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【摘 要】第13届国际数学教育大会（ICME-13）把概率教与学作为重要议题之一。基于ICME-13的文献与报告，综述了概率教与学的研究进展。（1）数学教师对概率教学的态度较好，相比之下，对概率内在知识的兴趣稍低。职初教师对概率知识的理解较差；（2）小学生对事件随机性的理解非常好。基于此，结合我国的具体情况，提出教师教学的建议和学生学习的建议。
【关键词】概率教与学；随机性；数学理解；学生认知
概率的教与学是当前我国数学教育的重要内容之一。2016年第13届国际数学教育大会（ICME-13）在德国汉堡召开，可以说，这是国际数学教育最高水平的会议。而“概率统计的教与学”是其中的一个专题。国际数学教育的同人们研究了哪些小学概率统计教与学的问题，在这些方面有哪些新的进展，这些进展对我们的教与学有哪些启示？基于ICME-13会议中关于概率教与学的文献与报告，进行了综述与分析，以期对我国小学概率与统计的教学提供借鉴。
“概率统计的教与学”专题研究小组（TSG14）给参与讨论的研究人员提供了一个讨论概率教与学问题的平台，包括教师的教和学生的学。该专题主要包括以下三个方面：（1）小学教师对概率知识的理解情况与教学态度；（2）学生对随机性的理解现状；（3）在教师的教与学生的学两方面上提出相对应的建议。
（一）关注教师对概率教学的态度
在教育心理学中，教师对概率及其教学的态度通常是很难直接观察到的。Assumpta Estrada等人分析了教师对概率及其教学态度的构成成分，设计了一个教师态度的问卷，用于衡量小学教师对概率的认识及其教学的态度。教师的态度由七个成分组成，其中，问卷的每个题目都与相应的态度成分相对应。而且所有这些选项都由5到7个毕业生验证过，因此，该问卷具有良好的可靠性。在实验中，参与的教师需要根据李克特量表对所有项目（从1分——非常不同意，到5分——非常同意）进行打分。调查结果如表1所示。
解决以上问题所需的知识大多数是在西班牙小学的最后一年或中学的第一年学习的。
实验结果并不樂观。定量定性分析显示，对于问题a，仅有20.4%的参与者给出了正确的反应，14%的职初教师没有反应。这些结果比Fischbein和Gazit观察到的44%要少得多。对于问题b，54.1%的职初教师给出了正确的估计（10或351）。但值得注意的是，仍有28.7%没有反应；仅有17%的职初教师正确地回答了这两个问题。
访谈发现，其采用的策略分类如下：
（2）添加策略。例如，对于问题a，池塘中鱼的总数等于鱼样本（250条鱼）和最初放在池塘里的鱼（200条标记的鱼）组成，所以两者相加，减去交叉的鱼数就是池塘中鱼的总数，即250 200[-]25=425（条）。值得注意的是，在实验中，对于问题a，竟有35.2%的职初教师采用该策略。
（3）其他策略。显然，只有第一种比例推理策略才可能是正确的（上述对于问题b的解决方法是错误的），这也是浙教版初中数学教材上常见的策略。研究人员得出结论：职初教师的概率知识水平低，对采样估计、样本容量和总体等知识间存在混淆；对比例推理也有错误的直觉；这可能也常见于西班牙的职初教师。推广开来，我国的数学职初教师可能也存在同样的问题。
（三）优化概率教学
英国的Bryant等人汇报了一项关于如何教9～10岁学生随机性的实验。他们将3所学校的75个学生随机分成3组，即实验组、数字组和对照组。实验组教随机性方面的知识；数字组学习有符号的数，不学习任何随机性与概率的知识；对照组不进行任何干预。在实验开始前，给所有学生进行了前测，在实验之后，进行了即时后测与延迟后测。
