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《数学课程标准》指出：“符号意识主要是指能够理解并且运用符号表示数、数量关系和变化规律；知道使用符号可以进行运算和推理，得到的结论具有一般性。”“图形与几何”是数学课程一个非常重要的学习领域，如何在“图形与几何”复习课中培养学生的符号意识，既是对学生学科核心素养培养的细化与实化，也是对学生数学表达和数学思考的强化与深化。下面以人教版“ 圆柱与圆锥的复习”为例，谈谈如何在“图形与几何”复习课中培养学生的符号意识。
一、 在感知中了解符号的简洁性——数学符号感知
数学符号意识是一种数学核心素养，它既包括数学符号的知识与能力，还包括学生的综合思维能力。《数学课程标准》对第二学段“图形与几何”的课程内容做出了明确的界定：“结合具体情境，探索并掌握长方体、正方体、圆柱的体积和表面积以及圆锥体积的计算方法，并能解决简单的实际问题。”
朱立明、马云鹏在《数学符号意识”研究：内涵与维度》一文中认为：所谓“数学符号意识”，即学习者在思维（具体表现为数学思维）的引导下，对数学知识与数学符号之间抽象对应关系的一种积极主动的心理认知活动（内隐性），在通过数学符号的感知与理解、运算与推理、交流与表达等数学思考方式解决数学问题的过程中所表现出来的与数学符号相关的一种数学核心素养（外显性）。
在“图形与几何”复习课中，我们不能仅仅满足于数学知识与技能的重复练习，还应在数学基本活动经验的基础上深化学生的符号感知意识。数学符号的感知不仅包括对数学符号本身所特有的意义与内涵的理解，而且包括对数学符号的美学欣赏与了解其暗示功能。显然，圆柱的体积和表面积以及圆锥的体积公式的掌握是“圆柱与圆锥的复习”的一个重点，也是培养学生符号意识的一个很好的复习素材。在人教版“圆柱与圆锥的复习”中，我们注意到，六年级下册关于圆柱的体积是这样下定义的：圆柱的体积=底面积×高，而用数学符号表示就是“V=Sh”，圆柱的表面积=圆柱的侧面积+两个底面的面积，用数学符号表示就是“S表=S侧+2S底”。通过文字与符号的对比，使学生认识到用数学符号来表达圆柱与圆锥的面积、体积公式具有简洁性。这种核心素养一旦形成，对学生将来的发展会起积极作用。
二、 在推理中刻画符号的抽象性——数学符号推理
数学符号意识是学生必须发展的一种数学核心素养，需要学生的直觉力与洞察力，并不是通过教师教的方式获得的。朱立明、马云鹏在《数学符号意识”研究：内涵与维度》一文中认为，对于数学符号推理，学生主要表现为以下三个层次水平：其一，不能利用数学符号进行推理，逻辑思维没有条理性；其二，能够借助数学符号通过合情推理对结论进行猜想，或者通过演绎推理对问题进行论证，具备单一的推理思维；其三，可以通过合情推理得到结论并能够从一般的概念、公理出发，对所得结论利用演绎推理进行论证，具备“猜想—验证”推理思维。
在“图形与几何”复习时，让学生在推理过程中重新刻画符号的抽象性，是发展学生数学符号推理能力的重点。在教学“圆柱与圆锥的复习”时，我们通过展示圆柱体积公式的产生过程，清晰地刻画出学生的符号发展维度。圆柱的体积公式是运用了转化的思想，通过分割，拼成的立体图形越来越接近长方体，于是，圆柱的体积就转化成长方体的底面积乘以高。而长方体的底面积等于圆柱的底面积，长方体的高等于圆柱的高。于是，在这样的推理过程中，学生观察并刻画出转化前后各部分的对应关系，自然而然地推导出圆柱的体积公式。
三、 在运算中体验符号的精确性——数学符号运算
数学符号的运算是数学活动中最重要的基本形式，对学生数学符号意识的形成有着重要的推动作用。用字母表示“图形与几何”领域的公式并进行运算，是数学思维的集中体现。《数学课程标准》对数学思考提出了指导性意见：“建立数感、符号意识和空间观念，初步形成几何直观和运算能力，发展形象思维与抽象思维。”就“图形与几何”领域而言，我们应培养学生在具体的运算中体验到数学基本思想与基本活动经验，使学生认识到符号的精确性。
在“圆柱与圆锥的复习”中，笔者设计了以下教学流程：
1.情景创设：你们玩过橡皮泥吗？在玩的过程中有没有想到一些数学问题？
2.如上图，出示一块底面直径是2厘米、高是3厘米的圆柱形橡皮泥。
3.请大家根据给出的条件，充分发挥想象力，提出有创意的问题。
预设：（1）表面积计算。
（2）底面积计算。
（3）侧面积计算。
（4）一个底面和侧面的面积计算。
（5）纵切面增加的表面积计算。
