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模型思想是《数学课程标准》新增的四个核心概念之一，并在课程设计思路中强调“要重视学生已有的经验，使学生体验从实际背景中抽象出数学问题、构建数学模型、寻求结果、解决问题的过程”。模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径，所以模型思想的渗透应该贯穿于数学教学的始终。
数学模型，一般是指用数学语言、符号或图形等形式来刻画、描述、反映特定的问题或事物之间关系的数学结构。数学模型的表现形式为概念系统、算法系统、关系、定律等，具有一般化、典型化和精确化的特点。学生学习数学的过程，实际上是对一系列数学模型的理解、把握、应用的过程，所以数学模型在“图形与几何”教学中有着不可替代的作用。本文结合自己的教学实践，就“图形与几何”领域教学中如何渗透建模思想和提高教学效益，谈一些粗浅的认识，以期抛砖引玉，共同提高。
一、经历“生活原型——数学模型”的抽象过程
空间想象能力具有较强的抽象性，需要不断地从具体实物中抽象出数学模型，实现生活原型到数学模型的过渡。因此，课堂教学中，教师要充分利用一些典型的生活素材和实际问题，创设符合学生实际的生活情境，为构建模型提供丰富的感性体验，引导学生积极主动地构建数学模型，有利于学生体会和感悟模型思想。
案例：教学“体积”
师（将两个大小相同的杯子装上同样多的水，把一块石头浸没在其中的一个杯子里）：你发现了什么？
生1：水面比原来升高了。
师：为什么升高呢？杯子中的水增加了？
生2：不是的，是石头占了一部分水的空间，把水“挤”高了。
师：这位同学说得很好，实际上地球上的物体都占有一定的空间。
师（再拿一块较大的石头放入另一个杯子里）：你又发现了什么？
生3：水面比第一个杯子里的水面高。
师：你知道这是为什么吗？
生4：第二次放的石头比第一次的大。
师：你能用数学的语言说说吗？
……
“数学来源于生活，又服务于生活”，有效建模是联结数学与生活的桥梁。鲜活的素材应当来源于学生的生活现实，可以是学生在生活中看到的、听到的、感受到的，也可以是他们在数学或其他学科学习过程中能够思考和操作的属于思维层面的现实。上述教学中，“体积”这一概念模型比较抽象，但学生在生活中对于“×××的位子被占了”这些感性体验比较丰富，于是我立足于学生的这些生活经验，使抽象的数学概念有了丰富的表象作支撑，学生很自然地理解了物体所占空间有大有小，并能用数学语言说出体积的概念。因此，学习素材应尽量来源于社会、自然与科学中的现象和问题，且这些现象与问题应当包括一定的数学价值。
二、经历“已有模型——新建模型”的创造过程
荷兰数学教育家弗赖塔尔反复强调：“学习数学的唯一正确方法是实行再创造，也就是由学生本人把要学的东西自己去发现创造出来，教师的任务是引导和帮助学生进行这种再创造，而不是把现行的知识灌输给学生。”从某种意义上说，数学本身就是主体建构的一种产物，应该是活的、动态的、开放的。学生的“再创造”必须经过自己的探究、发现，所以教师教学中应当让学生经历自主探索、自主构建数学模型的过程。
案例：教学“三角形的面积”
师：这节课学习三角形面积，你们准备如何来研究它？
生1：我想研究它与学过的什么图形有关。
生2：我想把它转化成已学过的图形。
师：你们的想法都有道理。每个小组的桌上都有学具，利用这些学具进行操作、研究，看能否发现三角形面积的计算公式。（学生分组进行操作、研究）
师：谁愿意把自己小组的研究情况展示给大家？
生3：我用两个三角形拼成了一个长方形，也可以拼成一个平行四边形。
生4：我也是用两个三角形拼成了一个长方形。
师：很好。你们的研究结果呢？