对实验组的随机性知识教学主要分为五个环节。
第一环节主要是让学生体验随机性。随机给学生不同的家庭角色牌，按照相同的顺序进行排列——爸爸、妈妈、小朋友等。先让学生自定义牌的排列顺序，进行一次练习后（确保学生熟悉规则），再让学生分别回答从洗过牌和未洗过牌的两堆中，翻看第一张牌，回答在下一张牌中各个角色的可能性。
第二环节是先给2个学生每人2个筹码，其中一个人可以再拿1或2个筹码，让另一个人猜同伴手中的总筹码数是奇数还是偶数。
第三环节主要是让学生进行抛硬币和掷骰子游戏，反复投掷骰子，并记录每次投掷的结果。最后进行统计与分析，体验事件的频率与概率的关系。 第四环节是教师引导学生学会区分不太可能但还是可能发生的事件与不可能事件。例如，组织学生讨论事件“用玻璃能够造雨伞”和“用空气能够造雨伞”会不会发生。其中，制作玻璃伞是不太可能但还是有可能发生的事件，制作空气伞则是不可能事件。
最后一个环节的教学内容是在一个袋子中放两种不同颜色的弹珠，摸出一个后，放回与不放回，讨论下一次摸出弹珠的颜色。
教学干预前后，对学生进行测试，测试问题采用的是Chiesi和Primi设计的问题。虽然前测时，对照组的学生平均成绩高于实验组。但是后测表明，不管是即时后测还是延迟后测，实验组学生的成绩均高于对照组，如表2所示。
实验结果表明，对于摸球实验，9～10岁的小学生能初步感知事件的随机性；能够判断在不同的初始条件下，事件发生的可能性大小；初步理解放回与不放回对结果的影响。总的来说，大多数9～10岁的学生对随机序列中连续事件的独立性也有很好的理解。
（一）给教师的教学建议
对于随机性的教学，教师可以设计多样的游戏或情境来辅助教学。例如，一开始的情境可以先让学生体验事件的随机性；接着对游戏或情境补充数据，扩展学生对随机序列的理解；然后，慢慢地对学生提高要求，感受事件的可能性大小，體会频率与概率的区别等；最后，可利用摸球游戏，初步领悟放回和不放回小球对结果的影响。
另外，Gómez-Torres等人在概率和抽样知识教学上，也给出了以下建议。首先，教师可利用一些小程序进行模拟活动使得情境更加具体化；其次，教师要引导学生列出用于解决每个问题的概念和属性，并且在解决每个问题时要清楚学生可能存在的困难。学生可能会考虑到事件的随机性，但是不可能对总体进行准确预测；接着，在活动结束之后，教师可以写一个教学活动的总结，包括每个问题的正确和不正确的答案，模拟活动的总结和教学分析。这种做法有助于教师对后续概率和抽样知识的教学。
（二）给学生的学习建议
对于学生的学，一方面，教师讲授概率内容的直观性会影响学生对概率概念、公式的理解。所以教师需要从不同角度、不同方式进行多元表征，用多种数学语言表达同一个概念和公式，突出概念、公式的本质属性；另一方面，概率中的概念、公式众多、零散，并且多数概念表面上差异不明显，容易混淆，同时概念之间或多或少存在内在联系。这就要求学生不仅要善于用文字语言、图像语言和符号语言对概率知识进行表征，而且要善于对概念、公式进行比较、归纳和概括，形成清晰的网络图示或知识网络。
为了促进自己对概率问题的理解能力，学生也可经常反思。比如在概念学习中，一般可提以下问题：这个概念老师设计了什么情境引入？我能用自己的语言进行概括吗？这个题目中哪些是关键字？要特别注意什么？在运用这个概率公式时可能容易忽略什么而出现错误？这个题目要求的是什么？与已经学过的哪个概念有点相似，易混淆，它们的区别是什么？怎样区分这两个概念？等等。
[1]Estrada，Batanero，Comas
【关键词】概率教与学；随机性；数学理解；学生认知
