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这里的“求变意识”指在数学教学中对题型进行多角度、多层次（如改变命题的题设、结论等）的演变，以启发学生的发散思维，提升学生数学素养的思维品质。笔者结合几则教学实例，谈谈培养学生“求变意识”的具体做法。
一、一题多解，培养思维的广阔性
一题多解既可以开阔思维，提高思维的敏捷性，又有利于培养学生的创新意识。教学中，教师围绕问题结论之间的关系，引导学生通过对比，进行多角度、多方向的思考，有助于学生打通知识的内在联系，培养其思维的广阔性。
二、一题多变，培养思维的深刻性
一题多变是培养学生创新思维能力的有效途径之一。教学中，教师适当地运用一题多变法，能激发学生发现和创新的欲望，加深他们学生对所学知识的理解，锻炼其思维的广阔性、深刻性和独创性。
我们来看下面这道题目。
如图1，要在燃气管道L上修建一个泵站，分别向A、B两工厂供气。请问：泵站修在什么地方，所用的输气管线最短？
这道题的解法很简单：作B关于L的对称点B’（如图2），则PB=PB’，只要PB’ PA最小，那么PA PB最小（两点之间线段最短），所以连接AB’交直线L于P，P就是泵站所建的位置。这是八年级数学中已经解决的问题。运用这个数学模型，我们可以解决很多数学问题。例如下面几个变式题。
这道题也是求两条线段之和的最小值，它是不是和解决“泵站问题”类似呢？学生通过比较发现，求EC ED的最小值实际上就是作C（或D）关于AB的对称点（图4），然后根据“两点之间线段最短”求出EC ED的最小值等于C’D。
分析作出图4后，有学生提出，如果连接图4的AC’，不就构成一个正方形了吗？（图5）教师肯定了这种想法，并鼓励学生尝试解题。
原题是利用轴对称性和“两点之间线段最短”来解决泵站问题，而变式1的题设也是以等腰直角三角形为几何背景求线段之和的最小值。等腰直角三角形本身就是一个轴对称图形，解决变式1所添加的辅助线也构成了正方形这个轴对称图形。换句话说，“泵站”问题是不是以轴对称图形为背景的图形变换呢？学生的好奇心被挑动了。教师适时给出了变式2和变式3。
变式2：如图6，P是边长为1的菱形ABCD对角线AC上的一个动点，M、N分别是AB、BC边上的中点，则PM PN的最小值是_____。
变式3：如图7，已知⊙O的半径为r，C、D是直径AB同侧圆周上的两点，弧AC的度数为96°，弧BD的度数为36°，动点P在AB上，则PC PD的最小值_____。
这些变式题以“泵站问题”为基础，或变换题目的条件和结论，或变换题目的形式，但题目的实质不变。这有利于从不同角度、不同方面提示题目的本质，使学生通过变式较深刻的理解同类型问题的内涵、特征和解答技巧。
三、对比辨析，培养思维的批判性
思维的批判性主要表现为有独立见解，敢于怀疑，有较强的辨识能力。在解题教学中，教师抓住典型性错误有意识地设置“陷阱”，引导学生进行错题辨析，并对比类似问题解法上的异同，能提高学生的辨识、判断能力，培养其思维的批判性。
多项选择题涉及的内容广泛，且命题者往往设置有“陷阱”，要选出正确的答案，必须用批判性的态度去思考，请看下面这道题目。
培养学生数学思维的批判性应首先落实在概念、公式、法则和定理的教学中。教师既要让学生明确它们的作用，又要让学生理解它们的真正含义。比如（1），a与b的关系可以通过对称轴的关系来建立，为此，学生必须熟悉抛物线的对称轴公式x=-[b2a]。找到了这层关系，由题意可得x=-[b2a]=1，于是很快就能判断出2a b=0这个结论正确。
数学思维批判性的特征在于有能力评价解题思路是否正确，能用批判性的态度分析解题过程，发现其中的不足，并加以改正和完善。如（2），由图学生很快发现各项系数的范围a>0，b<0，c<0，但单凭这些条件还不足以推出a b c的正负。在寻找条件的过程中，学生运用数形结合知识发现，当-1 问题越辩越明，自由讨论、争辩的学习氛围有利于发展学生思维的批判性。教学中，很多学生认为（5）正确。出现错误的原因，在于学生没有充分利用题目所给的已知条件。教师没有直接指出学生判断错误的原因，而是引导他们进一步读题，并自主交流讨论。通过讨论，学生发现要使△ABC为等腰直角三角形，有AB=BC=4，AB=AC=4和AC=BC三种情况，但并不一定能据此确定a的值的个数。于是，学生抱着质疑的态度进行验证。最后，学生通过计算得出，当AC=BC时，关于a的方程无解，因此a的值只有两个，结论（5）是错误的。
培养学生数学思维的批判性是一个复杂的过程，不能期望一蹴而就。教学中，教师有意识地对学生进行数学论证和计算方面的科学训练，学生数学思维的批判性就会逐步增强。
四、注重联想，培养思维的灵活性
思维的灵活性指解题时不局限于某一方面或受思维定势的影响，而能随机应变，触类旁通。
我们来看这样一道题目：设a2 2a-1=0，b4-2b2-1=0且1-ab2≠0，求[（ab2 b2 3a 1a）2]的值。不少学生一看到题目，就按照常规思维对求值的分式进行化简；还有的学生则去解关于a，b的方程，再代入求值。这些思维方法都没错，但这样解题计算量相当大，学生往往难以求出正确的值。其实，解这道题时，上述两种解法都不是最佳选择。学生如果能通过观察两个方程系数的特征，联想到[1a]和b2可以看作一元二次方程x2-2x-1=0的两个根，然后运用“韦达定理”来解决问题，解题的过程就会变得很简单。