生5：因为原三角形的底等于长方形的长，原三角形的高等于长方形的宽，所以三角形面积=长方形面积÷2=底×高÷2。
师：为什么要除以2？
生5：因为要用两个完全一样的三角形才能拼成一个长方形，所以求一个三角形的面积要除以2。
师：真会动脑筋。还有不一样的方法吗？
生6：把平行四边形沿对角线剪开，得到两个一样的三角形，所以三角形面积=底×高÷2。
……
在这个教学案例中，学生最大的收获莫过于他们主动参与了建模的各个环节。教师提出三角形如何来研究的问题，唤醒学生已有的数学模型，为构建新模型打下了良好的基础。学生通过独立思考、操作、交流，探索出了三角形的面积=底×高÷2。“三角形面积的计算公式”这一模型的构建过程，是学生“创造数学”的生动过程。几何图形的教学应该从学生的生活经验和已有的知识出发，给学生呈现现实的、有意义的、富有挑战性的问题，在问题解决的过程中，引导学生进行观察、操作、比较、分析、综合、归纳、建构等一系列探究活动，获得“数学再创造”的实际体验，品尝到数学探索成功的喜悦。
三、经历“问题解决——模型构建”的探索过程
《数学课程标准》中指出：“模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径，建立和求解模型的过程包括：从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立表示数学问题中的数量关系和变化规律，求出结果并讨论结果的意义。”我在“三角形的三边关系”一课教学中，为让学生建立“三角形的两边之和大于第三边”的数学模型，设计了“制造问题——发现问题——解决问题——建立模型”的教学路径，使数学模型得以能动的构建。
案例：教学“三角形的三边关系”
师（请学生从材料袋中取出一根吸管）：你们能将这根吸管剪成三段并围成一个三角形吗？ 生（信心十足）：能！（学生有的成功围成了三角形，有的则围不成）
师：操作过程中有什么问题吗？
生1：老师，我剪的三段吸管怎么围不成三角形呢？
师：看来，不是随便剪成三段就可以围成三角形的，这里面隐藏着什么秘密？能不能把没有围成的“作品”贡献出来供大家研究？
师（出示下图）：这三根吸管肯定围不成三角形吗？
■
生2：另两根吸管斜一点，或许三角形就可能围成。
师演示过程如下：
■
生3：我知道为什么围不成三角形了，因为这两根吸管合起来没有第三根长。
师：是啊，由此你们可以得到什么结论？
生4：当两根吸管的长度之和小于第三根时，不能围成三角形。
师：那两根吸管的长度和多长时，就能围成三角形呢？
生5：我猜两根吸管的长度和与第三根一样长时，能围成三角形。
生6：我猜两根吸管的长度和比第三根长时，才能围成三角形。
师：大家的猜测对不对呢？我们再来做一次实验。请同桌每人拿一根吸管，合作完成这两个实验。（不一会儿，学生通过实验知道两根吸管的长度和与第三根一样长时不能围成三角形，只有当两根吸管的长度和比第三根长时才能围成三角形）
……
让学生任意剪吸管，会出现许多不确定因素，即有的学生能围成三角形，有的围不成。教师成功地让学生发现问题，产生认知冲突，进而产生了进一步研究的欲望。学生在交流中，经验得以分享；在质疑中，模型得以显现；在补充中，意义得以拓展。显然，学生对这个数学模型构建过程的体验是深刻的，是学生经历问题发现、探究、解决的过程。虽然经过一波三折才逐渐揭开数学神秘的面纱，但这样的过程，使学生的学习更真实，探究的结果更可信，记忆也就更深刻。
四、经历“猜想验证——模型建构”的思维过程
