论文部分内容阅读
摘 要：本文应用参数方程解决高中数学中的定值、定量、最值等问题。圆锥曲线问题是高中数学的难点，也是高考的热点。圆锥曲线方程的解析方法，代数方法在平面曲线中发挥着强大的作用，解决这一类问题充分体现了数形结合思想。在本文中对圆锥曲线参数方程在高中数学解题中遇到的定值、定量、最值等问题的应用进行研究分析。
关键词：圆锥曲线；定值；定量；最值
一、 定值问题
【例1】 （2016·北京卷）已知椭圆C：x2a2 y2b2=1过点A（2，0），B（0，1）两点。
（1）求椭圆C的方程及离心率；
（2）设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：四边形ABNM的面积为定值。
解：（1）解由题意知a=2，b=1，c=a2-b2=3。椭圆离心率e=ca=32。
（2）证明：设P点坐标为（2cosθ，sinθ）θ∈π，3π2，由B点坐标（0，1）得直线PB方程为：y-1=sinθ-12cosθ（x-0），令y=0，得xN=2cosθ1-sinθ，从而|AN|=2-xN=2-2cosθ1-sinθ，
由A点坐标（2，0）得直线PA方程为y-0=sinθ2cosθ-2（x-2），令x=0，得yM=sinθ1-cosθ，
从而|BM|=1-yM=1-sinθ1-cosθ，所以S四边形ABNM=12|AN|·|BM|=122-2cosθ1-sinθ·1-sinθ1-cosθ=1-sinθ1-cosθ-cosθ1-sinθ sinθcosθ（1-cosθ）（1-sinθ）=2-2sinθ-2cosθ 2sinθcosθ1-sinθ-cosθ sinθcosθ=2。
即四边形ABNM的面积为定值2。
评注：本题考查椭圆方程的求解和椭圆与直线相交的面积等值问题，应用直线与曲线相交的代数方法可以解决，也可以应用椭圆的参数方程解决。
二、 定量相等
【例2】 如图所示，已知AB、CD是橢圆x2a2 y2b2=1（a>b>0）的两条相交于点P的弦，AB、CD与x轴的夹角互补，求证：|PA|·|PB|=|PC|·|PD|。
证明：设点P（x0，y0），则直线AB的参数方程为
x=x0 tcosα，y=y0 tsinα，（t为参数）
代入x2a2 y2b2=1（a>b>0）并整理，得到
（b2cos2α a2sin2α）t2 （2b2x0cosα 2a2y0sinα）t b2x20 a2y20-a2b2=0（1）
已知直线AB与椭圆有两个交点，方程（1）有两个根。设这两个根分别为t1，t2，则
|PA|·|PB|=|t1t2|=b2x20 a2y20-a2b2b2cos2α a2sin2α（2）
直线CD与AB的倾斜角互补，则直线的倾斜角为π-a，则
|PC|·|PD|=b2x20 a2y20-a2b2b2cos2（π-α） a2sin2（π-α）=b2x20 a2y20-a2b2b2cos2α a2sin2α=|PA|·|PB|
|PA|·|PB|=|PC|·|PD|
评注：本题考查圆锥曲线与直线相交问题，应用直线与曲线相交的代数方法可以解决，但是计算量比较大，而我们应用直线参数方程中参数t的几何意义，解决了本题中的等值问题，充分体现了参数方程解决等值问题的优点和好处。
三、 最值问题
【例3】 （2016·四川卷）在平面内，定点A，B，C，D满足|DA|=|DB|=|DC|，DA·DB=DB·DC=DC·DA=-2，动点P，M满足|AP|=1，PM=MC，求|BM|2的最大值。
解：已知∠ADC=∠ADB=∠BDC=120°，|DA|=|DB|=|DC|=2.以D为原点，直线DA为x轴建立平面直角坐标系，如图所示，
|AP|=1，得（x-2）2 y2=1，圆的参数方程为x=2 cosθy=sinθ（θ为参数）。则P（2 cosθ，sinθ）。又PM=MC，∴Mcosθ 12，sinθ 32，∴BM=cosθ 32，sinθ 332，
∴|BM|2=（cosθ 3）2 （sinθ 33）24=37 12sinθ π64，当sinθ π6=1时，（|BM|2）max=494。
评注：本题考查平面向量的数量积运算，要求解向量模的平方的最大值，用圆的参数方程表示圆上的点，根据三角函数的最值得出向量模的平方的最大值。因此本题用参数方程简化了计算，并且充分体现了参数思想在圆锥曲线中的应用及数形结合的数学思想。由上可知，应用参数方程可以快速地解决有些圆锥曲线问题，这让我们在面对有些束手无策的圆锥曲线题目能从容应对。
