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【内容摘要】新课标下，随着导数学习的不断深入，高考要求的不断的提高，导数在高考中显得越来越重要，它已经是高考必考内容之一，尤其在曲线切线方程，函数单调性，极值最值，不等式的证明中发挥重要作用。
【关键词】导数；单调性；切线；几何意义；最值。
导数是高中数学中一个重要内容，导数本身已经成为解决数学问题的重要工具，不论是研究函数的性质，还是解决不等式的问题和方程根的问题，还是解决曲线的切线问题，导数都发挥着非常重要的作用，在近几年的高考中，对导数的考查在逐步加强。一般的高考对导数的考查形式多样，难易均有，可以在选择题和填空题中出现，主要以导数的运输、导数的几何意义、导数的应用为主，也更容易在解答题中出现，有时候作为压轴题，这是主要考查导数的综合应用，往往与函数、方程、不等式、数列、解析几何等联系在一起。
有关导数在函数中的应用主要类型有：求函数的切线，判断函数的单调性，求函数的极值和最值，利用函数的单调性证明不等式，这些类型成为近两年最闪亮的热点，是高中数学学习的重点之一，也是“新课标”下高考的重点。
一、用导数求函数的切线
例题1：已知曲线y=13x3+43.
（1）求曲线在点P（2，4）处的切线方程；（2）求曲线过点P（2，4）的切线方程；
分析：根据导数的几何意义求解。
【解析】 （1）∵y′=x2，
∴在点P（2，4）处的切线的斜率k=y′|x=2=22=4，
∴曲线在点P（2，4）处的切线方程为y-4=4（x-2），即4x-y-4=0；
（2）设曲线y=13x3+43与过点P（2，4）的切线相切于点A（x0，13x30+43），则切线的斜率k=y′| x=x0=x20.∴切线方程为y-（13x30+43）=x20（x-x0），
即y=x20·x-23x30+43.
∵点P（2，4）在切线上，∴4=2x20-23x30+43，
即x30-3x20+4=0，解得x0=-1或x0=2.
故所求切线方程为4x-y-4=0或x-y+2=0；
方法提升：①在求曲线的切线方程时，注意两个“说法”：求曲线在点P处的切线方程和求曲线过点P的切线方程，在点P处的切线，一定是以点P为切点，过点P的切线，不论点P在不在曲线上，点P不一定是切点.
②求过点P的曲线的切线方程的步骤为：先设出切点坐标为（x0，y0），然后写出切线方程y-y0=f′（x0）·（x-x0），最后代入点P的坐标，求出（x0，y0）.
注意：在解三次關于x0的方程时，学生困难很大，主要不知如何解。常见的方法有因式分解法和多项式的除法（先猜出一个根，p点的横坐标为一根，再用除法既可）
二、用导数判断函数的单调性
例题2：已知函数f（x）=x3-ax-1.若f（x）在R上单调递增，求实数a的取值范围；
分析：根据增减函数的充要条件。
【解析】 由已知得f′（x）=3x2-a.
∵f（x）在（-∞，+∞）上是单调增函数，
∴f′（x）=3x2-a≥0在（-∞，+∞）上恒成立，
即a≤3x2对x∈R恒成立，
∵3x2≥0，∴只需a≤0，
又∵a=0时，{f′（x）}=32≥0，
故f（x）=x3-1在R上是增函数，∴a≤0.
方法提升：利用导数判断函数的单调性的步骤是：
（1）确定f（x）的定义域；（2）求导数f′（x）；
（3）在函数f（x）的定义域内解不等式f′（x）>0和f′（x）<0；
（4）已知函数的单调性，求参数的取值范围，应注意函数f（x）在（a，b）上递增（或递减）的充要条件应是f′（x）≥0（或f′（x）≤0，x∈（a，b）恒成立，且f′（x）在（a，b）的任意子区间内都不恒等于0，这就是说，函数{f（x）}在区间上的增减性并不排斥在区间内个别点处有f′（x0）=0，甚至可以在无穷多个点处f′（x0）=0，只要这样的点不充满所给区间的任何一个子区间.
注意：增减区间不能用并集，可以举例 的单调性
三、用导数求函数的极值
例题3：已知函数f（x）=（x2+ax+a）e-x（a≤2，x∈R）.