数学是一门逻辑性很强的学科，要变“被动接受”为“主动建构”，思维是核心。“图形与几何”领域中有许多性质、特征、公式的教学，可以让学生通过猜想、验证的方法，亲身经历模型的建构过程。猜想是依据已有的材料或知识经验，做出符合一定规律或事实的推测性想象。对于探索或发现性学习来说，猜想是一种重要的思维方法。让学生验证自己的猜想，使学生在验证过程中发现新的问题，并在解决新问题的过程中完善自己的猜想，发挥创造才能，最终发现规律。这样的学习过程可以概括为“提出猜想——进行验证——自我反思——建立模型”，这不仅是一个主动学习的过程，更是一个发现学习、能动建模、创新学习的过程。
例如，在“长方形、正方形面积”的练习课上，我设计了这样一题：“一个长方形的长是15厘米，剪去一个最大的正方形后，求剩下的小长方形的周长。”围绕这个问题，我设计了如下的教学流程：一是提供材料引出疑问，即“长方形的宽不一定，怎样求剩下的小长方形的周长”。二是引导学生提出猜想或假设。有的学生假设原长方形的宽为12厘米时，剩下的小长方形的周长是30厘米。这时有学生提出质疑：“如果宽是9厘米，小长方形的周长还是30厘米吗？”三是让学生进行验证。如当宽为10厘米、8厘米等不同数据时，剩下的小长方形周长都是30厘米。四是引导学生反思。“不管宽是多少，剪去一个最大的正方形后剩下的小长方形的周长是一个固定不变的值，这是为什么？”五是建立模型。长方形的长是a，宽是b，剪去一个最大的正方形后剩下的小长方形的长为b，宽是a-b，周长等于（b a-b）×2=2a，剩下小的长方形的周长就是原来长方形的长的2倍……学生主要围绕原长方形的宽究竟是多少展开讨论、探究，当有学生提出对假设的方法进行赋值时，其他学生对其可靠性和正确性心存疑虑。我从学生有疑入手，引导学生通过假设寻找规律，让学生自己经历主动建构的过程，体会到验证也是自主建模的好方法。
著名数学家怀特海说过：“数学就是对于模式的研究。”在“图形与几何”教学中运用模型思想组织教学，能使学生深刻地理解数学知识的丰富内涵，感悟数学与现实生活的密切联系，使教学收到事半功倍的效果。在教学过程中渗透数学模型思想，引导学生亲历数学模型的建构过程，既是实际问题数学化的过程，也是思维训练的过程。因此，在课堂教学中，引导学生建立数学模型思想，必将有助于提高学生发现数学、创造数学、运用数学的能力，使学生日后也能像数学家那样尝试用模型思想解决生活中的实际问题。
（责编 杜 华）
数学模型，一般是指用数学语言、符号或图形等形式来刻画、描述、反映特定的问题或事物之间关系的数学结构。数学模型的表现形式为概念系统、算法系统、关系、定律等，具有一般化、典型化和精确化的特点。学生学习数学的过程，实际上是对一系列数学模型的理解、把握、应用的过程，所以数学模型在“图形与几何”教学中有着不可替代的作用。本文结合自己的教学实践，就“图形与几何”领域教学中如何渗透建模思想和提高教学效益，谈一些粗浅的认识，以期抛砖引玉，共同提高。
一、经历“生活原型——数学模型”的抽象过程
空间想象能力具有较强的抽象性，需要不断地从具体实物中抽象出数学模型，实现生活原型到数学模型的过渡。因此，课堂教学中，教师要充分利用一些典型的生活素材和实际问题，创设符合学生实际的生活情境，为构建模型提供丰富的感性体验，引导学生积极主动地构建数学模型，有利于学生体会和感悟模型思想。
案例：教学“体积”
师（将两个大小相同的杯子装上同样多的水，把一块石头浸没在其中的一个杯子里）：你发现了什么？
生1：水面比原来升高了。
师：为什么升高呢？杯子中的水增加了？
生2：不是的，是石头占了一部分水的空间，把水“挤”高了。
师：这位同学说得很好，实际上地球上的物体都占有一定的空间。
师（再拿一块较大的石头放入另一个杯子里）：你又发现了什么？
生3：水面比第一个杯子里的水面高。
师：你知道这是为什么吗？
生4：第二次放的石头比第一次的大。
师：你能用数学的语言说说吗？
……
