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前段时间，笔者有幸聆听蔡宏圣老师执教苏教版五下“认识方程”一课。蔡老师指出：“方程的定义不等于方程。”那么，对方程而言，定义是最重要的吗？比定义更重要的是什么？是对数学的感觉，还是对数学的理解和感悟？笔者思考教师不能仅仅满足于让学生根据方程外在形式定义去辨别方程，应引导学生从更深层次认识方程。
一、寻找感觉：用数学的眼光去观察
有时，学生知道某一概念，却未必真的对其有感觉。而学生一旦对所学概念有了感觉，认知水平就会达到较高层次。蔡老师认为，对于“先学后教”的课，教师需要有这样的警惕：学生貌似懂了，可能只是浅层次的懂，未必真正理解概念含义。整节课，他始终鼓励学生用数学眼光去观察、审视，寻找对方程的独特感觉。
【教学片段1】
师：什么是方程？
生：含有未知数的等式是方程。（教师板书）
师：怎样的等式是方程，你能举个例子吗？
生：x+50=200，2x=200。
师：判断是否是方程，要抓住什么？
生：要看是不是有未知数，是不是等式。
师：一年级学过这样的算式（ ）×3=12，这个是方程吗？理由是什么？
生：是的，理由是它有未知数，而且还是等式。
师：怪不得你们都懂了，原来你们一年级就接触了！
师：请看，y×4=8是方程吗？
生：是方程。
师：再看，x×3>50是方程吗？
生：不是方程，因为它不是等式。
【赏析】对于方程，学生会有怎样的感觉？显然，对数学的感觉主要基于经验。关于方程，学生并非一张白纸，他们有朦胧的感觉，教学的目的在于激发和提升这种感觉和体验。蔡老师的处理可谓与众不同。课伊始，他就单刀直入，让学生试着说出方程概念。学生正确表述后，蔡老师再让学生举出方程的例子。蔡老师还令学生说出判断方程的依据。然后蔡老师呈现了一年级填括号的例子，以及一些含有未知数的式子，让学生用数学眼光去观察和判断。丰富的例子，丰厚了学生对方程的体验。
二、简化形式：用数学的语言去记录
抽象、去情境是数学的本质特征。从某种意义上说，学习数学就是一个不断追求简洁的过程。方程并非凭空出现，它是一些生活情境的数学化表达。方程是用数学的方式，即用数、符号等，来记录事情。用数学语言去记录生活中相等的事例，凸显方程的本质。
【教学片段2】
出示天平图：左边是一粒橙子和一个50克的砝码，右边是150克的砝码。
师：你能说出这幅天平图的意思吗？
生：x+50=150。
师：看起来是一粒橙子加上50克等于150克，你们把它简化了，变成了什么？
生：x+50=150。
教师故意用文字写出题意：一粒橙子加上50克等于150克。
师：老师写了那么多文字，跟你们写的式子，有什么区别？
生：我们把橙子设为x。
生：我们用上了等于号，就是符号。
师：还用上了什么？
生：还用了数。
师：你们用数学语言写下来，就成了方程。方程是怎么来的？
生：是把我们的语言描述表达成了数学算式。
生：把一些未知数转化成了字母。
生：它是两边相等的。
师：不同的人看周围世界是不一样的，用数学的眼光去看，用数学的语言记录下来，方程就是其中之一。不同年龄可以写出不同样子的方程。
【赏析】仅用语言描述，可以把方程问题阐述清楚，但逻辑上容易出现混淆，而用数学符号来阐述就显得清晰易懂。史宁中教授指出，教学方程时，可先让学生用自然语言阐述事情，然后抽象成数学表达，最后用数学符号建立方程，并解决问题。事实上，强调用数学符号把要说的话（即两件等价事情）表达出来，这是方程的根本，是学生必须真正掌握的东西。蔡老师对此深有体会，出示情境后，通过文字描述和符号描述的对比，学生感受到了数学符号表达的简洁性。对学生而言，方程并不陌生，一年级的填括号（方格）开始，方程就一直在那里，只不过，随着抽象思维的发展，对方程表述的形式化程度愈高，表达方式也越有数学味。
三、凸显本质：用数学的思维去感悟
学习方程的意义在于：一是学习从生活中的错综复杂的事情中，将最本质的东西抽象出来，这个过程是非常难的，也很有训练的价值；二是在运算中遵循最佳的途径，将复杂的问题简单化，这种优化思想对于人的思维习惯的影响是深远的。
【教学片段3】
教师出示四个情境问题。
