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一、教学实践
以“多边形面积计算的实践活动”课为例，分析一下，我是如何设计这节课的，以及五年级学生在学习几何初步知识方面掌握的数学思想方法的情况。
1 以数学思想方法为主线安排教学内容。
第一阶段：回忆整理所用的数学思想方法。
在这节课中，我首先以学过的五个多边形的面积公式及其推导过程为载体，让学生回忆整理其中所应用的数学思想与方法。先让学生说出五个图形的面积公式；然后分小组讨论每个公式的推导过程；接着我又让学生应用转化思想说出
最后让学生讨论，回忆整理出其中所用的数学思想方法主要有：割补法、拼合法、平移法、旋转法，迁移思想、转化思想等。
第二阶段：应用数学思想方法解决实际问题。
我设计了四道实际应用题目。(实践操作题。观察发现题，先估后验题，解决“买地”题)(1)实践操作题：让学生观察教室里哪些物体的面上有我们学过的图形，然后各小组自选一个图形测量出必备的条件计算出这个图形的面积。(2)观察发现题：(如图2)，运用观察、比较的方法找出这几个图形的异同点。(3)先估后验题：①在图3a中大平行四边形的面积是48平方厘米。小平行四边形的面积是多少?②梯形的面积是72平方厘米。涂色部分面积是多少?
教师先不出示数据只出示题目，让学生直接观察估出阴影部分的面积是多少?然后再出示各数据，学生进行验证估算结果的正确性。(4)解决“买地”题：某村有一块荒地，如图4所示，准备以每平方米200元的价格出售，如果买方有1.2万元你认为够吗?
要求学生用多种方法计算组合图形的面积，如图5所示，学生用的方法有：在练习中，不以得出答案为目标，而以学生能否应用各种数学思想方法解决实际问题为主要目标，让学生通过独立思考、合作交流和自我评价等过程，提高学习的能力，培养对数学学习的兴趣。
2 学生掌握数学思想方法的情况统计如下：
(1)主要的内容：有数格子法、割补法、拼合法、平移法、旋转法、分割法、补足法、移位法、找等量法、先估后验法、观察对比法等以及迁移思想、转化思想、优化思想等。
(2)掌握的深度：能说出所用方法的名称，并进行演示的占总人数的90％以上，还能有条理地叙述推理过程的约占总人数的50％。
(3)掌握的广度：这些方法中全部掌握的占20％左右，大部分能掌握的占80％，只掌握半数的占90％以上，其余(10％)的学生只掌握一些最常用的方法。
3 学生掌握数学思想方法存在的问题：
(1)观察无序。如前述观察发现题，学生不能按从“总体一部分一总体”的观察顺序，先说出共有哪几个图形，然后再说出每个图形的已知条件和可求的面积，最后再进行比较找出四个图形中的异同点。一般都是想到什么就说什么，思维缺乏条理性。
(2)估算能力差。估算不光是一种技能，更是一种良好的习惯与意识，它能帮助学生自觉地注意计算结果的合理性。前述先估后验题，能估出第一幅图的学生占绝大多数，而能估出第二幅图的却寥寥无几。这说明学生的空间想象力还不够强，这是一个薄弱环节。
(3)盲目分割现象多。前述“买地”题，要求学生采用多种方法求组合图形的面积。作业中发现。学生都会用分割法进行计算，但盲目分割的现象多。如图6所示有的分割成这种情况：学生只考虑方法要多，而不去考虑使用这些方法能否使计算简便，初步统计有出现盲目分割的学生约占66％。可以看出学生的优化意识还不强。
二、教学启示
启示一：重视思想方法，落实培养目标。
关于“获得数学思想方法”这一目标的落实，我曾经走过以下三种历程：(1)只重视知识技能的获得，根本不提所用的数学思想方法。(2)只提出所用的数学思想方法的名称，而学生并未实际掌握。(3)以数学思想方法为主线，让学生运用它去获取知识和技能。现在我教“平行四边形的面积计算”这节课时，就让学生自己变魔术，把一张长方形纸沿一条直线剪一刀，变成两个图形，再拼成一个新的图形，如图7所示。
然后引导学生观察变化前后两个图形什么变了什么没变，让学生明白“等积变换”的原理。再回忆我们所用的方法，总结出“割补法”的作用。在这个基础上，让学生思考如何找出求平行四边形面积的计算方法。这样，学生就能自觉地运用“割补法”与“等积变换”的原理，把平行四边形转化成已学的长方形进行推导，做到不但能说出思想方法的名称，还能具体演示和说明推导过程。显然，我们应该提倡第三种做法。