（6）横切面增加的表面积计算。
（7）体积计算。
（8）削成等底等高的圆锥的体积计算。
（9）削成等底等高的圆锥后，削去部分的体积计算。
（10）将它捏成等底的圆锥，高是多少的计算。
（11）将它捏成等高的圆锥，底面是多少的计算。
……
4.选择问题解决。
显然，这样的复习题极具创新性、整合性，学生在数学运算过程中体验到数学符号的精确性，学生的符号意识得到较好的培养。
四、 在表征中彰显符号的生成性——数学符号表征
发展符号意识最重要的是从数学符号的角度进行数学表征。数学符号表征是一种理性的表现，可以使数学问题的解决呈现出一定的规律，提升有序思维。傅小兰、何海东指出：“正确的表征是解决问题的必要前提，在錯误的或不完整的问题空间中进行搜索，不可能求得问题的正确解。”我们在“图形与几何”教学实践中不难发现，学生对一些具体的“图形与几何”问题在解决过程中存在一定的差异，对于同一表征的不同时期也存在差异。小学生头脑中的表征系统存在着概念表征系统、命题表征系统、表象表征系统、图式表征系统等，这些不同的表征方式对于“图形与几何”领域数学问题的解决起着决定性作用。
数学符号表征的目标是使学生建立公式的技能，通过这些公式和表达式去表示数学的意义。在“图形与几何”复习中，学生的数学符号表征存在一些问题，就“圆柱与圆锥的复习”而言，学生存在以下三种表现：一是不能选择恰当的符号进行数学表征，对于圆柱与圆锥的体积、面积公式容易混淆；二是能选择单一的数学符号进行数学表征，但是在计算圆柱的底面积时很容易将半径机械地理解成面积；三是能够选择一种可行的数学符号表征并能够根据需要及时替换，在圆柱与圆锥的体积、面积之间灵活地相互转化，理解数学符号表征的多样化。
在教学“圆柱与圆锥的复习”时，对等体积等底的圆柱和圆锥而言，经过数学表征与思考，我们不难得出结论：h锥=3h柱。在“图形与几何”领域用符号表征数学要注意两点：一是学生用符号表达数学对象是一个由简单到复杂、由具体到抽象的过程，这个过程需要教师创设生动活泼的教学情境和循序渐进的教学铺垫为保障。二是数学符号的表达是多样化的，我们允许学生用关系式、表格、图像等不同方式表征，但多样化与最优化并不矛盾，我们要注重符号的生成性。
通过对数学符号的感知、数学符号的运算、数学符号的推理和数学符号的表征等方面的培养，学生符号意识的培养才会有扎实、有效的学习基础，学生才会形成良好的数学符号意识，最终促进核心素养的发展。
（作者单位：浙江省永嘉县瓯北第一小学）
□责任编辑 周瑜芽
E-mail：jxjyzyy@163.com
一、 在感知中了解符号的简洁性——数学符号感知
数学符号意识是一种数学核心素养，它既包括数学符号的知识与能力，还包括学生的综合思维能力。《数学课程标准》对第二学段“图形与几何”的课程内容做出了明确的界定：“结合具体情境，探索并掌握长方体、正方体、圆柱的体积和表面积以及圆锥体积的计算方法，并能解决简单的实际问题。”
朱立明、马云鹏在《数学符号意识”研究：内涵与维度》一文中认为：所谓“数学符号意识”，即学习者在思维（具体表现为数学思维）的引导下，对数学知识与数学符号之间抽象对应关系的一种积极主动的心理认知活动（内隐性），在通过数学符号的感知与理解、运算与推理、交流与表达等数学思考方式解决数学问题的过程中所表现出来的与数学符号相关的一种数学核心素养（外显性）。
在“图形与几何”复习课中，我们不能仅仅满足于数学知识与技能的重复练习，还应在数学基本活动经验的基础上深化学生的符号感知意识。数学符号的感知不仅包括对数学符号本身所特有的意义与内涵的理解，而且包括对数学符号的美学欣赏与了解其暗示功能。显然，圆柱的体积和表面积以及圆锥的体积公式的掌握是“圆柱与圆锥的复习”的一个重点，也是培养学生符号意识的一个很好的复习素材。在人教版“圆柱与圆锥的复习”中，我们注意到，六年级下册关于圆柱的体积是这样下定义的：圆柱的体积=底面积×高，而用数学符号表示就是“V=Sh”，圆柱的表面积=圆柱的侧面积+两个底面的面积，用数学符号表示就是“S表=S侧+2S底”。通过文字与符号的对比，使学生认识到用数学符号来表达圆柱与圆锥的面积、体积公式具有简洁性。这种核心素养一旦形成，对学生将来的发展会起积极作用。
二、 在推理中刻画符号的抽象性——数学符号推理
