论文部分内容阅读
摘 要： 数学解题是数学学习的重要组成部分，在培养学生的思维能力方面具有特殊的功能。掌握正确的思维方法，寻求正确的解题途径，也就成了数学学习的核心内容。作者结合自身的教学经验，介绍了数学解题的方法。
关键词： 数学解题 换位思考 逆向思维 联想法 变形
由于学生在数学方面经常受思维定势（即思维的固有模式中习惯性）的影响，常常习惯于抓问题的正面，从已知条件入手，逐步分析，求得结论。这在很多情形下，有助于快速形成正确思路，从而解决问题。但当正面入手比较困难时，就要重新审视问题，若另辟蹊径，转变解决问题的角度，则往往可以打破僵局、化难为易，收到事半功倍之效果。
一、换位思考，找本质
相传数学家苏步青小时候，曾在电车上碰到一位有名的外国数学家，这位数学家给他出了这样一道应用题。
例1：甲乙两人同时从相距100千米的东西两地相向而行，甲每小时走6千米，乙每小时走4千米。甲带着一只狗，狗每小时走10千米，这只狗同甲一道出发，碰到乙后立刻调头朝甲走，碰到甲后立刻调头朝乙走，直到两人相遇，问这只狗一共走了多少千米？
苏步青很快就给出了答案：狗一共走了100千米。在这里不能被这只狗在甲乙两人之间来回走（包括来回多少次，每一次走多远等）所蒙蔽，要抓住问题的实质，在已知狗的速度的前提下，只要知道狗走的时间就可以求出狗所走的路程，而狗所走的时间就是甲乙两人相遇的时间，不需要分段求出时间再逐步累加，因此答案就能很快求出。
观察问题的特点，抓住问题的关键，就能够找出最佳的解决问题的方法。
二、逆向思维抓特点
例2：有一农村妇女，提一篮鸡蛋到集镇上去卖，路经四座桥，每座桥上要收鸡蛋总数的一半再加半个作为过桥费，过完四座桥后，正好篮中鸡蛋为零个，问妇女原先篮中的鸡蛋有多少？
本题若从条件思考，列方程并解方程将问题解决，略显麻烦，但从最后结论出发，反向思考问题，可直接得出答案，原有鸡蛋15个，因为到最后一座桥时只剩一个鸡蛋，依此类推，原有15个鸡蛋，问题显得简单明了。
三、联想法求路径
人们的思维由当前感知的事物特征回忆起另一相关事物相似、相近或相同特征的心理现象即为联想，它可以沟通数学对象中未知与已知，新与旧知识间的联系，且不仅对掌握数学知识，发展思维能力有积极意义，而且有利于提高解题速度和能力。
例3：如图，在平面直角坐标系中，已知点C（-3，0），点A、B分别在X轴、Y轴的正半轴上，且满足+|OA-1|=0，若点P从C出发，以每秒1个单位的速度沿射线CB运动，问：是否存在点P，使以A、B、P为顶点的三角形与△AOB相似？若存在，试写出点P的坐标；若不存在，请说明理由。
解析：由题意知：
OB-3=0，OA-1=0.
得OB=，OA=1.
所以AB=2，BC=2.
所以AB+BC=16=AC，所以AB⊥BC.
假设存在点P，使以A、B、P为顶点的三角形与三角形AOB相似，则对应相等的锐角有两种情况：
（1）当∠APB=∠ABO时，△APB∽△ABO.
则∠APB=30°，AP=2AB=4，
此时存在点P（-3，0）和点P（3，2）.
△APB∽△BAO，可得BP=.
此时存在点P（-1，-）和点P（1，）.
评注：本题涉及相似三角形，且对应关系是不确定的，由此联想到对这一问题必须分类讨论。这种分类比较，往往能促使学生认识一个事物与另一事物的相同处和不同处，从而更好地把握事物的本质属性。
四、变型构造出特点求解
例4：已知ab≠1，5a+2011a+8=0，8b+2011b+5=0，则=?摇?摇?摇?摇.
分析：因为b≠0，所以8b+2011b+5=0，可化为5（）+2011×+8=0.
由此发现与另一等式的形式相同，故可设a、为一元二次方程5x+2011x+8=0的二根，根据根与系数关系有=a·=.