（1）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；
（2）是否存在实数a，使得f（x）的极大值为3？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由.
[解] （1）当a=1时，f（x）=（x2+x+1）e-x，
f′（x）=e-x（-x2+x），
当f′（x）>0时，0 当f′（x）<0时，x>1或x<0，
∴f（x）的单调递增区间为（0，1），
单调递减区间为（-∞，0），（1，+∞）.
（2）f′（x）=（2x+a）e-x-e-x（x2+ax+a）=e-x[-x2+（2-a）x]，
令f′（x）=0，得x=0或x=2-a，
当x变化时，f′（x）?f（x）的变化情况如下表：
由表可知f（x）极大值=f（2-a）=（4-a）ea-2，
设g（a）=（4-a）ea-2，
g′（a）=（3-a）ea-2>0（a∈（-∞，2]），
∴g（a）在（-∞，2]上是增函数，
∴g（a）≤g（2）=2<3，∴（4-a）ea-2≠3，
故不存在实数a，使得f（x）的极大值为3. 方法提升：求可导函数极值的步骤是：
（1）确定函数定义域，求导数f′（x）
（2）求f′（x）=0的所有实数根；
（3）f′（x0）=0是f（x）在x=x0处取得极值的必要非充分条件，因为求函数的极值，还必须判断x0两侧的f ′（x）的符号是否相反.
四、用导数求函数的最值
例题4：（1）求函数f（x）=1-xx+lnx在[12，2]上的最大值和最小值.
【解析】 f′（x）=x-1x2.
∴当x∈[12，1）时，f′（x）<0，故f（x）在[12，1）上单调递减；当x∈（1，2]时，f′（x）>0，故f（x）在（1，2]上单调递增.
∴f（x）在区间[12，2]上有唯一极小值点，故f（x）min=f（x）极小值=f（1）=0.
又f（12）=1-ln2，f（2）=-12+ln2，f（12）-f（2）=32-2ln2=ln e3-ln 162.
∵e3>16，∴f（12）-f（2）>0，即f（12）>f（2），
∴f（x）在區间[12，2]上的最大值为f（12）=1-ln2.
综上可知，函数f（x）在[12，2]上的最大值是1-ln2，最小值是0.
方法提升：（1）求闭区间上可导函数的最值时，对函数极值是极大值还是极小值，可不再作判断，只需要直接与端点的函数值比较即可获得.
（2）当函数的极值点只有一个时，相应的极值点必为函数的最值.
五、证明不等式
例题5：设函数f（x）=a2x2-1+cosx（a>0）.
（1）当a=1时，证明：函数y=f（x）在（0，+∞）上是增函数；
（2）若y=f（x）在（0，+∞）上是单调增函数，求正数a的范围.
解析 （1）证明：当a=1时，f（x）=12x2-1+cosx，
令g（x）=f′（x）=x-sinx，
g′（x）=1-cosx≥0，?x∈（0，+∞）恒成立.
∴y=g（x）在（0，+∞）上是增函数.
∴g（x）>g（0）=0.
∴f′（x）>0恒成立，∴f（x）在（0，+∞）为增函数.
（2）f（x）=a2x2-1+cosx，
令h（x）=f′（x）=ax-sinx.
∵y=f（x）在（0，+∞）上单增，
∴ax-sinx>0恒成立.
当a≥1时，?x∈（0，+∞），
恒有ax≥x>sinx，满足条件.
当0 令h′（x）=0得cosx=a，在（0，π2）内存在x0，使得cosx0=a.
当x∈（0、x0）时，h′（x）<0.
∴h（x） 与 ?x∈（0，+∞），f′（x）>0恒成立矛盾.∴a≥1.