第1题：天平左边是3粒橘子，右边是180克砝码，天平向左倾斜。
第2题：天平左边是250克砝码，右边是一粒橘子和一粒苹果，天平平衡。
第3题：5个小杯和1个容量为300毫升的大杯合起来一共是800毫升。
第4题：一辆公共汽车上，原有乘客50名，中途又有12名乘客上车，现在车上共62名乘客。
师：你能看到方程吗？
生：题1不是方程，因为它是3x>180，不是等式。
生：题2是方程，x+y=250。
师：题3没天平，能写成方程吗？
生：方程是800-300=5x，要找出等量关系，才能写出算式。
师：是的，就像题1，没有等量关系，就没有等式。要找等量关系，就是找谁和谁是相等的。
师：题3还可以写成怎样的方程？
生：800-5x=300。
师：含有未知数就是未知数与数一起干活，形成等式，这才是我们要的方程。我们应该写怎样的方程？
生：应该把数和未知数写在一起。
师：不要写成以前算式的样子。
师：第4个问题是方程吗？为什么？
生：不是方程，因为没有未知数。
师：对，虽然有相等关系，但没有未知数，所以不能写出方程。
出示方程史话《为什么有方程》。
早在三千六百多年前，埃及人就会用方程来解决数学问题了。在我国古代，大约两千多年前成书的《九章算术》中，就记载了用一次方程解决实际问题的史料。一直到三百多年前，法国的数学家笛卡尔第一次倡议用x、y、z等字母来代表未知数，才形成了现在的方程。
【赏析】方程阐述了一个事实本身，一个没有经过任何加工的事实本身，方程说明两件事情是等价的，这正体现了建模思想。认识方程，应引导学生关注数量关系，体会方程的高度概括性和抽象性。就如4x=400这个方程可以记录的事件很多，但这些不同的事件却都可以用同一个方程来表示，正是因为不论是哪种事件，它们本质的数量关系是相同的。教师为学生打开了代数这一新视野，在代数世界里，未知数获得了与已知数一样的地位，可以平等地参与运算。这是方程的基本特质，也是学习方程的价值所在。
比定义更重要的是对数学的理解和感悟，是数学思维的应用和强化。学会抽象和概括，摒弃与数学无关的外在属性，只关注数学的本质属性，增强做事的运筹和逻辑的条理，这种数学思维的训练，这一数学素养的形成，对学生成为一个合格公民、适应日常生活以及进一步学习数学，都是至关重要的。
（作者单位：江苏省张家港市泗港小学 责任编辑：王彬）
一、寻找感觉：用数学的眼光去观察
有时，学生知道某一概念，却未必真的对其有感觉。而学生一旦对所学概念有了感觉，认知水平就会达到较高层次。蔡老师认为，对于“先学后教”的课，教师需要有这样的警惕：学生貌似懂了，可能只是浅层次的懂，未必真正理解概念含义。整节课，他始终鼓励学生用数学眼光去观察、审视，寻找对方程的独特感觉。
【教学片段1】
师：什么是方程？
生：含有未知数的等式是方程。（教师板书）
师：怎样的等式是方程，你能举个例子吗？
生：x+50=200，2x=200。
师：判断是否是方程，要抓住什么？
生：要看是不是有未知数，是不是等式。
师：一年级学过这样的算式（ ）×3=12，这个是方程吗？理由是什么？
生：是的，理由是它有未知数，而且还是等式。
师：怪不得你们都懂了，原来你们一年级就接触了！
师：请看，y×4=8是方程吗？
生：是方程。
师：再看，x×3>50是方程吗？
生：不是方程，因为它不是等式。
【赏析】对于方程，学生会有怎样的感觉？显然，对数学的感觉主要基于经验。关于方程，学生并非一张白纸，他们有朦胧的感觉，教学的目的在于激发和提升这种感觉和体验。蔡老师的处理可谓与众不同。课伊始，他就单刀直入，让学生试着说出方程概念。学生正确表述后，蔡老师再让学生举出方程的例子。蔡老师还令学生说出判断方程的依据。然后蔡老师呈现了一年级填括号的例子，以及一些含有未知数的式子，让学生用数学眼光去观察和判断。丰富的例子，丰厚了学生对方程的体验。
二、简化形式：用数学的语言去记录
抽象、去情境是数学的本质特征。从某种意义上说，学习数学就是一个不断追求简洁的过程。方程并非凭空出现，它是一些生活情境的数学化表达。方程是用数学的方式，即用数、符号等，来记录事情。用数学语言去记录生活中相等的事例，凸显方程的本质。
【教学片段2】
