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不少一年级老师反映,人教版实验教材一下第21页练习四第2题不少学生对“我写了7个,还要写()个”能顺利列式解决,而对“我还要写6个字,你猜我写了几个?”存在读取信息和列式作答的困难:找不到相关信息,一时无法对信息“每人写15个大字”进行第二次调用;知道结果却无法正确用算式表述,如列式为“15-9=6”。这里面固然有学生有意观察能力尚弱,不能从图文两个视角去搜寻信息的因素,更多则是暴露出学生对部总关系减法问题的一般结构没有形成,对“什么是总数”“什么是部分”“部总之间存在怎样的关系”不明晰。而对这种部总关系的明确度、问题结构的感悟度直接影响着此类问题解决的正确程度,同时也是一步计算差比关系和加减两步计算问题的重要基石。为此,切实把握好部总关系减法问题的起始教学显得至关重要。那么,造成上述现象的成因究竟有哪些?我们又该如何把握部总关系减法问题的起始教学呢?本文试从教材体系编排和教学常态观测进行分析,并提出一些改进性策略。
一、成因分析
学生对问题结构的感悟是一个渐进过程,以部总关系减法问题的正式教学为界,我们将其划分为三个阶段,对各阶段观测到的一般教学形态进行简要描述与分析。
1.初步感知阶段
追溯到一年级上册,从“加减法”含义教学,学生第一时间接触到了部总关系问题。教材从“6、7认识和加减法”的“一图两式”到“8、9认识和加减法”的“一图四式”,无不提供着部分与总数两者关系的直观印象。然而,此时的教学,教师关注的视点主要集中于“如何提高数的组成和相关加减计算(列式及结果)的速成度”,学生也更多停留在“一图四式”中算式数字切换的经验积累上。一旦熟练,学生甚至完全抛开了这些直观图。如,当从图示中解读出“3 5=8”时,许多学生会进入一种切换算式的自动状态,快速写出“8-5=3、8-3=5”减法算式,至于这两道减法算式相应的图意则未作解读或深究,无形中削弱了学生对部分与总数之间关系的直观感知。
2.解决问题正式教学阶段
一上教材第47页“用数学”是学生第一次感受解决问题的结构,承载着“标准式”部总减法问题结构的认识与勾勒。这里“标准式”问题结构理应让学生对其达成两个层面的认识:一是认识到一般问题结构由两条信息和一个问题组成;二是明确信息和问题的指向对象(两条信息中一条指向总数,一条指向部分,问题则指向另一部分)。而在实际教学中发现,许多教师教学的重心主要让学生区分了某一图示是采用加法列式还是减法列式,有的甚至步入图示标志性经验灌输(如问号在大括号下面用加法计算,问号在两旁用减法计算),而对问题结构的一般“模型”和总数、部分名称以及它们之间的数量关系点拨揭示很少触及甚至忽略不计。显然,这种急功近利的做法是不利于部总关系减法问题结构的认识与形成的。
3.“变式”拓伸教学阶段
相对上册部总关系减法问题结构的“标准式”而言,下册呈现着“变式”的拓伸。这种拓伸主要体现在:(1)信息、问题呈现形式上由单一图示到图文结合;(2)问题结构从完整式到以提出问题为代表的补充式;(3)从一图一问题到一图多问题的内容扩充;(4)从信息对应性提取到一条信息的两次调用等。无疑,这些拓伸对学生搜寻相关信息、梳理解读信息、正确列式作答的要求更高了。
由此可见,刚才提及的问题是由各阶段堆积而成,绝非一两课时可以消释,它有赖于教师对部总关系减法问题结构教学的整体脉络作出系统解读与整体布控,即在各个阶段教学中除了落实好本阶段的教学任务外,还应顾及其在部总关系结构形成中所处的地位与作用,有所侧重进行把握。而巧抓变换,感悟结构则是整体把握的有效路径。
二、建议策略