启示二：开展探索活动，运用思想方法。
分析自己所上的课，发现在开展探索活动中，往往存在三个不够：(1)提供的探索时间和空间不够。(2)提供探索的材料和民主气氛不够。(3)探索活动发挥中师生、生生合作的作用不够。如在学习“三角形的面积计算”这节课上，当学生探索把三角形转化成已学过的图形时，过去我是这样处理的：请同学们拿出自己准备好的两个完全一样的三角形拼拼看，可以拼成已学过的什么图形?然后立即进行公式推导。这样课堂上好像在探索，实际上却是按教师预先设计的方案，用统一的思路与材料在被动地操作而已。现在我则拿出较多的时间，让学生敞开思想，先猜一猜：用一个三角形可不可以?用两个三角形可以吗?用什么样的两个三角形才可以呢?然后自由选择，分工尝试，教师下组共同探讨。这样，课堂上学生就多一份猜想的冲动，多一点自主求异的思维和争优的雄心。在这种情况下点明所用的思想与方法，学生一定印象深刻。
启示三：对比、分析、总结、领悟思想方法。
在学习时，除了要多进行实际操作外，还要适时进行对比、分析与总结，让学生掌握它的特点，明确它所依据的原理，并加以命名，这样学生才好记，好说，又好用。如教学“梯形的而积计算”时，在展示各种探索成果之后，引导学生做下面三项工作。
(1)找出异同点。相同点：都是转化成已学过的图形。不同点：转化的方法不同，①②是用一个梯形转化，③④是用两个完全一样的梯形转化。
(2)分析根据的原理。都是根据“等积变换”的原理，
(3)总结特点并命名。①②是找腰中心点、割补、旋转一割补法：③④是重合、旋转、平移一拼合法。都能推导出梯形面积是5=(a+b)×h÷2。
启示四：创设问题情境，提高应用水平。
“问题是数学的心脏”，学生的积极思维往往由问题诱引，又在解决问题的过程中得到发展。如在教学“组合图形面积的计算”中，设计像本课“买地”一题的问题情境，就能让学生展开多角度的思维，综合应用所学的各种数学思想方法解决问题。在多种解法面前，我注意组织学生分析研究。如这道题分割成两块就能解决问题，对于分割成i块、四块，甚至五块的现象，我就引导学生讨论，它们有什么特殊意义，从中既让学生增强了优化意识，又让学生发现了“找等量的方法”。例如：
①以长方形为等量：6×5×2.5＝75(平方米)
②以三角形为等量：6×5÷2×5＝75(平方米)
又例如在学生分割的基础上，我启发学生发现各分割块之间的等边关系，引导学生进行移位，拼成一个已学的图形。
①变成梯形：(10+5×3)×6÷2＝75(平方米)
②变成梯形：(12×2+6)×5-2＝75(平方米)
这使学生眼界大开，兴趣盎然，在应用中不断提高运用数学思想方法的水平。
责任编辑：王 彬
以“多边形面积计算的实践活动”课为例，分析一下，我是如何设计这节课的，以及五年级学生在学习几何初步知识方面掌握的数学思想方法的情况。
1 以数学思想方法为主线安排教学内容。
第一阶段：回忆整理所用的数学思想方法。
在这节课中，我首先以学过的五个多边形的面积公式及其推导过程为载体，让学生回忆整理其中所应用的数学思想与方法。先让学生说出五个图形的面积公式；然后分小组讨论每个公式的推导过程；接着我又让学生应用转化思想说出
最后让学生讨论，回忆整理出其中所用的数学思想方法主要有：割补法、拼合法、平移法、旋转法，迁移思想、转化思想等。
第二阶段：应用数学思想方法解决实际问题。
我设计了四道实际应用题目。(实践操作题。观察发现题，先估后验题，解决“买地”题)(1)实践操作题：让学生观察教室里哪些物体的面上有我们学过的图形，然后各小组自选一个图形测量出必备的条件计算出这个图形的面积。(2)观察发现题：(如图2)，运用观察、比较的方法找出这几个图形的异同点。(3)先估后验题：①在图3a中大平行四边形的面积是48平方厘米。小平行四边形的面积是多少?②梯形的面积是72平方厘米。涂色部分面积是多少?
教师先不出示数据只出示题目，让学生直接观察估出阴影部分的面积是多少?然后再出示各数据，学生进行验证估算结果的正确性。(4)解决“买地”题：某村有一块荒地，如图4所示，准备以每平方米200元的价格出售，如果买方有1.2万元你认为够吗?