“数学来源于生活，又服务于生活”，有效建模是联结数学与生活的桥梁。鲜活的素材应当来源于学生的生活现实，可以是学生在生活中看到的、听到的、感受到的，也可以是他们在数学或其他学科学习过程中能够思考和操作的属于思维层面的现实。上述教学中，“体积”这一概念模型比较抽象，但学生在生活中对于“×××的位子被占了”这些感性体验比较丰富，于是我立足于学生的这些生活经验，使抽象的数学概念有了丰富的表象作支撑，学生很自然地理解了物体所占空间有大有小，并能用数学语言说出体积的概念。因此，学习素材应尽量来源于社会、自然与科学中的现象和问题，且这些现象与问题应当包括一定的数学价值。
二、经历“已有模型——新建模型”的创造过程
荷兰数学教育家弗赖塔尔反复强调：“学习数学的唯一正确方法是实行再创造，也就是由学生本人把要学的东西自己去发现创造出来，教师的任务是引导和帮助学生进行这种再创造，而不是把现行的知识灌输给学生。”从某种意义上说，数学本身就是主体建构的一种产物，应该是活的、动态的、开放的。学生的“再创造”必须经过自己的探究、发现，所以教师教学中应当让学生经历自主探索、自主构建数学模型的过程。
案例：教学“三角形的面积”
师：这节课学习三角形面积，你们准备如何来研究它？
生1：我想研究它与学过的什么图形有关。
生2：我想把它转化成已学过的图形。
师：你们的想法都有道理。每个小组的桌上都有学具，利用这些学具进行操作、研究，看能否发现三角形面积的计算公式。（学生分组进行操作、研究）
师：谁愿意把自己小组的研究情况展示给大家？
生3：我用两个三角形拼成了一个长方形，也可以拼成一个平行四边形。
生4：我也是用两个三角形拼成了一个长方形。
师：很好。你们的研究结果呢？
生5：因为原三角形的底等于长方形的长，原三角形的高等于长方形的宽，所以三角形面积=长方形面积÷2=底×高÷2。
师：为什么要除以2？
生5：因为要用两个完全一样的三角形才能拼成一个长方形，所以求一个三角形的面积要除以2。
师：真会动脑筋。还有不一样的方法吗？
生6：把平行四边形沿对角线剪开，得到两个一样的三角形，所以三角形面积=底×高÷2。
……
在这个教学案例中，学生最大的收获莫过于他们主动参与了建模的各个环节。教师提出三角形如何来研究的问题，唤醒学生已有的数学模型，为构建新模型打下了良好的基础。学生通过独立思考、操作、交流，探索出了三角形的面积=底×高÷2。“三角形面积的计算公式”这一模型的构建过程，是学生“创造数学”的生动过程。几何图形的教学应该从学生的生活经验和已有的知识出发，给学生呈现现实的、有意义的、富有挑战性的问题，在问题解决的过程中，引导学生进行观察、操作、比较、分析、综合、归纳、建构等一系列探究活动，获得“数学再创造”的实际体验，品尝到数学探索成功的喜悦。
三、经历“问题解决——模型构建”的探索过程
《数学课程标准》中指出：“模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径，建立和求解模型的过程包括：从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立表示数学问题中的数量关系和变化规律，求出结果并讨论结果的意义。”我在“三角形的三边关系”一课教学中，为让学生建立“三角形的两边之和大于第三边”的数学模型，设计了“制造问题——发现问题——解决问题——建立模型”的教学路径，使数学模型得以能动的构建。
案例：教学“三角形的三边关系”
师（请学生从材料袋中取出一根吸管）：你们能将这根吸管剪成三段并围成一个三角形吗？ 生（信心十足）：能！（学生有的成功围成了三角形，有的则围不成）
师：操作过程中有什么问题吗？
生1：老师，我剪的三段吸管怎么围不成三角形呢？
师：看来，不是随便剪成三段就可以围成三角形的，这里面隐藏着什么秘密？能不能把没有围成的“作品”贡献出来供大家研究？
