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【摘 要】直线与圆是解析几何的初步，高考的常客，有关最值问题更是考查的热点，利用圆的图形性质数形结合可以解决。当然，平面解析几何的重要内容，是让学生从中感受运用代数方法处理几何问题的思想”，此类问题中，函数和基本不等式也发挥着重要的作用。
【关键词】直线与圆；动点；最值；几何问题；代数方法
一、条条道路通罗马，数形结合首当家
引例：已知直线l：y=x-1，Q是圆C：（x+3）2+y2=1上任意点，求点Q到直线l的距离的最小值和最大值。
（图1） （图2）
【分析】这是求解“圆上一动点到直线距离”的常见考题，可以得“圆心到直线的距离减半径”即为最短距离，这一结论在解题时可直接应用。
解：如图1，圆心C到直线y=x-1的距离d=2 ，半径r=1，故Q到直线的距离的最值为：dmax=2 +1，dmin=2 -1。
变式1：由直线y=x-1上一点向圆C：（x+3）2+y2=1引切线，则切线长的最小值为______。
【分析】求切线长的值____，应连接圆心和切点，构造直角三角形。如图2因为PA2=PC2-r2，PA的大小取决于PC的大小，问题转化为求PC的最小值，归纳至引例。
变式2：已知P为直线y=x-1上一动点，过P作圆C：（x+3）2+y2=1的切线PA，PB，A、B为切点，则当PC=_____时，∠APB最大。
（图3）
【分析】∠APB=2∠APC，即求∠APC的最大，在RT△PAC中利用其正弦值可转化为求PC的最小值，归纳至引例。
变式3：已知P为直线y=x-1上一动点，过P作圆C：（x+3）2+y2=1的切线PA，PB，A、B为切点，则四边形PACB面积的最小值为____。
【分析】利用S四边形PACB=2S△PAC将求面积的最小值转化为PA的最小值，即求切线段的最小值问题。归纳至引例。
不同设问方式，考查内容都是有关圆上一动点到直线的距离的最值问题，将其转化为圆心到直线的距离问题即可迎刃而解，数形结合，动点变定点的转化思想得到充分展现。
二、几何代数来争艳，路死谁手真难辨
数学的美妙在于思维的延展和方法的多样，同一个问题不同解决方法，既可以从“数”的角度思考又可以从“形”的方面探讨，下面，笔者通过一个例子的三种不同解决方法揭示几何与代数的密不可分的关系。
例1：已知实数x，y满足（x+3）2+y2=1，试求：（1）x2+y2的取值范围；（2） 的取值范围；（3）x+2y的取值范围。
方法（一）：利用所求式子的几何意义
【分析】学生易想到所求三个式子的几何意义，题（1）为圆上动点（x，y）与原点（0，0）的距离的平方，将动点问题转化为定点问题，即圆心到原点的距离的平方即可。亦可看成两个圆的关系问题，当两圆相切时有最值。题（2）转化为圆上一动点与点（-3，2）的连线斜率的取值范围。题（3）令x+2y=Z，则y=- x+ z，问题转化为求直线的纵截距的取值范围。
方法（二）：利用函参数方程，转化为三角函数
【分析】本例也可以利用圆的参数方程，将问题转化为三角函数的最值求解。
解：题（1）
令x=cosθ-3y=sinθ，则x2+y2=（cosθ-3）2+sinθ2=10-6cosθ
∵-1≤cosθ≤1 ∴4≤x2+y2≤16；
题（2）令 =k，则 =k，即sinθ-kcosθ=2。 sin（θ-φ）=2 ∴|sin（θ-φ）|=| |≤1，k≤- 或k≥ ；
题（3）x+2y=cosθ-3+2sinθ= cos（θ+φ），-1≤cos（θ+φ）≤1，∴x+2y∈[3- ，3+ ]。
方法（三）：利用二次函数与二次方程
【分析】题（1）利用圆的方程把y用x表示，将所求式子表示成关于x的二次函数求值域；题（2）（3）均可设所求式子为t，用含x，t的式子表示y，并代入圆的方程，得到关于x的一元二次方程，方程有解，△≥0即可。
解：题（1）∵（x+3）2+y2=1∴y2=1-（x+3）2，
∴x2+y2=x2+1-（x+3）2=-6x-8 ∵-4≤x≤-24≤x2+y2≤16
题（2）令 =t，则y=xt+3t+2代入圆的方程得
（x+3）2+（xt+3t+2）2=1
即（1+t2）x2+（6t2+4t+6）x+2lt2+12=0方程有解，∴△≥0，解得t≤- 或t≥ ；题（3）同理。
本例的解决，正应了一句老话“条条大路通罗马”，几何性质，三角函数，二次函数二次方程多种解题方法的灵活应用，为学生提供了更多的选择，究竟哪种方法使解题过程变得“快，狠，准”，选择权在学习者手中，事实上，无论是哪种方法都在向我们解释几何和代数你中有我，我中有你的密不可分的关系。