要求学生用多种方法计算组合图形的面积，如图5所示，学生用的方法有：在练习中，不以得出答案为目标，而以学生能否应用各种数学思想方法解决实际问题为主要目标，让学生通过独立思考、合作交流和自我评价等过程，提高学习的能力，培养对数学学习的兴趣。
2 学生掌握数学思想方法的情况统计如下：
(1)主要的内容：有数格子法、割补法、拼合法、平移法、旋转法、分割法、补足法、移位法、找等量法、先估后验法、观察对比法等以及迁移思想、转化思想、优化思想等。
(2)掌握的深度：能说出所用方法的名称，并进行演示的占总人数的90％以上，还能有条理地叙述推理过程的约占总人数的50％。
(3)掌握的广度：这些方法中全部掌握的占20％左右，大部分能掌握的占80％，只掌握半数的占90％以上，其余(10％)的学生只掌握一些最常用的方法。
3 学生掌握数学思想方法存在的问题：
(1)观察无序。如前述观察发现题，学生不能按从“总体一部分一总体”的观察顺序，先说出共有哪几个图形，然后再说出每个图形的已知条件和可求的面积，最后再进行比较找出四个图形中的异同点。一般都是想到什么就说什么，思维缺乏条理性。
(2)估算能力差。估算不光是一种技能，更是一种良好的习惯与意识，它能帮助学生自觉地注意计算结果的合理性。前述先估后验题，能估出第一幅图的学生占绝大多数，而能估出第二幅图的却寥寥无几。这说明学生的空间想象力还不够强，这是一个薄弱环节。
(3)盲目分割现象多。前述“买地”题，要求学生采用多种方法求组合图形的面积。作业中发现。学生都会用分割法进行计算，但盲目分割的现象多。如图6所示有的分割成这种情况：学生只考虑方法要多，而不去考虑使用这些方法能否使计算简便，初步统计有出现盲目分割的学生约占66％。可以看出学生的优化意识还不强。
二、教学启示
启示一：重视思想方法，落实培养目标。
关于“获得数学思想方法”这一目标的落实，我曾经走过以下三种历程：(1)只重视知识技能的获得，根本不提所用的数学思想方法。(2)只提出所用的数学思想方法的名称，而学生并未实际掌握。(3)以数学思想方法为主线，让学生运用它去获取知识和技能。现在我教“平行四边形的面积计算”这节课时，就让学生自己变魔术，把一张长方形纸沿一条直线剪一刀，变成两个图形，再拼成一个新的图形，如图7所示。
然后引导学生观察变化前后两个图形什么变了什么没变，让学生明白“等积变换”的原理。再回忆我们所用的方法，总结出“割补法”的作用。在这个基础上，让学生思考如何找出求平行四边形面积的计算方法。这样，学生就能自觉地运用“割补法”与“等积变换”的原理，把平行四边形转化成已学的长方形进行推导，做到不但能说出思想方法的名称，还能具体演示和说明推导过程。显然，我们应该提倡第三种做法。
启示二：开展探索活动，运用思想方法。
分析自己所上的课，发现在开展探索活动中，往往存在三个不够：(1)提供的探索时间和空间不够。(2)提供探索的材料和民主气氛不够。(3)探索活动发挥中师生、生生合作的作用不够。如在学习“三角形的面积计算”这节课上，当学生探索把三角形转化成已学过的图形时，过去我是这样处理的：请同学们拿出自己准备好的两个完全一样的三角形拼拼看，可以拼成已学过的什么图形?然后立即进行公式推导。这样课堂上好像在探索，实际上却是按教师预先设计的方案，用统一的思路与材料在被动地操作而已。现在我则拿出较多的时间，让学生敞开思想，先猜一猜：用一个三角形可不可以?用两个三角形可以吗?用什么样的两个三角形才可以呢?然后自由选择，分工尝试，教师下组共同探讨。这样，课堂上学生就多一份猜想的冲动，多一点自主求异的思维和争优的雄心。在这种情况下点明所用的思想与方法，学生一定印象深刻。
启示三：对比、分析、总结、领悟思想方法。
在学习时，除了要多进行实际操作外，还要适时进行对比、分析与总结，让学生掌握它的特点，明确它所依据的原理，并加以命名，这样学生才好记，好说，又好用。如教学“梯形的而积计算”时，在展示各种探索成果之后，引导学生做下面三项工作。
(1)找出异同点。相同点：都是转化成已学过的图形。不同点：转化的方法不同，①②是用一个梯形转化，③④是用两个完全一样的梯形转化。
(2)分析根据的原理。都是根据“等积变换”的原理，
(3)总结特点并命名。①②是找腰中心点、割补、旋转一割补法：③④是重合、旋转、平移一拼合法。都能推导出梯形面积是5=(a+b)×h÷2。
启示四：创设问题情境，提高应用水平。
“问题是数学的心脏”，学生的积极思维往往由问题诱引，又在解决问题的过程中得到发展。如在教学“组合图形面积的计算”中，设计像本课“买地”一题的问题情境，就能让学生展开多角度的思维，综合应用所学的各种数学思想方法解决问题。在多种解法面前，我注意组织学生分析研究。如这道题分割成两块就能解决问题，对于分割成i块、四块，甚至五块的现象，我就引导学生讨论，它们有什么特殊意义，从中既让学生增强了优化意识，又让学生发现了“找等量的方法”。例如：
①以长方形为等量：6×5×2.5＝75(平方米)
②以三角形为等量：6×5÷2×5＝75(平方米)
又例如在学生分割的基础上，我启发学生发现各分割块之间的等边关系，引导学生进行移位，拼成一个已学的图形。
①变成梯形：(10+5×3)×6÷2＝75(平方米)
②变成梯形：(12×2+6)×5-2＝75(平方米)
这使学生眼界大开，兴趣盎然，在应用中不断提高运用数学思想方法的水平。
责任编辑：王 彬