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摘 要：运算能力是小学生重要的数学核心素养之一，本课“分数与整数相乘”的教学主要突出运算意义和算理的一致贯通，通过对运算意义的理解来自主探索算理，同时体现算理探究与算法归纳的相互交融，从而有效发展学生的运算能力。
关键词：算理；算法；运算能力
■【教前思考】
分数乘法是小学计算教学中的重要内容。“分数与整数相乘”（求几个相同分数的和）是《分数乘法》单元的起始课，是后续分数乘法学习的基础。由于本课教学内容较为简单，教师往往仅满足于学生对算法的掌握，而忽视学习过程中富含的运算能力培养价值。运算能力是《数学课程标准（2011年版）》中提出的十个核心概念之一。小学生良好的运算能力首先体现在学会正确计算，但是会算并不代表死记硬背，而是要求学生深刻理解运算意义和算理，并能选择合适的计算方法来解决实际问题。基于对发展运算能力这一核心素养的思考，笔者进行了以下教学实践。
■【教学实践】
片段一：以旧引新，迁移意义
1. 教师出示第一组加法算式，学生快速抢答：
（1）12 12 12 12 （2）26 26 26
（3）47 47 47 47 47
学生抢答后，教师提问：你们算得这么快，能说说是怎样算出来的吗？
生：因为加数相同，所以我可以用乘法来计算。
师：是啊，我们以前学整数乘法时，求几个相同加数的和，用乘法来计算比较简便。
2.教师继续出示一组分数加法，学生快速抢答：
（1）■ ■ （2）■ ■ ■
学生抢答后，教师提问：这些分数加法，你们又是怎么计算的？
生：这是同分母分数加法，只要把分子相加，分母不变。
师：说得真好，看来大家对以前学的知识掌握得很扎实。今天我们要在这些知识技能的基础上进一步学习新的本领。
师（出示例题）：要解决这个问题你准备怎样列式？
生1：■ ■ ■。
生2：■×3。
生3：3×■。
师（写下学生所说的两个乘法算式）：你们怎么会想到用这个乘法算式来计算呢？
生：因为这是在求3个■相加的和是多少，也可以用乘法来计算。
师：同学们真聪明，能主动把整数乘法的意义运用到分数中来。这就是我们今天要学习的分数与整数相乘的知识。（板书揭题）
片段二：借助直观，理解算理
师（出示直条图）：这是1米长的绸带，请大家涂色表示■米。
学生填涂后，教师提问：做3朵绸花又该怎样涂色呢？
学生涂后展示交流。
师：你们能从图中看出做3朵绸花需要用多少米绸带吗？
生：■米，因为一共有9个■米。
师：如果用式子表示，我们可以怎样写？
生：■ ■ ■=■（米）。
师：看来■×3这个算式我们可以变成3个■连加后求出结果。那么3×■这个算式是不是也可以这样算呢？
生：可以的。
师：刚才我们借助直条图，涂一涂、加一加，得出了■×3的结果，也明白了其中的道理。
片段三：经历过程，建构算法
师：刚才我们从直条图中清楚地知道了3个■的结果，下面我们不看直条图，请大家自己试着动笔算一算■×3，注意要把计算的过程写出来。
学生在作业纸上独立尝试，然后教师组织交流汇报。
生1：■×3=■ ■ ■=■（米）。
生2：■×3=■ ■ ■=■=■（米）。
生3：■×3=■ ■ ■=■=■（米）。
教师根据学生汇报的结果，相机板书成完整的推算过程：■×3=■ ■ ■=■=■=■（米）。
师：这就是分数与整数相乘的计算全过程，请同桌之间再相互说说这个过程。
教师指出：刚才大家详细地展开了这个计算过程，其实我们可以压缩一下，把中间两步省略掉，直接写成■×3=■=■（米）。
学生简化、修改自己的计算过程。
师：分数与整数相乘的方法，大家有点感觉了吧？下面我们继续来解决一个问题。
教师出示“练一练”第1题（图1）：
■
图1
师：请大家先涂一涂，表示2个■，再列式算一算。
学生进行涂色、计算，随后教师组织算法交流。