方法提升：利用导数证明不等式是近年高考中出现的一种热点题型。其方法可以归纳为“构造函数，利用导数研究函数最值”。二阶导数恒成立问题
总之，导数作为一种工具，在解决数学问题时使用非常方便，尤其是可以利用导数来解决函数的单调性，极值，最值以及切线问题。在导数的应用过程中，要加强对基础知识的理解，重视数学思想方法的应用，达到优化解题思维，简化解题过程的目的，更在于使学生掌握一种科学的语言和工具，进一步加深对函数的深刻理解和直观认识。
参考资料：
1、《高考调研》（新课标高考总复习）李书恒主编
2、《2013年普通高等学校招生全国统一考试大纲》（理科，课程标准实验版）教育部考试中心
3、《普通高中课程标准实验教科书》人民教育出版社，课程教材研究所，中学数学教材实验
研究所编著
【关键词】导数；单调性；切线；几何意义；最值。
导数是高中数学中一个重要内容，导数本身已经成为解决数学问题的重要工具，不论是研究函数的性质，还是解决不等式的问题和方程根的问题，还是解决曲线的切线问题，导数都发挥着非常重要的作用，在近几年的高考中，对导数的考查在逐步加强。一般的高考对导数的考查形式多样，难易均有，可以在选择题和填空题中出现，主要以导数的运输、导数的几何意义、导数的应用为主，也更容易在解答题中出现，有时候作为压轴题，这是主要考查导数的综合应用，往往与函数、方程、不等式、数列、解析几何等联系在一起。
有关导数在函数中的应用主要类型有：求函数的切线，判断函数的单调性，求函数的极值和最值，利用函数的单调性证明不等式，这些类型成为近两年最闪亮的热点，是高中数学学习的重点之一，也是“新课标”下高考的重点。
一、用导数求函数的切线
例题1：已知曲线y=13x3+43.
（1）求曲线在点P（2，4）处的切线方程；（2）求曲线过点P（2，4）的切线方程；
分析：根据导数的几何意义求解。
【解析】 （1）∵y′=x2，
∴在点P（2，4）处的切线的斜率k=y′|x=2=22=4，
∴曲线在点P（2，4）处的切线方程为y-4=4（x-2），即4x-y-4=0；
（2）设曲线y=13x3+43与过点P（2，4）的切线相切于点A（x0，13x30+43），则切线的斜率k=y′| x=x0=x20.∴切线方程为y-（13x30+43）=x20（x-x0），
即y=x20·x-23x30+43.
∵点P（2，4）在切线上，∴4=2x20-23x30+43，
即x30-3x20+4=0，解得x0=-1或x0=2.
故所求切线方程为4x-y-4=0或x-y+2=0；
方法提升：①在求曲线的切线方程时，注意两个“说法”：求曲线在点P处的切线方程和求曲线过点P的切线方程，在点P处的切线，一定是以点P为切点，过点P的切线，不论点P在不在曲线上，点P不一定是切点.
②求过点P的曲线的切线方程的步骤为：先设出切点坐标为（x0，y0），然后写出切线方程y-y0=f′（x0）·（x-x0），最后代入点P的坐标，求出（x0，y0）.
注意：在解三次關于x0的方程时，学生困难很大，主要不知如何解。常见的方法有因式分解法和多项式的除法（先猜出一个根，p点的横坐标为一根，再用除法既可）
二、用导数判断函数的单调性
例题2：已知函数f（x）=x3-ax-1.若f（x）在R上单调递增，求实数a的取值范围；
分析：根据增减函数的充要条件。
【解析】 由已知得f′（x）=3x2-a.
∵f（x）在（-∞，+∞）上是单调增函数，
∴f′（x）=3x2-a≥0在（-∞，+∞）上恒成立，
即a≤3x2对x∈R恒成立，
∵3x2≥0，∴只需a≤0，
又∵a=0时，{f′（x）}=32≥0，
故f（x）=x3-1在R上是增函数，∴a≤0.
方法提升：利用导数判断函数的单调性的步骤是：
（1）确定f（x）的定义域；（2）求导数f′（x）；
（3）在函数f（x）的定义域内解不等式f′（x）>0和f′（x）<0；
（4）已知函数的单调性，求参数的取值范围，应注意函数f（x）在（a，b）上递增（或递减）的充要条件应是f′（x）≥0（或f′（x）≤0，x∈（a，b）恒成立，且f′（x）在（a，b）的任意子区间内都不恒等于0，这就是说，函数{f（x）}在区间上的增减性并不排斥在区间内个别点处有f′（x0）=0，甚至可以在无穷多个点处f′（x0）=0，只要这样的点不充满所给区间的任何一个子区间.
注意：增减区间不能用并集，可以举例 的单调性
三、用导数求函数的极值
例题3：已知函数f（x）=（x2+ax+a）e-x（a≤2，x∈R）.
