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摘要：复习教学是高中数学教学的重要课型，尤其是在当前江苏的高考数学权重特别大的模式下，有效的复习教学是提高学生数学素养、缓解考前紧张气氛、提高高考成绩的必由之路.
关键词：高中数学 复习教学 变式 问题
有效的复习教学，能够帮助学生将前面学习的零散的知识和方法联结成网，提升学生的数学素养.由于在当前的考试模式下，高考中数学所占的权重太大，很多教师和学生深陷题海不可自拔，导致高中数学复习教学高耗低效，甚至于对学生的数学学习兴趣和信心有负面影响.那么，如何有效地提升高中数学复习教学的实际效果呢？本文就该话题结合笔者的教学实践谈点看法.
一、精选例题，实现知识和方法的有效回顾
例题是复习教学中复习知识和方法的重要载体.在选择例题时，教师必须注重问题的有效性.什么是例题的有效性？怎样选择一个例题才是最为恰当的？笔者认为，有效的问题其落点必须是在学生最近发展区内的，同时有效的问题必定不是孤立的“死题”，即问题的设计必须具有延展性，或在解法上创新，或在设问上深化.在例题或练习题的设计上，教师要多下工夫，不但使问题有一定的难度，更要使练习题的知识点全面，并且要有一定的针对性.在学生完成习题解答后，教师要引导学生反思解题过程，借此提升学生思维的广度和深度.
例1 已知圆C：x2 y2-2x 4y-4=0.试分析是否存在一条斜率为1的直线，使以直线被圆截得的弦AB为直径的圆经过原点？
分析：这道例题具有探索性.这个问题的方法不止一个，恰好给了学生放飞思维的空间，在实际的习题教学讲评时，要引导学生从常规解法开始，逐步理解，创新解法.
解法1 （常规解法）：假设直线l存在，直线方程为：y=ax b，同时设弦AB端点的坐标：A（x1，y1），B（x2，y2）.
由已知条件“以AB为直径的圆过原点”，可以得到
OA⊥OB，即x1x2 y1y2=0. ①
联立方程组y=ax b
x2 y2-2x 4y-4=0，得2x2 2（b 1）x b2 4b-4=0. ②
x1 x2=-（b 1），x1x2=12（b2 4b-4）.
所以y1y2=（x1 b）（x2 b）=12（b2 2b-4）.将其代入①，得b=1或b=-4.即：当b=1或b=-4时，直线l与圆C是相交的.
因此，可以判断直线l是存在的，得到其方程：x-y 1=0或x-y-4=0.
在学生理解了解法1的基础上，教师可以提出问题，引导学生反思题干中给出的条件：想一想过原点的圆系方程的表示形式有哪些？借助这个问题的点拨，将学生的思维方向指向新的解法.
解法2（另辟蹊径法）：因为圆通过原点，所以设以弦AB为直径的圆的方程为x2 y2 Dx Ey=0，可知其圆心坐标：（-D2，-E2），直线l的方程可以得到：（D 2）x （E-4）y 4=0.结合题干中所给条件“直线l的斜率为1，而且圆心在直线l上”，得：
D 2=-（E-4）
（D 2）（-D2） （E-4）（-E2） 4=0
解得D=2，E=0或D=-3，E=5.
代入，可得直线l的方程：x-y 1=0或x-y-4=0.
再进一步检验，可以判断上述两个方程满足条件.
点评：在学生完成问题的解答后，教师引导学生进行方法的对比，有助于学生对知识的内化和方法的提炼.例1中，与解法1相比，解法2的解题思路更为自然，比解法1的运算量也有了明显的减小，从教学实践经验来看，学生都比较乐于接受解法2，解答的正确率相比而言比较高，容易在学生大脑中留下记忆表象，同时有效地调动学生的成就动机，推动数学学习向高效方向发展.
二、设置题组，引导学生拾级而上
学生在前面的学习中知识掌握程度各不相同，同时即使是前面学的比较好的学生在复习教学中也未必能做到对每个题都能迅速解决.那么，如何复习呢？笔者认为，教师必须从学生的最近发展区出发，低起点设置台阶，借助于题组的形式，引导学生拾级而上.
例如，在复习“等差数列的综合应用”时，笔者结合所教班级学生的实际水平，一共给学生设置了“三组”习题.
第一组：等差数列基本公式和性质的运用.
例2 正偶数组成的数列2，4，6，8，……前多少项之和等于110？
例3 等差数列{an}中，若a8 a9 a10 a11 a12=30，则S19=？
第二组：灵活运用公式和性质解决较复杂的问题.
例4 设{an}是公差为-2的等差数列，而且a1 a4 a7 … a97=50，求a3 a6 a9 … a99=？
第三组：求等差数列前n项和的最值问题.
例5 首项为a1，公差d不为0的等差数列满足什么条件时，其前n项和存在最大值或最小值，尝试着对一般情况进行分析.