生：■×2=■=■。
师：我们连续做了两个分数与整数相乘的题目，联系起来观察一下，同桌间相互说一说这样的乘法可以怎样计算？
生：分数与整数相乘，只要把分子与整数相乘的结果作为积的分子，分母不变。
师：概括得真好，我们一起来说一遍。
片段四：以疑引探，完善法则
1. 出示例题：小华做一朵绸花用■米绸带，做5朵这样的绸花，一共用几分之几米的绸带呢？
学生在自己的本子上尝试计算，教师选择一位学生板书。
生：■×5=■=■=■（米）。
教师让学生说一说是怎么算的，明确当计算结果不是最简分数时，要通过约分化成最简分数。
2. 出示■×12，學生进行计算，汇报交流时，教师提问：有没有简便一点的算法？
学生在刚才计算的基础上再次进行探索。
生：■=■=■。
教师归纳指出：在计算分数乘法时，也可以先约分，再算出结果。
教师板书算法：
■×12=■=■
3. 总结、完善法则。
师：刚才我们通过两个乘法算式解决了小芳和小华的问题，仔细观察它们的两个乘数，一个是（分数），另一个是（整数），这就是今天我们要研究的内容（揭题：分数与整数相乘），谁来说说分数和整数相乘应该怎样计算？ 教师小结：用分数的分子和整数相乘的积作分子，分母不变。计算时，能约分的可以先约分，再计算。
■【教后反思】
1. 意理贯通，发展运算思维
本课教学以计算法则的教学为主线，让学生在研究算法的过程中进一步体会分数与整数相乘的意义，并以此为探究基点，主动思考其中的算理，努力做到概念意义和算理的贯通。教学中，通过整数乘法的问题情境引入，激活学生关于整数乘法意义的旧知，即求几个相同加数的和可以用乘法来计算，进而通过改变问题数据，引入分数与整数相乘这一新知，让学生能够主动迁移旧知，从而认识到求几个相同分数的和，也可以用乘法来计算。认识分数与整数相乘的运算意义，学生对算理的探究就有了依据。算理的核心就在于把几个相同的分数相加，可以借助同分母分数加法的计算方法，把分子直接相加，分母不变，进而演化成分子乘整数的结果作分子，分母不变。在这一算理的探究过程中，意义和算理相互贯通，发展了学生运算过程中的数学思考能力，也即运算思维能力。
2.理法交融，培养运算能力
《数学课程标准（2011年版）》中指出，运算能力是根据法则和运算律正确进行运算的能力。本课分数与整数相乘的教学，着力点应在于启发学生主动探究、理解运算的算理，形成基本的计算方法。教学实践中，教师为学生提供了自主尝试的机会，让学生根据已有的知识基础进行算法探究。在此基础上学生展开合作交流研讨，呈现出多样化的计算方式方法：有的学生借助几何直观，通过画图来解释计算过程、原理和结果；有的学生把乘法转化为同分数相加，通过加法来得出计算结果；更有的学生直接呈现了按法则计算的过程。紧接着，教师引导学生沟通直观画图求结果与同分数连加之间的本质联系，使学生真正掌握其中的算理，并通过学生的推理形成一整串完整的推导和计算过程。教师并没有止步于此，而是进一步启发学生将具体详细的运算思维过程加以压缩简化，去除中间环节，归纳出分数与整数相乘的初步计算法则。这样的教学过程展现了运算能力培养的多元化价值，丰盈了运算教学目标，实现了关注点的转换，体现了理法交融。
3.主动探疑，优化运算方法
优化运算过程和运算方法，是运算能力培养的一个重要方面。分数与整数相乘这一课，学生学习的难点在于对计算法则的进一步优化和完善，掌握“先约分后计算”的计算方法。造成这一难点的原因之一在于学生普遍受到分数加减法计算法则的负迁移影响，他们已经习惯于先算出结果，再约分。而在分数乘法中，由于有时候分子分母数值较大，学生会误认为结果已是最简分数，从而导致错误的产生。此外，由于教师通常会采用直接告知的方式来处理这一学习难点，學生缺乏对“先约分后计算”这一优化算法的切身探索和体验，所以很难自觉运用。笔者在本课教学实践中秉持“绝知此事要躬行”的理念，为学生设置了疑难情境，让他们真正投入对疑难问题的探讨之中，在实践基础上展开师生之间的互动对话，启发学生主动优化算法，起到了较好的教学效果。
