建立方法和结构的对应关系.
　　[关键词] 解题；“源”问题；“靶”问题；关系
　　导数、函数、数列、不等式综合问题是各省市高考数学命题的热点和难点，这类题涉及的知识点多，具有很强的综合性和灵活性，在高考题中以压轴题或把关题的形式出现，而解决这类问题的难点是运用导数知识证明不等式时构造适当的函数，或者在导数解决不等式问题的基础上解决与数列有关的不等式.
　　对于解题者来说，复杂问题是通过解题者的“渐悟”或“顿悟”来解决，类比思维和转化思想是解决此类问题最有效的策略之一，记忆已有问题情境称为“源”，当前问题情境称为“靶”，在利用“源”问题解决“靶”问题的过程中就是建立方法和结构的对应关系，如果“靶”问题与“源”问题结构上建立了对应关系，那么“源”问题可以直接类比使用于“靶”问题，从而使问题得到解决. 如果“靶”问题与“源”问题方法上建立了对应关系，那么“源”问题方法直接转化使用于“靶”问题；如果“靶”的问题与“源”问题在结构没有直接的对应关系，那么就通过解题者改选“源”的问题状态，使得改造后的状态与“靶”问题在结构上和方法上具有对应关系，从而顺利实现类比迁移，若不能实现“源”结构改造，那么就进行“靶”问题结构改造，使得“源”问题与“靶”问题在结构上和方法上建立对立关系，从而得到问题解决.
　　下面列举几例，谈谈如何寻找提取学生的“源”问题和经验（解题模式），并建立与当前问题“靶”的对应关系.
　　例1：已知函数f（x）=xlnx，g（x）=-x2 ax-3，a∈R.
　　（1）若对任意x∈（0， ∞），不等式f（x）≥g（x）恒成立，求a的取值范围；
　　（2）证明：对任意x∈（0， ∞），有lnx>-.
　　（2015年全国高中数学联赛陕西预赛题二试5题）
　　分析：学生做题第（1）之前，曾经做过这样一道试题：已知函数f（x）=xlnx，g（x）=x3 ax2-2x 3，若不等式f（x）≤·[g′（x） 3]恒成立，求实数a的取值范围.
　　试题是金太阳高中新课标卷单元测试示范卷数学BSD选修2-2第四单元第一次综合测试（20）题.
　　由题意知：2xlnx≤3x2 2ax 1对x∈（0， ∞）恒成立，可得：a≥lnx-x-对x∈（0， ∞）恒成立，设h（x）=lnx--，则h′（x）=- =-，令h′（x）=0得x=1，x=-.
　　当00，当x>1时，h′（x）<0，所以h（x）取得最大值h（1）=-2，所以a≥-2，所以a的取值范围是[-2， ∞）.
　　上面问题解题方法作为已有问题“源”，下面来看（1）问题“靶”.
　　由题意不等式f（x）≥g（x），对任意x∈（0， ∞）恒成立.
　　即xlnx≥（-x2 ax-3），对任意x∈（0， ∞）恒成立，可得ax≤2xlnx x2 3，对任意x∈（0， ∞）恒成立，可得a≤2lnx x ，对任意x∈（0， ∞）恒成立.
　　设h（x）=2lnx x ，则h′（x）= 1-==，令h′（x）=0，x=1或x=-3（舍）.
　　當01时，h′（x）>0，
　　所以x=1时，h（x）取得最小值，h（1）=4，所以a≤4，
　　所以a的取值范围是（-∞，4].
　　学生做第（2）问题之前，曾经做过2014年全国高考数学新课标（Ⅰ）卷（21）题：
　　设函数f（x）=aexlnx ，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线为y=e（x-1） 2，
　　（1）求a，b；（2）证明：f（x）>1.
　　第（1）问题：由题意可得f（1）=2，f′（1）=e，故a=1，b=2.
　　第（2）问题，由（1）知：f（x）=exlnx ，从而f（x）>1等价于xlnx>x·e-x-.