点评：结合已知条件，有目的地对某条件等式进行变形处理，进而构造方程，再利用根与系数的关系解决问题。
事物的发展都遵循一定的规律，只要在学习中善于寻找规律，发现规律，不断总结，就能提高数学解题能力。
关键词： 数学解题 换位思考 逆向思维 联想法 变形
由于学生在数学方面经常受思维定势（即思维的固有模式中习惯性）的影响，常常习惯于抓问题的正面，从已知条件入手，逐步分析，求得结论。这在很多情形下，有助于快速形成正确思路，从而解决问题。但当正面入手比较困难时，就要重新审视问题，若另辟蹊径，转变解决问题的角度，则往往可以打破僵局、化难为易，收到事半功倍之效果。
一、换位思考，找本质
相传数学家苏步青小时候，曾在电车上碰到一位有名的外国数学家，这位数学家给他出了这样一道应用题。
例1：甲乙两人同时从相距100千米的东西两地相向而行，甲每小时走6千米，乙每小时走4千米。甲带着一只狗，狗每小时走10千米，这只狗同甲一道出发，碰到乙后立刻调头朝甲走，碰到甲后立刻调头朝乙走，直到两人相遇，问这只狗一共走了多少千米？
苏步青很快就给出了答案：狗一共走了100千米。在这里不能被这只狗在甲乙两人之间来回走（包括来回多少次，每一次走多远等）所蒙蔽，要抓住问题的实质，在已知狗的速度的前提下，只要知道狗走的时间就可以求出狗所走的路程，而狗所走的时间就是甲乙两人相遇的时间，不需要分段求出时间再逐步累加，因此答案就能很快求出。
观察问题的特点，抓住问题的关键，就能够找出最佳的解决问题的方法。
二、逆向思维抓特点
例2：有一农村妇女，提一篮鸡蛋到集镇上去卖，路经四座桥，每座桥上要收鸡蛋总数的一半再加半个作为过桥费，过完四座桥后，正好篮中鸡蛋为零个，问妇女原先篮中的鸡蛋有多少？
本题若从条件思考，列方程并解方程将问题解决，略显麻烦，但从最后结论出发，反向思考问题，可直接得出答案，原有鸡蛋15个，因为到最后一座桥时只剩一个鸡蛋，依此类推，原有15个鸡蛋，问题显得简单明了。
三、联想法求路径
人们的思维由当前感知的事物特征回忆起另一相关事物相似、相近或相同特征的心理现象即为联想，它可以沟通数学对象中未知与已知，新与旧知识间的联系，且不仅对掌握数学知识，发展思维能力有积极意义，而且有利于提高解题速度和能力。
例3：如图，在平面直角坐标系中，已知点C（-3，0），点A、B分别在X轴、Y轴的正半轴上，且满足+|OA-1|=0，若点P从C出发，以每秒1个单位的速度沿射线CB运动，问：是否存在点P，使以A、B、P为顶点的三角形与△AOB相似？若存在，试写出点P的坐标；若不存在，请说明理由。
解析：由题意知：
OB-3=0，OA-1=0.
得OB=，OA=1.
所以AB=2，BC=2.
所以AB+BC=16=AC，所以AB⊥BC.
假设存在点P，使以A、B、P为顶点的三角形与三角形AOB相似，则对应相等的锐角有两种情况：
（1）当∠APB=∠ABO时，△APB∽△ABO.
则∠APB=30°，AP=2AB=4，
此时存在点P（-3，0）和点P（3，2）.
△APB∽△BAO，可得BP=.
此时存在点P（-1，-）和点P（1，）.
评注：本题涉及相似三角形，且对应关系是不确定的，由此联想到对这一问题必须分类讨论。这种分类比较，往往能促使学生认识一个事物与另一事物的相同处和不同处，从而更好地把握事物的本质属性。
四、变型构造出特点求解
例4：已知ab≠1，5a+2011a+8=0，8b+2011b+5=0，则=?摇?摇?摇?摇.
分析：因为b≠0，所以8b+2011b+5=0，可化为5（）+2011×+8=0.
由此发现与另一等式的形式相同，故可设a、为一元二次方程5x+2011x+8=0的二根，根据根与系数关系有=a·=.
点评：结合已知条件，有目的地对某条件等式进行变形处理，进而构造方程，再利用根与系数的关系解决问题。
事物的发展都遵循一定的规律，只要在学习中善于寻找规律，发现规律，不断总结，就能提高数学解题能力。