求直线对称点方法的公式化

• 作 者: 汤永海
• 出 处: 课程教育研究·新教师教学
• 发表日期: 2012年20期

　　中图分类号：G623.5
　　求P0（X0，Y0）关于直线L0 ： AX+BY+C=0 的对称点 P1（X1，Y1）常用的方法是：由P0P1 被对称轴垂直、平分来列式求解。
　　由P0P1的中点在对称轴L0上得： （L0的斜率存在且不为0时）
　　A（ ）+B（ ）+C=0…………（1）；
　　再由P0P1 与对称轴L0垂直得：
　　……………………………（2）
　　（L0的斜率不存在，或为0时，可直接求得，此略）
　　由（1），（2）解出X1，Y1，即得对称点P1（X1，Y1）。
　　下面作进一步分析：
　　对（1），（2）两式变形得：
　　P0（X0，Y0）关于直线L0 ： AX+BY+C=0 的对称点 P1（X1，Y1）满足方程组：
　　即P1（X1，Y1）是两直线
　　的交点。
　　其中：L1是满足P0P中点在L0：AX+BY+C=0上的点P的轨迹，对称点P1在此直线上；L1∥L0 且点P0、直线L1到对称轴L0的距离相等。 L2是过P0（X0，Y0）与对称轴L0 ： AX+BY+C=0垂直的直线，如图所示：
　　由此可知：P0（X0，Y0）关于对称轴L0 ： AX+BY+C=0的对称点P1（X1，Y1），可由如下方程组： 解得。
　　这可看作求直线对称点的公式，此公式便于记忆和求解，并且直线有无斜率等各种情况都适合，这样就使求直线对称点公式化了。
　　例题1：求P0（3，5）关于直线 ： 3X+Y+3=0的对称点P 。
　　解：由上面介绍的方法可知：所求对称点P1的坐标是方程组： 的解，解得
　　∴所以对称点是P1（7，-41）
　　例2：求P0（a，b）关于直线：Y=X+m的对称点P1 。
　　解：对称轴方程是：X-Y+m=0
　　∴所求对称点坐标P1（X，Y）满足方程组：
　　解得：
　　∴P0（a，b）关于直线：Y=X+m的对称点是：P1（b-m，a+m）
　　例3：求P0（a，b）关于直线：Y=-X+m的对称点P1 。
　　解：对称轴方程是：X+Y-m=0
　　∴所求对称点P1的坐标（X，Y）满足方程组：
　　解得：
　　∴P0（a，b）关于直线：Y=-X+m的对称点是：P1（m-b，m-a）。
　　由例2，例3又可得出如下公式化的结果：
　　当对称轴的斜率等于±1时，把P0（X0，Y0）的横坐标x0代入对称轴方程中的X，解出Y就得对称点P1的纵坐标；把P0（X0，Y0）中的纵坐标Y0代入对称轴方程中的Y解出X就得对称点P1的横坐标。
　　如：求P0（-2，3）关于Y=-X-2的对称点P1（X，Y）
　　把X0=-2代入Y=-X-2中的X得Y=0
　　把Y0 =3代入Y=-X-2中的Y得X=-5
　　∴（-2，3）关于Y=-X-2的對称点是 P1（-5，0）。