1.词汇变换
实践表明,无论是初步感知阶段还是正式教学阶段,都要加强图意的识别与表述。由于刚入学的一年级学生词汇积累是不丰富的,在图意叙述时有必要引导学生从多角度、多词汇进行描绘,否则学生对减法问题结构就会陷入“总共有……去掉……还剩……”词汇单一、思维定势的局面。
比如,在“6的认识和加减法”一课教学“减法问题”时,借助“一图四式”的直观图,组织学生进行多元化的图意表述。在学生表述出“一共有6朵花,拿走2朵,还剩几朵”基础上,还要引导学生从“方位视角”(“一共有6朵花,左边有2朵,右边有几朵?”)、“色彩视角”(“红花和黄花一共有6朵,黄花有2朵,红花有几朵?”)进行词汇变换训练,然后进行归纳小结,使学生意识到尽管这些词汇描述不同,但图意本质是相通的,都是从总数中去掉一部分,求另一部分。
只有借助直观图和词汇变换,才能促使学生置身于不同语境和情景,充分感知问题原型的丰富性,继而进行适度抽象出“总数”“部分”术语并初步建立“总数-部分=另一部分”的数量关系,从而对部总关系减法问题有一个初步完整的认识。
2.条件变换
相对而言,学生对诸如“总数-用去=剩下”顺向的部总关系的建立,较之“总数-剩下=用去”逆向的部总关系要牢固得多。像文初“每人写15个大字,我还要写6个字,你猜我写了几个”,部分学生列式为“15-9=6”。这部分学生其实对部总关系减法问题结构是有感悟的,但对部分量的变换不够明确,仍按照顺向的部总关系进行思维。究其原因,症结主要在于第二阶段“用数学”教学减法问题时,对比性的条件变换训练没有及时跟进,产生一种思维定势,让顺向的部总关系减法问题占据了其对整个结构的认识与感知。
如一上教材第47页主题图教学时,教师一般只要求学生表述出“原来有7个向日葵,收走3个,还剩多少”?得出“7-3=4”来完成顺向的部总关系减法问题结构的构建。由于一上相关内容呈现的条件问题都是形如“已知总数和用去部分,求剩余部分”,这种单一的图示训练很容易造成学生先入为主的定势效应——认为部总关系的减法问题结构模型就是“总数-用去=剩下”,而对一下内容呈现的“已知总数和剩余部分,求用去部分”逆向部总关系一时无法适应,仍按照原先的顺向结构进行解析。因此,在上册教学时就可以考虑从逆向的部总关系减法问题上切入。如当完成主题图教学后,出示对比图(原来有7个向日葵,剩下4个,收走多少个?)让学生来复述图意,并对两图进行比较,围绕“为什么也用减法算”?“为什么用算式7-4=3而不用7-3=4来表示?”“与图3相比有哪些相同和不同的地方”展开讨论,学生对“摘走的”“剩下的”都是总数中的一部分、解答得出的结果是表示已知部分还是未知部分逐渐得以清晰起来。与单一的顺向部总关系减法问题教学相比,虽然这种条件对比训练会给学生思维带来一定冲突,而这恰恰正是教学的突破点,通过辨析让学生对部总关系顺逆向两种情形有个完整的认识,并对“部分量”含义也随之提前认识到位。
3.结构变换
如果说通过前面的词汇变换和条件变换使学生顺利建立起部总关系减法问题结构的话,此时建立的结构模型应该属于一种“标准状态”。要提高学生对信息和问题解读分析的能力,还得通过结构变换的训练让学生置身于“非标准状态”下的问题情境,促发学生把相关、对应的信息与问题进行链接。
这种“非标准状态”主要是打破“两条信息 一个问题”的范式结构,从多信息、一题多问的结构形式中感受信息与问题的匹配性,提高选择相关信息的能力。例如:
(1)小红看一本15页的书,上午看了6页,下午看了4页。上午看了后,还剩多少页?看了一天后,还剩多少页?
(2)王奶奶养了一些鸡和鸭,一共35只。鸡有20只,鸭有多少只?公鸡有8只,母鸡有多少只?