关键词：算理；算法；运算能力
■【教前思考】
分数乘法是小学计算教学中的重要内容。“分数与整数相乘”（求几个相同分数的和）是《分数乘法》单元的起始课，是后续分数乘法学习的基础。由于本课教学内容较为简单，教师往往仅满足于学生对算法的掌握，而忽视学习过程中富含的运算能力培养价值。运算能力是《数学课程标准（2011年版）》中提出的十个核心概念之一。小学生良好的运算能力首先体现在学会正确计算，但是会算并不代表死记硬背，而是要求学生深刻理解运算意义和算理，并能选择合适的计算方法来解决实际问题。基于对发展运算能力这一核心素养的思考，笔者进行了以下教学实践。
■【教学实践】
片段一：以旧引新，迁移意义
1. 教师出示第一组加法算式，学生快速抢答：
（1）12 12 12 12 （2）26 26 26
（3）47 47 47 47 47
学生抢答后，教师提问：你们算得这么快，能说说是怎样算出来的吗？
生：因为加数相同，所以我可以用乘法来计算。
师：是啊，我们以前学整数乘法时，求几个相同加数的和，用乘法来计算比较简便。
2.教师继续出示一组分数加法，学生快速抢答：
（1）■ ■ （2）■ ■ ■
学生抢答后，教师提问：这些分数加法，你们又是怎么计算的？
生：这是同分母分数加法，只要把分子相加，分母不变。
师：说得真好，看来大家对以前学的知识掌握得很扎实。今天我们要在这些知识技能的基础上进一步学习新的本领。
师（出示例题）：要解决这个问题你准备怎样列式？
生1：■ ■ ■。
生2：■×3。
生3：3×■。
师（写下学生所说的两个乘法算式）：你们怎么会想到用这个乘法算式来计算呢？
生：因为这是在求3个■相加的和是多少，也可以用乘法来计算。
师：同学们真聪明，能主动把整数乘法的意义运用到分数中来。这就是我们今天要学习的分数与整数相乘的知识。（板书揭题）
片段二：借助直观，理解算理
师（出示直条图）：这是1米长的绸带，请大家涂色表示■米。
学生填涂后，教师提问：做3朵绸花又该怎样涂色呢？
学生涂后展示交流。
师：你们能从图中看出做3朵绸花需要用多少米绸带吗？
生：■米，因为一共有9个■米。
师：如果用式子表示，我们可以怎样写？
生：■ ■ ■=■（米）。
师：看来■×3这个算式我们可以变成3个■连加后求出结果。那么3×■这个算式是不是也可以这样算呢？
生：可以的。
师：刚才我们借助直条图，涂一涂、加一加，得出了■×3的结果，也明白了其中的道理。
片段三：经历过程，建构算法
师：刚才我们从直条图中清楚地知道了3个■的结果，下面我们不看直条图，请大家自己试着动笔算一算■×3，注意要把计算的过程写出来。
学生在作业纸上独立尝试，然后教师组织交流汇报。
生1：■×3=■ ■ ■=■（米）。
生2：■×3=■ ■ ■=■=■（米）。
生3：■×3=■ ■ ■=■=■（米）。
教师根据学生汇报的结果，相机板书成完整的推算过程：■×3=■ ■ ■=■=■=■（米）。
师：这就是分数与整数相乘的计算全过程，请同桌之间再相互说说这个过程。
教师指出：刚才大家详细地展开了这个计算过程，其实我们可以压缩一下，把中间两步省略掉，直接写成■×3=■=■（米）。
学生简化、修改自己的计算过程。
师：分数与整数相乘的方法，大家有点感觉了吧？下面我们继续来解决一个问题。
教师出示“练一练”第1题（图1）：
■
图1
师：请大家先涂一涂，表示2个■，再列式算一算。
学生进行涂色、计算，随后教师组织算法交流。
生：■×2=■=■。
师：我们连续做了两个分数与整数相乘的题目，联系起来观察一下，同桌间相互说一说这样的乘法可以怎样计算？