师（出示下图）：这三根吸管肯定围不成三角形吗？
■
生2：另两根吸管斜一点，或许三角形就可能围成。
师演示过程如下：
■
生3：我知道为什么围不成三角形了，因为这两根吸管合起来没有第三根长。
师：是啊，由此你们可以得到什么结论？
生4：当两根吸管的长度之和小于第三根时，不能围成三角形。
师：那两根吸管的长度和多长时，就能围成三角形呢？
生5：我猜两根吸管的长度和与第三根一样长时，能围成三角形。
生6：我猜两根吸管的长度和比第三根长时，才能围成三角形。
师：大家的猜测对不对呢？我们再来做一次实验。请同桌每人拿一根吸管，合作完成这两个实验。（不一会儿，学生通过实验知道两根吸管的长度和与第三根一样长时不能围成三角形，只有当两根吸管的长度和比第三根长时才能围成三角形）
……
让学生任意剪吸管，会出现许多不确定因素，即有的学生能围成三角形，有的围不成。教师成功地让学生发现问题，产生认知冲突，进而产生了进一步研究的欲望。学生在交流中，经验得以分享；在质疑中，模型得以显现；在补充中，意义得以拓展。显然，学生对这个数学模型构建过程的体验是深刻的，是学生经历问题发现、探究、解决的过程。虽然经过一波三折才逐渐揭开数学神秘的面纱，但这样的过程，使学生的学习更真实，探究的结果更可信，记忆也就更深刻。
四、经历“猜想验证——模型建构”的思维过程
数学是一门逻辑性很强的学科，要变“被动接受”为“主动建构”，思维是核心。“图形与几何”领域中有许多性质、特征、公式的教学，可以让学生通过猜想、验证的方法，亲身经历模型的建构过程。猜想是依据已有的材料或知识经验，做出符合一定规律或事实的推测性想象。对于探索或发现性学习来说，猜想是一种重要的思维方法。让学生验证自己的猜想，使学生在验证过程中发现新的问题，并在解决新问题的过程中完善自己的猜想，发挥创造才能，最终发现规律。这样的学习过程可以概括为“提出猜想——进行验证——自我反思——建立模型”，这不仅是一个主动学习的过程，更是一个发现学习、能动建模、创新学习的过程。
例如，在“长方形、正方形面积”的练习课上，我设计了这样一题：“一个长方形的长是15厘米，剪去一个最大的正方形后，求剩下的小长方形的周长。”围绕这个问题，我设计了如下的教学流程：一是提供材料引出疑问，即“长方形的宽不一定，怎样求剩下的小长方形的周长”。二是引导学生提出猜想或假设。有的学生假设原长方形的宽为12厘米时，剩下的小长方形的周长是30厘米。这时有学生提出质疑：“如果宽是9厘米，小长方形的周长还是30厘米吗？”三是让学生进行验证。如当宽为10厘米、8厘米等不同数据时，剩下的小长方形周长都是30厘米。四是引导学生反思。“不管宽是多少，剪去一个最大的正方形后剩下的小长方形的周长是一个固定不变的值，这是为什么？”五是建立模型。长方形的长是a，宽是b，剪去一个最大的正方形后剩下的小长方形的长为b，宽是a-b，周长等于（b a-b）×2=2a，剩下小的长方形的周长就是原来长方形的长的2倍……学生主要围绕原长方形的宽究竟是多少展开讨论、探究，当有学生提出对假设的方法进行赋值时，其他学生对其可靠性和正确性心存疑虑。我从学生有疑入手，引导学生通过假设寻找规律，让学生自己经历主动建构的过程，体会到验证也是自主建模的好方法。
著名数学家怀特海说过：“数学就是对于模式的研究。”在“图形与几何”教学中运用模型思想组织教学，能使学生深刻地理解数学知识的丰富内涵，感悟数学与现实生活的密切联系，使教学收到事半功倍的效果。在教学过程中渗透数学模型思想，引导学生亲历数学模型的建构过程，既是实际问题数学化的过程，也是思维训练的过程。因此，在课堂教学中，引导学生建立数学模型思想，必将有助于提高学生发现数学、创造数学、运用数学的能力，使学生日后也能像数学家那样尝试用模型思想解决生活中的实际问题。
（责编 杜 华）