出示天平图：左边是一粒橙子和一个50克的砝码，右边是150克的砝码。
师：你能说出这幅天平图的意思吗？
生：x+50=150。
师：看起来是一粒橙子加上50克等于150克，你们把它简化了，变成了什么？
生：x+50=150。
教师故意用文字写出题意：一粒橙子加上50克等于150克。
师：老师写了那么多文字，跟你们写的式子，有什么区别？
生：我们把橙子设为x。
生：我们用上了等于号，就是符号。
师：还用上了什么？
生：还用了数。
师：你们用数学语言写下来，就成了方程。方程是怎么来的？
生：是把我们的语言描述表达成了数学算式。
生：把一些未知数转化成了字母。
生：它是两边相等的。
师：不同的人看周围世界是不一样的，用数学的眼光去看，用数学的语言记录下来，方程就是其中之一。不同年龄可以写出不同样子的方程。
【赏析】仅用语言描述，可以把方程问题阐述清楚，但逻辑上容易出现混淆，而用数学符号来阐述就显得清晰易懂。史宁中教授指出，教学方程时，可先让学生用自然语言阐述事情，然后抽象成数学表达，最后用数学符号建立方程，并解决问题。事实上，强调用数学符号把要说的话（即两件等价事情）表达出来，这是方程的根本，是学生必须真正掌握的东西。蔡老师对此深有体会，出示情境后，通过文字描述和符号描述的对比，学生感受到了数学符号表达的简洁性。对学生而言，方程并不陌生，一年级的填括号（方格）开始，方程就一直在那里，只不过，随着抽象思维的发展，对方程表述的形式化程度愈高，表达方式也越有数学味。
三、凸显本质：用数学的思维去感悟
学习方程的意义在于：一是学习从生活中的错综复杂的事情中，将最本质的东西抽象出来，这个过程是非常难的，也很有训练的价值；二是在运算中遵循最佳的途径，将复杂的问题简单化，这种优化思想对于人的思维习惯的影响是深远的。
【教学片段3】
教师出示四个情境问题。
第1题：天平左边是3粒橘子，右边是180克砝码，天平向左倾斜。
第2题：天平左边是250克砝码，右边是一粒橘子和一粒苹果，天平平衡。
第3题：5个小杯和1个容量为300毫升的大杯合起来一共是800毫升。
第4题：一辆公共汽车上，原有乘客50名，中途又有12名乘客上车，现在车上共62名乘客。
师：你能看到方程吗？
生：题1不是方程，因为它是3x>180，不是等式。
生：题2是方程，x+y=250。
师：题3没天平，能写成方程吗？
生：方程是800-300=5x，要找出等量关系，才能写出算式。
师：是的，就像题1，没有等量关系，就没有等式。要找等量关系，就是找谁和谁是相等的。
师：题3还可以写成怎样的方程？
生：800-5x=300。
师：含有未知数就是未知数与数一起干活，形成等式，这才是我们要的方程。我们应该写怎样的方程？
生：应该把数和未知数写在一起。
师：不要写成以前算式的样子。
师：第4个问题是方程吗？为什么？
生：不是方程，因为没有未知数。
师：对，虽然有相等关系，但没有未知数，所以不能写出方程。
出示方程史话《为什么有方程》。
早在三千六百多年前，埃及人就会用方程来解决数学问题了。在我国古代，大约两千多年前成书的《九章算术》中，就记载了用一次方程解决实际问题的史料。一直到三百多年前，法国的数学家笛卡尔第一次倡议用x、y、z等字母来代表未知数，才形成了现在的方程。
【赏析】方程阐述了一个事实本身，一个没有经过任何加工的事实本身，方程说明两件事情是等价的，这正体现了建模思想。认识方程，应引导学生关注数量关系，体会方程的高度概括性和抽象性。就如4x=400这个方程可以记录的事件很多，但这些不同的事件却都可以用同一个方程来表示，正是因为不论是哪种事件，它们本质的数量关系是相同的。教师为学生打开了代数这一新视野，在代数世界里，未知数获得了与已知数一样的地位，可以平等地参与运算。这是方程的基本特质，也是学习方程的价值所在。
比定义更重要的是对数学的理解和感悟，是数学思维的应用和强化。学会抽象和概括，摒弃与数学无关的外在属性，只关注数学的本质属性，增强做事的运筹和逻辑的条理，这种数学思维的训练，这一数学素养的形成，对学生成为一个合格公民、适应日常生活以及进一步学习数学，都是至关重要的。
（作者单位：江苏省张家港市泗港小学 责任编辑：王彬）