从问题的设置上看，从第一组到第三组，难度不断加大，呈现出逐步深入的阶梯过程.第一组题，主要引导学生从基础入手，借助于函数的思想，寻找解决问题的方法；中等学生可以从第二组开始，利用方程的思想直接求首项，接着抓住等差数列求和公式，解决问题；对于学优生，基础好，跨度可以大一些，解决第二组问题，可以从整体思想出发解决问题，甚至可以直接从第三组开始思考，从二次函数和通项分析法入手，遇到困难时，尝试用图象解决问题.
三、发散思维，借助于问题思考，编制数学知识网络
高中数学知识间是存在着联系的.在问题的解决过程中，教师应该引导学生反思问题的解决方法，发散学生的思维，借助于问题的解决，促进学生知识网络的形成.
例6 求函数y=x2 4 （x-1）2 9的最小值.
想法1：单纯从代数解法去考虑，将表达式移项、平方、整理成关于x的二次方程，找到利用判别式△≥0的解法.这种纯代数解法，运算量比较大，稍不小心，就会前功尽弃.
想法2：用导数法来解，利用复合函数的求导公式.由于文科生对复合函数求导不作要求，他们虽然想到用导数法来解，但是一开始下手就会自己发明公式，求错导数.
如果运用数形结合，联系平面几何、解析几何等有关知识，多角度去寻求解题途径，就能得到简便的解题方法.
想法3：观察函数解析式的形式，联想解析几何中两点间的距离公式，建立直角坐标系，x轴上一动点P（x，0），使它到点A（0，2），B（1，3）的距离之和为最小.依据“异侧和最小，同侧差最大”去求解，所以只要求出B（1，3）关于x轴的对称点B（1，-3）即可.将|PA| |PB|转化为|PA| |PB′|≥|AB′|=26，所以原函数最小值为26.
总之，高中数学各章节之间存在潜在联系.只要学生善于思考，就可以做到相互渗透、相互转化.教师要注重引导学生多角度、多方位思考问题，深入细致观察，挖掘各章节知识的联系，提高学生分析问题和解决问题的本领.“数学就是对模式的研究”.要想提高复习教学的效果，教师必须找到一个最佳的复习模式，让学生自主地将高中前两年积累的概念知识、数学方法和解题经验，经过加工、归纳、融合等过程形成固有的模型和通法，学生的知识全面了，思维开阔了，他们在解决数学问题的过程中就能逢山开路.只有提炼出固有的模型，在解题过程中学生才能游刃有余.
参考文献
董宝良.陶行知教育论著选[M].人民教育出版社，1991年版.
关键词：高中数学 复习教学 变式 问题
有效的复习教学，能够帮助学生将前面学习的零散的知识和方法联结成网，提升学生的数学素养.由于在当前的考试模式下，高考中数学所占的权重太大，很多教师和学生深陷题海不可自拔，导致高中数学复习教学高耗低效，甚至于对学生的数学学习兴趣和信心有负面影响.那么，如何有效地提升高中数学复习教学的实际效果呢？本文就该话题结合笔者的教学实践谈点看法.
一、精选例题，实现知识和方法的有效回顾
例题是复习教学中复习知识和方法的重要载体.在选择例题时，教师必须注重问题的有效性.什么是例题的有效性？怎样选择一个例题才是最为恰当的？笔者认为，有效的问题其落点必须是在学生最近发展区内的，同时有效的问题必定不是孤立的“死题”，即问题的设计必须具有延展性，或在解法上创新，或在设问上深化.在例题或练习题的设计上，教师要多下工夫，不但使问题有一定的难度，更要使练习题的知识点全面，并且要有一定的针对性.在学生完成习题解答后，教师要引导学生反思解题过程，借此提升学生思维的广度和深度.
例1 已知圆C：x2 y2-2x 4y-4=0.试分析是否存在一条斜率为1的直线，使以直线被圆截得的弦AB为直径的圆经过原点？
分析：这道例题具有探索性.这个问题的方法不止一个，恰好给了学生放飞思维的空间，在实际的习题教学讲评时，要引导学生从常规解法开始，逐步理解，创新解法.
解法1 （常规解法）：假设直线l存在，直线方程为：y=ax b，同时设弦AB端点的坐标：A（x1，y1），B（x2，y2）.
由已知条件“以AB为直径的圆过原点”，可以得到
OA⊥OB，即x1x2 y1y2=0. ①
联立方程组y=ax b
x2 y2-2x 4y-4=0，得2x2 2（b 1）x b2 4b-4=0. ②
x1 x2=-（b 1），x1x2=12（b2 4b-4）.
所以y1y2=（x1 b）（x2 b）=12（b2 2b-4）.将其代入①，得b=1或b=-4.即：当b=1或b=-4时，直线l与圆C是相交的.
因此，可以判断直线l是存在的，得到其方程：x-y 1=0或x-y-4=0.