这里不仅牵涉到总数、部分量的变换,还渗入了部总指向归类思考:如题(1)中都是求“还剩多少页”同一问题,而总数指向发生了变化;题(2)“鸭有多少只”要从“鸡鸭总数”中剥离出“部总关系”,而“母鸡有多少只”则要从“鸡的只数”中剥离出“部总关系”。无疑,这些变式训练对学生的归类意识和择取信息能力提出了更高要求,如问题的总数是哪部分,它由哪几部分组成,根据问题该选择哪些对应性信息等等。
最后需要指出的是,词汇变换、条件变换、结构变换都是一种阶段性外部行为,增进学生对部总关系减法问题结构的渐进性感悟并实现自我内化,才是“抓变换、悟结构”教学策略的最终目的。
一、成因分析
学生对问题结构的感悟是一个渐进过程,以部总关系减法问题的正式教学为界,我们将其划分为三个阶段,对各阶段观测到的一般教学形态进行简要描述与分析。
1.初步感知阶段
追溯到一年级上册,从“加减法”含义教学,学生第一时间接触到了部总关系问题。教材从“6、7认识和加减法”的“一图两式”到“8、9认识和加减法”的“一图四式”,无不提供着部分与总数两者关系的直观印象。然而,此时的教学,教师关注的视点主要集中于“如何提高数的组成和相关加减计算(列式及结果)的速成度”,学生也更多停留在“一图四式”中算式数字切换的经验积累上。一旦熟练,学生甚至完全抛开了这些直观图。如,当从图示中解读出“3 5=8”时,许多学生会进入一种切换算式的自动状态,快速写出“8-5=3、8-3=5”减法算式,至于这两道减法算式相应的图意则未作解读或深究,无形中削弱了学生对部分与总数之间关系的直观感知。
2.解决问题正式教学阶段
一上教材第47页“用数学”是学生第一次感受解决问题的结构,承载着“标准式”部总减法问题结构的认识与勾勒。这里“标准式”问题结构理应让学生对其达成两个层面的认识:一是认识到一般问题结构由两条信息和一个问题组成;二是明确信息和问题的指向对象(两条信息中一条指向总数,一条指向部分,问题则指向另一部分)。而在实际教学中发现,许多教师教学的重心主要让学生区分了某一图示是采用加法列式还是减法列式,有的甚至步入图示标志性经验灌输(如问号在大括号下面用加法计算,问号在两旁用减法计算),而对问题结构的一般“模型”和总数、部分名称以及它们之间的数量关系点拨揭示很少触及甚至忽略不计。显然,这种急功近利的做法是不利于部总关系减法问题结构的认识与形成的。
3.“变式”拓伸教学阶段
相对上册部总关系减法问题结构的“标准式”而言,下册呈现着“变式”的拓伸。这种拓伸主要体现在:(1)信息、问题呈现形式上由单一图示到图文结合;(2)问题结构从完整式到以提出问题为代表的补充式;(3)从一图一问题到一图多问题的内容扩充;(4)从信息对应性提取到一条信息的两次调用等。无疑,这些拓伸对学生搜寻相关信息、梳理解读信息、正确列式作答的要求更高了。
由此可见,刚才提及的问题是由各阶段堆积而成,绝非一两课时可以消释,它有赖于教师对部总关系减法问题结构教学的整体脉络作出系统解读与整体布控,即在各个阶段教学中除了落实好本阶段的教学任务外,还应顾及其在部总关系结构形成中所处的地位与作用,有所侧重进行把握。而巧抓变换,感悟结构则是整体把握的有效路径。
二、建议策略
1.词汇变换
实践表明,无论是初步感知阶段还是正式教学阶段,都要加强图意的识别与表述。由于刚入学的一年级学生词汇积累是不丰富的,在图意叙述时有必要引导学生从多角度、多词汇进行描绘,否则学生对减法问题结构就会陷入“总共有……去掉……还剩……”词汇单一、思维定势的局面。