三、几何问题代数化，函数不等试一下
平面解析几何的重要内容，是让学生感受运用代数方法处理几何问题的思想。有些问题利用何几何性质无法求解，应考虑利用代数思想将问题转化为函数问题。
（下转第27页）
（上接第26页）
例2：已知圆C：（x+3）2+y2=1，PA、PB为该圆的两条切线，A、B为两切点，则 · 的最小值为____。
变式：已知P直线是直线l：y=x-1上的动点，过P作圆C：（x-3）2+y2=1的切线PA，PB，A，B，是切点，求 · 求的最小值。
【分析】用坐标来表示 · 是困难的，自然想到数量积的定义，如图7令 · =| |·| |cos∠APB，若设|PA|=
|PB|=x，cos2α也可以用x表示，转化为关于x的函数求解最值。
（图7）
解：设|PA|=|PB|=x，则|PC|= ，sin∠APC= = ，∴cos∠APB=1-2sin2∠APB= ， · =| |·| |cos∠APB= ，
令t=x2，则 · = = = =（t+1）+ -3≥2 -3=2 -3（t+1）= ，t= -1，即x2= -1时等号成立 变式中，点P在直线y=x-1上运动，由引例变式1可知x≥ ，∴t+1≥8，等号取得条件不成立，可将 · =（t+1）+ -3看成关于t的函数，易知，该函数在[7，+∞）为增函数，∴当t=7，x= 时，取得最小值为 。
本例中充分体现了函数思想，转化思想，不等式知识在解析几何中的应用，揭示了解析几何“用代数思想解决几何问题的本质”当问题转化为函数后，海阔天空，迎刃而解。
在解决与圆有关的最值问题时，应“数”和“形”两方面结合考虑。“形”主要是利用圆的对称性，切线的性质，将最值问题转化为与圆心有关的问题，动点变为定点。“数”即利用方程，函数，不等式等思想将几何问题代数化，从而解决。笔者谨希望通过对有圆有关的最值问题的探究，能让同学们对此类问题有更深入的理解，同时也为后续继续学习圆锥曲线打下坚实基础。
【参考文献】
[1]杨仓洲.万变不离其宗《高中数理化》，2010.10
[2]慕芸蔚.数形结合解答圆中最值问题的策略《数学爱好者》，2008.9
[3]周金龙.破解与圆有关的最值问题《高中生之友》，2015.1
[4]赵建勋.直线和圆中的最值问题《中学生理科应试》，2014.4
【关键词】直线与圆；动点；最值；几何问题；代数方法
一、条条道路通罗马，数形结合首当家
引例：已知直线l：y=x-1，Q是圆C：（x+3）2+y2=1上任意点，求点Q到直线l的距离的最小值和最大值。
（图1） （图2）
【分析】这是求解“圆上一动点到直线距离”的常见考题，可以得“圆心到直线的距离减半径”即为最短距离，这一结论在解题时可直接应用。
解：如图1，圆心C到直线y=x-1的距离d=2 ，半径r=1，故Q到直线的距离的最值为：dmax=2 +1，dmin=2 -1。
变式1：由直线y=x-1上一点向圆C：（x+3）2+y2=1引切线，则切线长的最小值为______。
【分析】求切线长的值____，应连接圆心和切点，构造直角三角形。如图2因为PA2=PC2-r2，PA的大小取决于PC的大小，问题转化为求PC的最小值，归纳至引例。
变式2：已知P为直线y=x-1上一动点，过P作圆C：（x+3）2+y2=1的切线PA，PB，A、B为切点，则当PC=_____时，∠APB最大。
（图3）
【分析】∠APB=2∠APC，即求∠APC的最大，在RT△PAC中利用其正弦值可转化为求PC的最小值，归纳至引例。
变式3：已知P为直线y=x-1上一动点，过P作圆C：（x+3）2+y2=1的切线PA，PB，A、B为切点，则四边形PACB面积的最小值为____。
【分析】利用S四边形PACB=2S△PAC将求面积的最小值转化为PA的最小值，即求切线段的最小值问题。归纳至引例。
不同设问方式，考查内容都是有关圆上一动点到直线的距离的最值问题，将其转化为圆心到直线的距离问题即可迎刃而解，数形结合，动点变定点的转化思想得到充分展现。
二、几何代数来争艳，路死谁手真难辨
数学的美妙在于思维的延展和方法的多样，同一个问题不同解决方法，既可以从“数”的角度思考又可以从“形”的方面探讨，下面，笔者通过一个例子的三种不同解决方法揭示几何与代数的密不可分的关系。
例1：已知实数x，y满足（x+3）2+y2=1，试求：（1）x2+y2的取值范围；（2） 的取值范围；（3）x+2y的取值范围。