生：分数与整数相乘，只要把分子与整数相乘的结果作为积的分子，分母不变。
师：概括得真好，我们一起来说一遍。
片段四：以疑引探，完善法则
1. 出示例题：小华做一朵绸花用■米绸带，做5朵这样的绸花，一共用几分之几米的绸带呢？
学生在自己的本子上尝试计算，教师选择一位学生板书。
生：■×5=■=■=■（米）。
教师让学生说一说是怎么算的，明确当计算结果不是最简分数时，要通过约分化成最简分数。
2. 出示■×12，學生进行计算，汇报交流时，教师提问：有没有简便一点的算法？
学生在刚才计算的基础上再次进行探索。
生：■=■=■。
教师归纳指出：在计算分数乘法时，也可以先约分，再算出结果。
教师板书算法：
■×12=■=■
3. 总结、完善法则。
师：刚才我们通过两个乘法算式解决了小芳和小华的问题，仔细观察它们的两个乘数，一个是（分数），另一个是（整数），这就是今天我们要研究的内容（揭题：分数与整数相乘），谁来说说分数和整数相乘应该怎样计算？ 教师小结：用分数的分子和整数相乘的积作分子，分母不变。计算时，能约分的可以先约分，再计算。
■【教后反思】
1. 意理贯通，发展运算思维
本课教学以计算法则的教学为主线，让学生在研究算法的过程中进一步体会分数与整数相乘的意义，并以此为探究基点，主动思考其中的算理，努力做到概念意义和算理的贯通。教学中，通过整数乘法的问题情境引入，激活学生关于整数乘法意义的旧知，即求几个相同加数的和可以用乘法来计算，进而通过改变问题数据，引入分数与整数相乘这一新知，让学生能够主动迁移旧知，从而认识到求几个相同分数的和，也可以用乘法来计算。认识分数与整数相乘的运算意义，学生对算理的探究就有了依据。算理的核心就在于把几个相同的分数相加，可以借助同分母分数加法的计算方法，把分子直接相加，分母不变，进而演化成分子乘整数的结果作分子，分母不变。在这一算理的探究过程中，意义和算理相互贯通，发展了学生运算过程中的数学思考能力，也即运算思维能力。
2.理法交融，培养运算能力
《数学课程标准（2011年版）》中指出，运算能力是根据法则和运算律正确进行运算的能力。本课分数与整数相乘的教学，着力点应在于启发学生主动探究、理解运算的算理，形成基本的计算方法。教学实践中，教师为学生提供了自主尝试的机会，让学生根据已有的知识基础进行算法探究。在此基础上学生展开合作交流研讨，呈现出多样化的计算方式方法：有的学生借助几何直观，通过画图来解释计算过程、原理和结果；有的学生把乘法转化为同分数相加，通过加法来得出计算结果；更有的学生直接呈现了按法则计算的过程。紧接着，教师引导学生沟通直观画图求结果与同分数连加之间的本质联系，使学生真正掌握其中的算理，并通过学生的推理形成一整串完整的推导和计算过程。教师并没有止步于此，而是进一步启发学生将具体详细的运算思维过程加以压缩简化，去除中间环节，归纳出分数与整数相乘的初步计算法则。这样的教学过程展现了运算能力培养的多元化价值，丰盈了运算教学目标，实现了关注点的转换，体现了理法交融。
3.主动探疑，优化运算方法
优化运算过程和运算方法，是运算能力培养的一个重要方面。分数与整数相乘这一课，学生学习的难点在于对计算法则的进一步优化和完善，掌握“先约分后计算”的计算方法。造成这一难点的原因之一在于学生普遍受到分数加减法计算法则的负迁移影响，他们已经习惯于先算出结果，再约分。而在分数乘法中，由于有时候分子分母数值较大，学生会误认为结果已是最简分数，从而导致错误的产生。此外，由于教师通常会采用直接告知的方式来处理这一学习难点，學生缺乏对“先约分后计算”这一优化算法的切身探索和体验，所以很难自觉运用。笔者在本课教学实践中秉持“绝知此事要躬行”的理念，为学生设置了疑难情境，让他们真正投入对疑难问题的探讨之中，在实践基础上展开师生之间的互动对话，启发学生主动优化算法，起到了较好的教学效果。