比如,在“6的认识和加减法”一课教学“减法问题”时,借助“一图四式”的直观图,组织学生进行多元化的图意表述。在学生表述出“一共有6朵花,拿走2朵,还剩几朵”基础上,还要引导学生从“方位视角”(“一共有6朵花,左边有2朵,右边有几朵?”)、“色彩视角”(“红花和黄花一共有6朵,黄花有2朵,红花有几朵?”)进行词汇变换训练,然后进行归纳小结,使学生意识到尽管这些词汇描述不同,但图意本质是相通的,都是从总数中去掉一部分,求另一部分。
只有借助直观图和词汇变换,才能促使学生置身于不同语境和情景,充分感知问题原型的丰富性,继而进行适度抽象出“总数”“部分”术语并初步建立“总数-部分=另一部分”的数量关系,从而对部总关系减法问题有一个初步完整的认识。
2.条件变换
相对而言,学生对诸如“总数-用去=剩下”顺向的部总关系的建立,较之“总数-剩下=用去”逆向的部总关系要牢固得多。像文初“每人写15个大字,我还要写6个字,你猜我写了几个”,部分学生列式为“15-9=6”。这部分学生其实对部总关系减法问题结构是有感悟的,但对部分量的变换不够明确,仍按照顺向的部总关系进行思维。究其原因,症结主要在于第二阶段“用数学”教学减法问题时,对比性的条件变换训练没有及时跟进,产生一种思维定势,让顺向的部总关系减法问题占据了其对整个结构的认识与感知。
如一上教材第47页主题图教学时,教师一般只要求学生表述出“原来有7个向日葵,收走3个,还剩多少”?得出“7-3=4”来完成顺向的部总关系减法问题结构的构建。由于一上相关内容呈现的条件问题都是形如“已知总数和用去部分,求剩余部分”,这种单一的图示训练很容易造成学生先入为主的定势效应——认为部总关系的减法问题结构模型就是“总数-用去=剩下”,而对一下内容呈现的“已知总数和剩余部分,求用去部分”逆向部总关系一时无法适应,仍按照原先的顺向结构进行解析。因此,在上册教学时就可以考虑从逆向的部总关系减法问题上切入。如当完成主题图教学后,出示对比图(原来有7个向日葵,剩下4个,收走多少个?)让学生来复述图意,并对两图进行比较,围绕“为什么也用减法算”?“为什么用算式7-4=3而不用7-3=4来表示?”“与图3相比有哪些相同和不同的地方”展开讨论,学生对“摘走的”“剩下的”都是总数中的一部分、解答得出的结果是表示已知部分还是未知部分逐渐得以清晰起来。与单一的顺向部总关系减法问题教学相比,虽然这种条件对比训练会给学生思维带来一定冲突,而这恰恰正是教学的突破点,通过辨析让学生对部总关系顺逆向两种情形有个完整的认识,并对“部分量”含义也随之提前认识到位。
3.结构变换
如果说通过前面的词汇变换和条件变换使学生顺利建立起部总关系减法问题结构的话,此时建立的结构模型应该属于一种“标准状态”。要提高学生对信息和问题解读分析的能力,还得通过结构变换的训练让学生置身于“非标准状态”下的问题情境,促发学生把相关、对应的信息与问题进行链接。
这种“非标准状态”主要是打破“两条信息 一个问题”的范式结构,从多信息、一题多问的结构形式中感受信息与问题的匹配性,提高选择相关信息的能力。例如:
(1)小红看一本15页的书,上午看了6页,下午看了4页。上午看了后,还剩多少页?看了一天后,还剩多少页?
(2)王奶奶养了一些鸡和鸭,一共35只。鸡有20只,鸭有多少只?公鸡有8只,母鸡有多少只?
这里不仅牵涉到总数、部分量的变换,还渗入了部总指向归类思考:如题(1)中都是求“还剩多少页”同一问题,而总数指向发生了变化;题(2)“鸭有多少只”要从“鸡鸭总数”中剥离出“部总关系”,而“母鸡有多少只”则要从“鸡的只数”中剥离出“部总关系”。无疑,这些变式训练对学生的归类意识和择取信息能力提出了更高要求,如问题的总数是哪部分,它由哪几部分组成,根据问题该选择哪些对应性信息等等。
最后需要指出的是,词汇变换、条件变换、结构变换都是一种阶段性外部行为,增进学生对部总关系减法问题结构的渐进性感悟并实现自我内化,才是“抓变换、悟结构”教学策略的最终目的。