　　设函数g（x）=xlnx，则g′（x）=1 lnx，所以当x∈
　　内单调递减，在
　　， ∞
　　内单调递增，从而g（x）在（0， ∞）上的最小值为g
　　= -. 设函数h（x）=xe-x-，则h′（x）=e-x（1-x），所以当x∈（0，1）时，h′（x）>0，故h（x）在（0，1）内单调递增，当x∈（1， ∞）时，h′（x）<0在（1， ∞）内单调递减，从而h（x）上的最大值h（1）=-，综上所述当x>0时，g（x）≥-≥h（x）. 由于在（0， ∞）内两个等号成立的x取值不同，故g（x）>h（x），即f（x）>1.
　　上面问题的解决方法作为已有问题“源”，下面来看原问题“靶”.
　　由题意，对任意x∈（0， ∞），有xlnx>-与上述问题结论完全一样，从而得出解答.
　　变式训练：已知f（x）=xlnx，g（x）=-x2 ax-6，
　　（1）求函数f（x）的最小值；
　　（2）对一切x∈（0， ∞），f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围.
　　例2：（1）证明：对任意的x>0，y>0，有：≥-·（x-y）；
　　（2）证明：C C C … C≥.
　　（2009年陕西全国高中数学联赛预赛题测试（四））
　　分析：学生做这道试题以前，曾做了这样一道试题：
　　已知数列{an}的a1=，an 1=，n=1，2，…，
　　（1）求{an}的通项公式；（2）证明：对任意的x>0，an≥-
　　-x 　　，
　　n=1，2，3，…；
　　（3）证明：a1 a2 … an>（2008年全国高考数学陕西卷（理科）第22题）
　　解：（1）由an 1=，有= ，-1=
　　则a1 a2 … an≥=>，原不等式成立.
　　上面问题的解题方法，作为已有问题“源”，下面来看原问题“靶”.
　　证明：（1）因为- （x-y）= （x-y）=
　　-
　　=≥0，故原不等式成立.
　　取y==，得C C … C≥=，
　　故原不等式成立.
　　例3：已知数列{xn}满足x1=，xn 1=（n∈N*），
　　（1）猜想数列{xn}的单调性，并证明你的结论；
　　（2）证明：
　　（2009年全国高考数学理科试卷（陕西卷）22题）
　　分析：学生做这道试题之前，曾做了这样一道试题：
　　已知函数f（x）=，数列{an}，{bn}满足a1>0，b1>0，an=f（an-1），bn=f（bn-1），n=2，3，….
　　（1）求a1的取值范围，使得对任意的正整数，都有an 1>an；
　　（2）若a1=3，b1=4，求证：0　　（2009年全国高中数学联赛陕西赛区预选赛试题13题）
　　注意到an>0（n∈N*），要使an 1>an，只需a2>a1，>a1，解得0　　（2）当a1=3时，由（1）知an 1>an，只需>an，解得0　　又因为a1=3，所以3≤an<（n∈N*）.
　　当b1=4时，由（1）知bn 1≤bn，得≤bn≤4（n∈N*）.
　　于是：bn-an=（-）=·（bn-1-an-1）≤×（bn-1-an-1）=（bn-1-an-1）≤（bn-2-an-2）
　　≤…≤（b1-a1）=.
　　综上所述0　　上面問题解答方法作为已有问题的“源”，下面来看原问题“靶”
　　证明：（1）由x1=，xn 1=，得x2=，
　　x3===，x4===，x5===，
　　x6===.
　　由x2>x4>x6，猜想{x2n}是递减数列，下面证明：x2n 2　　因为x1=>0，xn=>0（n∈N*），x4-x2<0，
　　所以x2n 2-x2n<0， 所以x2n 2　　下面用数学归纳法证明
　　（1）当n=1时，已证命题成立.
　　（2）假设n=k时，命题成立，即x2k 2　　已知xk>0，
　　那么x2k 2-x2k 4
　　即x2k（k 1）>x2（k 1） 2，
　　也就是说 当n=k 1时命题成立，结合（1）和（2）知命题成立.
　　（2）当n=1时
　　故原不等式成立.
　　总之，在新的问题情境中，学生依据“靶”问题的初始状态，把例题选择为“源”问题的首选，其次才是自己做的数学问题，学生在解决对自己来说有一定困难的问题，都需要积极思维，努力在自己的记忆中寻长并提取“源”的问题，以期与“靶”问题进行类比.
　　例题教学，对解题的作用，首先让学生自己体会更为一般的解题策略，其次是如何将其应用于具体问题，以此树立解题的“榜样”和操作的“示范”，旨在为学生的高效解题提供有力的参考.