方法（一）：利用所求式子的几何意义
【分析】学生易想到所求三个式子的几何意义，题（1）为圆上动点（x，y）与原点（0，0）的距离的平方，将动点问题转化为定点问题，即圆心到原点的距离的平方即可。亦可看成两个圆的关系问题，当两圆相切时有最值。题（2）转化为圆上一动点与点（-3，2）的连线斜率的取值范围。题（3）令x+2y=Z，则y=- x+ z，问题转化为求直线的纵截距的取值范围。
方法（二）：利用函参数方程，转化为三角函数
【分析】本例也可以利用圆的参数方程，将问题转化为三角函数的最值求解。
解：题（1）
令x=cosθ-3y=sinθ，则x2+y2=（cosθ-3）2+sinθ2=10-6cosθ
∵-1≤cosθ≤1 ∴4≤x2+y2≤16；
题（2）令 =k，则 =k，即sinθ-kcosθ=2。 sin（θ-φ）=2 ∴|sin（θ-φ）|=| |≤1，k≤- 或k≥ ；
题（3）x+2y=cosθ-3+2sinθ= cos（θ+φ），-1≤cos（θ+φ）≤1，∴x+2y∈[3- ，3+ ]。
方法（三）：利用二次函数与二次方程
【分析】题（1）利用圆的方程把y用x表示，将所求式子表示成关于x的二次函数求值域；题（2）（3）均可设所求式子为t，用含x，t的式子表示y，并代入圆的方程，得到关于x的一元二次方程，方程有解，△≥0即可。
解：题（1）∵（x+3）2+y2=1∴y2=1-（x+3）2，
∴x2+y2=x2+1-（x+3）2=-6x-8 ∵-4≤x≤-24≤x2+y2≤16
题（2）令 =t，则y=xt+3t+2代入圆的方程得
（x+3）2+（xt+3t+2）2=1
即（1+t2）x2+（6t2+4t+6）x+2lt2+12=0方程有解，∴△≥0，解得t≤- 或t≥ ；题（3）同理。
本例的解决，正应了一句老话“条条大路通罗马”，几何性质，三角函数，二次函数二次方程多种解题方法的灵活应用，为学生提供了更多的选择，究竟哪种方法使解题过程变得“快，狠，准”，选择权在学习者手中，事实上，无论是哪种方法都在向我们解释几何和代数你中有我，我中有你的密不可分的关系。
三、几何问题代数化，函数不等试一下
平面解析几何的重要内容，是让学生感受运用代数方法处理几何问题的思想。有些问题利用何几何性质无法求解，应考虑利用代数思想将问题转化为函数问题。
（下转第27页）
（上接第26页）
例2：已知圆C：（x+3）2+y2=1，PA、PB为该圆的两条切线，A、B为两切点，则 · 的最小值为____。
变式：已知P直线是直线l：y=x-1上的动点，过P作圆C：（x-3）2+y2=1的切线PA，PB，A，B，是切点，求 · 求的最小值。
【分析】用坐标来表示 · 是困难的，自然想到数量积的定义，如图7令 · =| |·| |cos∠APB，若设|PA|=
|PB|=x，cos2α也可以用x表示，转化为关于x的函数求解最值。
（图7）
解：设|PA|=|PB|=x，则|PC|= ，sin∠APC= = ，∴cos∠APB=1-2sin2∠APB= ， · =| |·| |cos∠APB= ，
令t=x2，则 · = = = =（t+1）+ -3≥2 -3=2 -3（t+1）= ，t= -1，即x2= -1时等号成立 变式中，点P在直线y=x-1上运动，由引例变式1可知x≥ ，∴t+1≥8，等号取得条件不成立，可将 · =（t+1）+ -3看成关于t的函数，易知，该函数在[7，+∞）为增函数，∴当t=7，x= 时，取得最小值为 。
本例中充分体现了函数思想，转化思想，不等式知识在解析几何中的应用，揭示了解析几何“用代数思想解决几何问题的本质”当问题转化为函数后，海阔天空，迎刃而解。
在解决与圆有关的最值问题时，应“数”和“形”两方面结合考虑。“形”主要是利用圆的对称性，切线的性质，将最值问题转化为与圆心有关的问题，动点变为定点。“数”即利用方程，函数，不等式等思想将几何问题代数化，从而解决。笔者谨希望通过对有圆有关的最值问题的探究，能让同学们对此类问题有更深入的理解，同时也为后续继续学习圆锥曲线打下坚实基础。
【参考文献】
[1]杨仓洲.万变不离其宗《高中数理化》，2010.10
[2]慕芸蔚.数形结合解答圆中最值问题的策略《数学爱好者》，2008.9
[3]周金龙.破解与圆有关的最值问题《高中生之友》，2015.1
[4]赵建勋.直线和圆中的最值问题《中学生理科应试》，2014.4