在学生理解了解法1的基础上，教师可以提出问题，引导学生反思题干中给出的条件：想一想过原点的圆系方程的表示形式有哪些？借助这个问题的点拨，将学生的思维方向指向新的解法.
解法2（另辟蹊径法）：因为圆通过原点，所以设以弦AB为直径的圆的方程为x2 y2 Dx Ey=0，可知其圆心坐标：（-D2，-E2），直线l的方程可以得到：（D 2）x （E-4）y 4=0.结合题干中所给条件“直线l的斜率为1，而且圆心在直线l上”，得：
D 2=-（E-4）
（D 2）（-D2） （E-4）（-E2） 4=0
解得D=2，E=0或D=-3，E=5.
代入，可得直线l的方程：x-y 1=0或x-y-4=0.
再进一步检验，可以判断上述两个方程满足条件.
点评：在学生完成问题的解答后，教师引导学生进行方法的对比，有助于学生对知识的内化和方法的提炼.例1中，与解法1相比，解法2的解题思路更为自然，比解法1的运算量也有了明显的减小，从教学实践经验来看，学生都比较乐于接受解法2，解答的正确率相比而言比较高，容易在学生大脑中留下记忆表象，同时有效地调动学生的成就动机，推动数学学习向高效方向发展.
二、设置题组，引导学生拾级而上
学生在前面的学习中知识掌握程度各不相同，同时即使是前面学的比较好的学生在复习教学中也未必能做到对每个题都能迅速解决.那么，如何复习呢？笔者认为，教师必须从学生的最近发展区出发，低起点设置台阶，借助于题组的形式，引导学生拾级而上.
例如，在复习“等差数列的综合应用”时，笔者结合所教班级学生的实际水平，一共给学生设置了“三组”习题.
第一组：等差数列基本公式和性质的运用.
例2 正偶数组成的数列2，4，6，8，……前多少项之和等于110？
例3 等差数列{an}中，若a8 a9 a10 a11 a12=30，则S19=？
第二组：灵活运用公式和性质解决较复杂的问题.
例4 设{an}是公差为-2的等差数列，而且a1 a4 a7 … a97=50，求a3 a6 a9 … a99=？
第三组：求等差数列前n项和的最值问题.
例5 首项为a1，公差d不为0的等差数列满足什么条件时，其前n项和存在最大值或最小值，尝试着对一般情况进行分析.
从问题的设置上看，从第一组到第三组，难度不断加大，呈现出逐步深入的阶梯过程.第一组题，主要引导学生从基础入手，借助于函数的思想，寻找解决问题的方法；中等学生可以从第二组开始，利用方程的思想直接求首项，接着抓住等差数列求和公式，解决问题；对于学优生，基础好，跨度可以大一些，解决第二组问题，可以从整体思想出发解决问题，甚至可以直接从第三组开始思考，从二次函数和通项分析法入手，遇到困难时，尝试用图象解决问题.
三、发散思维，借助于问题思考，编制数学知识网络
高中数学知识间是存在着联系的.在问题的解决过程中，教师应该引导学生反思问题的解决方法，发散学生的思维，借助于问题的解决，促进学生知识网络的形成.
例6 求函数y=x2 4 （x-1）2 9的最小值.
想法1：单纯从代数解法去考虑，将表达式移项、平方、整理成关于x的二次方程，找到利用判别式△≥0的解法.这种纯代数解法，运算量比较大，稍不小心，就会前功尽弃.
想法2：用导数法来解，利用复合函数的求导公式.由于文科生对复合函数求导不作要求，他们虽然想到用导数法来解，但是一开始下手就会自己发明公式，求错导数.
如果运用数形结合，联系平面几何、解析几何等有关知识，多角度去寻求解题途径，就能得到简便的解题方法.
想法3：观察函数解析式的形式，联想解析几何中两点间的距离公式，建立直角坐标系，x轴上一动点P（x，0），使它到点A（0，2），B（1，3）的距离之和为最小.依据“异侧和最小，同侧差最大”去求解，所以只要求出B（1，3）关于x轴的对称点B（1，-3）即可.将|PA| |PB|转化为|PA| |PB′|≥|AB′|=26，所以原函数最小值为26.
总之，高中数学各章节之间存在潜在联系.只要学生善于思考，就可以做到相互渗透、相互转化.教师要注重引导学生多角度、多方位思考问题，深入细致观察，挖掘各章节知识的联系，提高学生分析问题和解决问题的本领.“数学就是对模式的研究”.要想提高复习教学的效果，教师必须找到一个最佳的复习模式，让学生自主地将高中前两年积累的概念知识、数学方法和解题经验，经过加工、归纳、融合等过程形成固有的模型和通法，学生的知识全面了，思维开阔了，他们在解决数学问题的过程中就能逢山开路.只有提炼出固有的模型，在解题过程中学生才能游刃有余.
参考文献
董宝良.陶行知教育论著选[M].人民教育出版社，1991年版.