作者简介：
郭慧玲，甘肃省武威市，武威市第六中学。
关键词：圆锥曲线；定值；定量；最值
一、 定值问题
【例1】 （2016·北京卷）已知椭圆C：x2a2 y2b2=1过点A（2，0），B（0，1）两点。
（1）求椭圆C的方程及离心率；
（2）设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：四边形ABNM的面积为定值。
解：（1）解由题意知a=2，b=1，c=a2-b2=3。椭圆离心率e=ca=32。
（2）证明：设P点坐标为（2cosθ，sinθ）θ∈π，3π2，由B点坐标（0，1）得直线PB方程为：y-1=sinθ-12cosθ（x-0），令y=0，得xN=2cosθ1-sinθ，从而|AN|=2-xN=2-2cosθ1-sinθ，
由A点坐标（2，0）得直线PA方程为y-0=sinθ2cosθ-2（x-2），令x=0，得yM=sinθ1-cosθ，
从而|BM|=1-yM=1-sinθ1-cosθ，所以S四边形ABNM=12|AN|·|BM|=122-2cosθ1-sinθ·1-sinθ1-cosθ=1-sinθ1-cosθ-cosθ1-sinθ sinθcosθ（1-cosθ）（1-sinθ）=2-2sinθ-2cosθ 2sinθcosθ1-sinθ-cosθ sinθcosθ=2。
即四边形ABNM的面积为定值2。
评注：本题考查椭圆方程的求解和椭圆与直线相交的面积等值问题，应用直线与曲线相交的代数方法可以解决，也可以应用椭圆的参数方程解决。
二、 定量相等
【例2】 如图所示，已知AB、CD是橢圆x2a2 y2b2=1（a>b>0）的两条相交于点P的弦，AB、CD与x轴的夹角互补，求证：|PA|·|PB|=|PC|·|PD|。
证明：设点P（x0，y0），则直线AB的参数方程为
x=x0 tcosα，y=y0 tsinα，（t为参数）
代入x2a2 y2b2=1（a>b>0）并整理，得到
（b2cos2α a2sin2α）t2 （2b2x0cosα 2a2y0sinα）t b2x20 a2y20-a2b2=0（1）
已知直线AB与椭圆有两个交点，方程（1）有两个根。设这两个根分别为t1，t2，则
|PA|·|PB|=|t1t2|=b2x20 a2y20-a2b2b2cos2α a2sin2α（2）
直线CD与AB的倾斜角互补，则直线的倾斜角为π-a，则
|PC|·|PD|=b2x20 a2y20-a2b2b2cos2（π-α） a2sin2（π-α）=b2x20 a2y20-a2b2b2cos2α a2sin2α=|PA|·|PB|
|PA|·|PB|=|PC|·|PD|
评注：本题考查圆锥曲线与直线相交问题，应用直线与曲线相交的代数方法可以解决，但是计算量比较大，而我们应用直线参数方程中参数t的几何意义，解决了本题中的等值问题，充分体现了参数方程解决等值问题的优点和好处。
三、 最值问题
【例3】 （2016·四川卷）在平面内，定点A，B，C，D满足|DA|=|DB|=|DC|，DA·DB=DB·DC=DC·DA=-2，动点P，M满足|AP|=1，PM=MC，求|BM|2的最大值。
解：已知∠ADC=∠ADB=∠BDC=120°，|DA|=|DB|=|DC|=2.以D为原点，直线DA为x轴建立平面直角坐标系，如图所示，
|AP|=1，得（x-2）2 y2=1，圆的参数方程为x=2 cosθy=sinθ（θ为参数）。则P（2 cosθ，sinθ）。又PM=MC，∴Mcosθ 12，sinθ 32，∴BM=cosθ 32，sinθ 332，
∴|BM|2=（cosθ 3）2 （sinθ 33）24=37 12sinθ π64，当sinθ π6=1时，（|BM|2）max=494。
评注：本题考查平面向量的数量积运算，要求解向量模的平方的最大值，用圆的参数方程表示圆上的点，根据三角函数的最值得出向量模的平方的最大值。因此本题用参数方程简化了计算，并且充分体现了参数思想在圆锥曲线中的应用及数形结合的数学思想。由上可知，应用参数方程可以快速地解决有些圆锥曲线问题，这让我们在面对有些束手无策的圆锥曲线题目能从容应对。
作者简介：
郭慧玲，甘肃省武威市，武威市第六中学。