数学符号意识是学生必须发展的一种数学核心素养，需要学生的直觉力与洞察力，并不是通过教师教的方式获得的。朱立明、马云鹏在《数学符号意识”研究：内涵与维度》一文中认为，对于数学符号推理，学生主要表现为以下三个层次水平：其一，不能利用数学符号进行推理，逻辑思维没有条理性；其二，能够借助数学符号通过合情推理对结论进行猜想，或者通过演绎推理对问题进行论证，具备单一的推理思维；其三，可以通过合情推理得到结论并能够从一般的概念、公理出发，对所得结论利用演绎推理进行论证，具备“猜想—验证”推理思维。
在“图形与几何”复习时，让学生在推理过程中重新刻画符号的抽象性，是发展学生数学符号推理能力的重点。在教学“圆柱与圆锥的复习”时，我们通过展示圆柱体积公式的产生过程，清晰地刻画出学生的符号发展维度。圆柱的体积公式是运用了转化的思想，通过分割，拼成的立体图形越来越接近长方体，于是，圆柱的体积就转化成长方体的底面积乘以高。而长方体的底面积等于圆柱的底面积，长方体的高等于圆柱的高。于是，在这样的推理过程中，学生观察并刻画出转化前后各部分的对应关系，自然而然地推导出圆柱的体积公式。
三、 在运算中体验符号的精确性——数学符号运算
数学符号的运算是数学活动中最重要的基本形式，对学生数学符号意识的形成有着重要的推动作用。用字母表示“图形与几何”领域的公式并进行运算，是数学思维的集中体现。《数学课程标准》对数学思考提出了指导性意见：“建立数感、符号意识和空间观念，初步形成几何直观和运算能力，发展形象思维与抽象思维。”就“图形与几何”领域而言，我们应培养学生在具体的运算中体验到数学基本思想与基本活动经验，使学生认识到符号的精确性。
在“圆柱与圆锥的复习”中，笔者设计了以下教学流程：
1.情景创设：你们玩过橡皮泥吗？在玩的过程中有没有想到一些数学问题？
2.如上图，出示一块底面直径是2厘米、高是3厘米的圆柱形橡皮泥。
3.请大家根据给出的条件，充分发挥想象力，提出有创意的问题。
预设：（1）表面积计算。
（2）底面积计算。
（3）侧面积计算。
（4）一个底面和侧面的面积计算。
（5）纵切面增加的表面积计算。
（6）横切面增加的表面积计算。
（7）体积计算。
（8）削成等底等高的圆锥的体积计算。
（9）削成等底等高的圆锥后，削去部分的体积计算。
（10）将它捏成等底的圆锥，高是多少的计算。
（11）将它捏成等高的圆锥，底面是多少的计算。
……
4.选择问题解决。
显然，这样的复习题极具创新性、整合性，学生在数学运算过程中体验到数学符号的精确性，学生的符号意识得到较好的培养。
四、 在表征中彰显符号的生成性——数学符号表征
发展符号意识最重要的是从数学符号的角度进行数学表征。数学符号表征是一种理性的表现，可以使数学问题的解决呈现出一定的规律，提升有序思维。傅小兰、何海东指出：“正确的表征是解决问题的必要前提，在錯误的或不完整的问题空间中进行搜索，不可能求得问题的正确解。”我们在“图形与几何”教学实践中不难发现，学生对一些具体的“图形与几何”问题在解决过程中存在一定的差异，对于同一表征的不同时期也存在差异。小学生头脑中的表征系统存在着概念表征系统、命题表征系统、表象表征系统、图式表征系统等，这些不同的表征方式对于“图形与几何”领域数学问题的解决起着决定性作用。
数学符号表征的目标是使学生建立公式的技能，通过这些公式和表达式去表示数学的意义。在“图形与几何”复习中，学生的数学符号表征存在一些问题，就“圆柱与圆锥的复习”而言，学生存在以下三种表现：一是不能选择恰当的符号进行数学表征，对于圆柱与圆锥的体积、面积公式容易混淆；二是能选择单一的数学符号进行数学表征，但是在计算圆柱的底面积时很容易将半径机械地理解成面积；三是能够选择一种可行的数学符号表征并能够根据需要及时替换，在圆柱与圆锥的体积、面积之间灵活地相互转化，理解数学符号表征的多样化。
在教学“圆柱与圆锥的复习”时，对等体积等底的圆柱和圆锥而言，经过数学表征与思考，我们不难得出结论：h锥=3h柱。在“图形与几何”领域用符号表征数学要注意两点：一是学生用符号表达数学对象是一个由简单到复杂、由具体到抽象的过程，这个过程需要教师创设生动活泼的教学情境和循序渐进的教学铺垫为保障。二是数学符号的表达是多样化的，我们允许学生用关系式、表格、图像等不同方式表征，但多样化与最优化并不矛盾，我们要注重符号的生成性。
通过对数学符号的感知、数学符号的运算、数学符号的推理和数学符号的表征等方面的培养，学生符号意识的培养才会有扎实、有效的学习基础，学生才会形成良好的数学符号意识，最终促进核心素养的发展。
（作者单位：浙江省永嘉县瓯北第一小学）
□责任编辑 周瑜芽
E-mail：jxjyzyy@163.com