数学的多个分支在内容和方法上都是密切联系，互相渗透的。在解决数学问题时，丰富而恰当的联想，能使看似复杂的问题变得熟悉起来，简单起来。因此，平时教学中，教师经常指导学生整理知识，让他们发现知识的纵向联系和横向联系。这样，学生思维的灵活性就会越来越强。
（作者单位：赤壁市蒲纺一中）
责任编辑 姜楚华
一、一题多解，培养思维的广阔性
一题多解既可以开阔思维，提高思维的敏捷性，又有利于培养学生的创新意识。教学中，教师围绕问题结论之间的关系，引导学生通过对比，进行多角度、多方向的思考，有助于学生打通知识的内在联系，培养其思维的广阔性。
二、一题多变，培养思维的深刻性
一题多变是培养学生创新思维能力的有效途径之一。教学中，教师适当地运用一题多变法，能激发学生发现和创新的欲望，加深他们学生对所学知识的理解，锻炼其思维的广阔性、深刻性和独创性。
我们来看下面这道题目。
如图1，要在燃气管道L上修建一个泵站，分别向A、B两工厂供气。请问：泵站修在什么地方，所用的输气管线最短？
这道题的解法很简单：作B关于L的对称点B’（如图2），则PB=PB’，只要PB’ PA最小，那么PA PB最小（两点之间线段最短），所以连接AB’交直线L于P，P就是泵站所建的位置。这是八年级数学中已经解决的问题。运用这个数学模型，我们可以解决很多数学问题。例如下面几个变式题。
这道题也是求两条线段之和的最小值，它是不是和解决“泵站问题”类似呢？学生通过比较发现，求EC ED的最小值实际上就是作C（或D）关于AB的对称点（图4），然后根据“两点之间线段最短”求出EC ED的最小值等于C’D。
分析作出图4后，有学生提出，如果连接图4的AC’，不就构成一个正方形了吗？（图5）教师肯定了这种想法，并鼓励学生尝试解题。
原题是利用轴对称性和“两点之间线段最短”来解决泵站问题，而变式1的题设也是以等腰直角三角形为几何背景求线段之和的最小值。等腰直角三角形本身就是一个轴对称图形，解决变式1所添加的辅助线也构成了正方形这个轴对称图形。换句话说，“泵站”问题是不是以轴对称图形为背景的图形变换呢？学生的好奇心被挑动了。教师适时给出了变式2和变式3。
变式2：如图6，P是边长为1的菱形ABCD对角线AC上的一个动点，M、N分别是AB、BC边上的中点，则PM PN的最小值是_____。
变式3：如图7，已知⊙O的半径为r，C、D是直径AB同侧圆周上的两点，弧AC的度数为96°，弧BD的度数为36°，动点P在AB上，则PC PD的最小值_____。
这些变式题以“泵站问题”为基础，或变换题目的条件和结论，或变换题目的形式，但题目的实质不变。这有利于从不同角度、不同方面提示题目的本质，使学生通过变式较深刻的理解同类型问题的内涵、特征和解答技巧。
三、对比辨析，培养思维的批判性
思维的批判性主要表现为有独立见解，敢于怀疑，有较强的辨识能力。在解题教学中，教师抓住典型性错误有意识地设置“陷阱”，引导学生进行错题辨析，并对比类似问题解法上的异同，能提高学生的辨识、判断能力，培养其思维的批判性。
多项选择题涉及的内容广泛，且命题者往往设置有“陷阱”，要选出正确的答案，必须用批判性的态度去思考，请看下面这道题目。
培养学生数学思维的批判性应首先落实在概念、公式、法则和定理的教学中。教师既要让学生明确它们的作用，又要让学生理解它们的真正含义。比如（1），a与b的关系可以通过对称轴的关系来建立，为此，学生必须熟悉抛物线的对称轴公式x=-[b2a]。找到了这层关系，由题意可得x=-[b2a]=1，于是很快就能判断出2a b=0这个结论正确。
数学思维批判性的特征在于有能力评价解题思路是否正确，能用批判性的态度分析解题过程，发现其中的不足，并加以改正和完善。如（2），由图学生很快发现各项系数的范围a>0，b<0，c<0，但单凭这些条件还不足以推出a b c的正负。在寻找条件的过程中，学生运用数形结合知识发现，当-1
培养学生数学思维的批判性是一个复杂的过程，不能期望一蹴而就。教学中，教师有意识地对学生进行数学论证和计算方面的科学训练，学生数学思维的批判性就会逐步增强。
四、注重联想，培养思维的灵活性
思维的灵活性指解题时不局限于某一方面或受思维定势的影响，而能随机应变，触类旁通。
我们来看这样一道题目：设a2 2a-1=0，b4-2b2-1=0且1-ab2≠0，求[（ab2 b2 3a 1a）2]的值。不少学生一看到题目，就按照常规思维对求值的分式进行化简；还有的学生则去解关于a，b的方程，再代入求值。这些思维方法都没错，但这样解题计算量相当大，学生往往难以求出正确的值。其实，解这道题时，上述两种解法都不是最佳选择。学生如果能通过观察两个方程系数的特征，联想到[1a]和b2可以看作一元二次方程x2-2x-1=0的两个根，然后运用“韦达定理”来解决问题，解题的过程就会变得很简单。
数学的多个分支在内容和方法上都是密切联系，互相渗透的。在解决数学问题时，丰富而恰当的联想，能使看似复杂的问题变得熟悉起来，简单起来。因此，平时教学中，教师经常指导学生整理知识，让他们发现知识的纵向联系和横向联系。这样，学生思维的灵活性就会越来越强。
（作者单位：赤壁市蒲纺一中）
责任编辑 姜楚华