（1）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；
（2）是否存在实数a，使得f（x）的极大值为3？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由.
[解] （1）当a=1时，f（x）=（x2+x+1）e-x，
f′（x）=e-x（-x2+x），
当f′（x）>0时，0
∴f（x）的单调递增区间为（0，1），
单调递减区间为（-∞，0），（1，+∞）.
（2）f′（x）=（2x+a）e-x-e-x（x2+ax+a）=e-x[-x2+（2-a）x]，
令f′（x）=0，得x=0或x=2-a，
当x变化时，f′（x）?f（x）的变化情况如下表：
由表可知f（x）极大值=f（2-a）=（4-a）ea-2，
设g（a）=（4-a）ea-2，
g′（a）=（3-a）ea-2>0（a∈（-∞，2]），
∴g（a）在（-∞，2]上是增函数，
∴g（a）≤g（2）=2<3，∴（4-a）ea-2≠3，
故不存在实数a，使得f（x）的极大值为3. 方法提升：求可导函数极值的步骤是：
（1）确定函数定义域，求导数f′（x）
（2）求f′（x）=0的所有实数根；
（3）f′（x0）=0是f（x）在x=x0处取得极值的必要非充分条件，因为求函数的极值，还必须判断x0两侧的f ′（x）的符号是否相反.
四、用导数求函数的最值
例题4：（1）求函数f（x）=1-xx+lnx在[12，2]上的最大值和最小值.
【解析】 f′（x）=x-1x2.
∴当x∈[12，1）时，f′（x）<0，故f（x）在[12，1）上单调递减；当x∈（1，2]时，f′（x）>0，故f（x）在（1，2]上单调递增.
∴f（x）在区间[12，2]上有唯一极小值点，故f（x）min=f（x）极小值=f（1）=0.
又f（12）=1-ln2，f（2）=-12+ln2，f（12）-f（2）=32-2ln2=ln e3-ln 162.
∵e3>16，∴f（12）-f（2）>0，即f（12）>f（2），
∴f（x）在區间[12，2]上的最大值为f（12）=1-ln2.
综上可知，函数f（x）在[12，2]上的最大值是1-ln2，最小值是0.
方法提升：（1）求闭区间上可导函数的最值时，对函数极值是极大值还是极小值，可不再作判断，只需要直接与端点的函数值比较即可获得.
（2）当函数的极值点只有一个时，相应的极值点必为函数的最值.
五、证明不等式
例题5：设函数f（x）=a2x2-1+cosx（a>0）.
（1）当a=1时，证明：函数y=f（x）在（0，+∞）上是增函数；
（2）若y=f（x）在（0，+∞）上是单调增函数，求正数a的范围.
解析 （1）证明：当a=1时，f（x）=12x2-1+cosx，
令g（x）=f′（x）=x-sinx，
g′（x）=1-cosx≥0，?x∈（0，+∞）恒成立.
∴y=g（x）在（0，+∞）上是增函数.
∴g（x）>g（0）=0.
∴f′（x）>0恒成立，∴f（x）在（0，+∞）为增函数.
（2）f（x）=a2x2-1+cosx，
令h（x）=f′（x）=ax-sinx.
∵y=f（x）在（0，+∞）上单增，
∴ax-sinx>0恒成立.
当a≥1时，?x∈（0，+∞），
恒有ax≥x>sinx，满足条件.
当0
当x∈（0、x0）时，h′（x）<0.
∴h（x）
方法提升：利用导数证明不等式是近年高考中出现的一种热点题型。其方法可以归纳为“构造函数，利用导数研究函数最值”。二阶导数恒成立问题
总之，导数作为一种工具，在解决数学问题时使用非常方便，尤其是可以利用导数来解决函数的单调性，极值，最值以及切线问题。在导数的应用过程中，要加强对基础知识的理解，重视数学思想方法的应用，达到优化解题思维，简化解题过程的目的，更在于使学生掌握一种科学的语言和工具，进一步加深对函数的深刻理解和直观认识。
参考资料：
1、《高考调研》（新课标高考总复习）李书恒主编
2、《2013年普通高等学校招生全国统一考试大纲》（理科，课程标准实验版）教育部考试中心
3、《普通高中课程标准实验教科书》人民教育出版社，课程教材研究所，中学数学教材实验
研究所编著