概率的教与学是当前我国数学教育的重要内容之一。2016年第13届国际数学教育大会（ICME-13）在德国汉堡召开，可以说，这是国际数学教育最高水平的会议。而“概率统计的教与学”是其中的一个专题。国际数学教育的同人们研究了哪些小学概率统计教与学的问题，在这些方面有哪些新的进展，这些进展对我们的教与学有哪些启示？基于ICME-13会议中关于概率教与学的文献与报告，进行了综述与分析，以期对我国小学概率与统计的教学提供借鉴。
“概率统计的教与学”专题研究小组（TSG14）给参与讨论的研究人员提供了一个讨论概率教与学问题的平台，包括教师的教和学生的学。该专题主要包括以下三个方面：（1）小学教师对概率知识的理解情况与教学态度；（2）学生对随机性的理解现状；（3）在教师的教与学生的学两方面上提出相对应的建议。
一、关注教学态度，重视概念理解，优化概率教学
（一）关注教师对概率教学的态度
在教育心理学中，教师对概率及其教学的态度通常是很难直接观察到的。Assumpta Estrada等人分析了教师对概率及其教学态度的构成成分，设计了一个教师态度的问卷，用于衡量小学教师对概率的认识及其教学的态度。教师的态度由七个成分组成，其中，问卷的每个题目都与相应的态度成分相对应。而且所有这些选项都由5到7个毕业生验证过，因此，该问卷具有良好的可靠性。在实验中，参与的教师需要根据李克特量表对所有项目（从1分——非常不同意，到5分——非常同意）进行打分。调查结果如表1所示。
解决以上问题所需的知识大多数是在西班牙小学的最后一年或中学的第一年学习的。
实验结果并不樂观。定量定性分析显示，对于问题a，仅有20.4%的参与者给出了正确的反应，14%的职初教师没有反应。这些结果比Fischbein和Gazit观察到的44%要少得多。对于问题b，54.1%的职初教师给出了正确的估计（10或351）。但值得注意的是，仍有28.7%没有反应；仅有17%的职初教师正确地回答了这两个问题。
访谈发现，其采用的策略分类如下：
（2）添加策略。例如，对于问题a，池塘中鱼的总数等于鱼样本（250条鱼）和最初放在池塘里的鱼（200条标记的鱼）组成，所以两者相加，减去交叉的鱼数就是池塘中鱼的总数，即250 200[-]25=425（条）。值得注意的是，在实验中，对于问题a，竟有35.2%的职初教师采用该策略。
（3）其他策略。显然，只有第一种比例推理策略才可能是正确的（上述对于问题b的解决方法是错误的），这也是浙教版初中数学教材上常见的策略。研究人员得出结论：职初教师的概率知识水平低，对采样估计、样本容量和总体等知识间存在混淆；对比例推理也有错误的直觉；这可能也常见于西班牙的职初教师。推广开来，我国的数学职初教师可能也存在同样的问题。
（三）优化概率教学
英国的Bryant等人汇报了一项关于如何教9～10岁学生随机性的实验。他们将3所学校的75个学生随机分成3组，即实验组、数字组和对照组。实验组教随机性方面的知识；数字组学习有符号的数，不学习任何随机性与概率的知识；对照组不进行任何干预。在实验开始前，给所有学生进行了前测，在实验之后，进行了即时后测与延迟后测。
对实验组的随机性知识教学主要分为五个环节。
第一环节主要是让学生体验随机性。随机给学生不同的家庭角色牌，按照相同的顺序进行排列——爸爸、妈妈、小朋友等。先让学生自定义牌的排列顺序，进行一次练习后（确保学生熟悉规则），再让学生分别回答从洗过牌和未洗过牌的两堆中，翻看第一张牌，回答在下一张牌中各个角色的可能性。
第二环节是先给2个学生每人2个筹码，其中一个人可以再拿1或2个筹码，让另一个人猜同伴手中的总筹码数是奇数还是偶数。
第三环节主要是让学生进行抛硬币和掷骰子游戏，反复投掷骰子，并记录每次投掷的结果。最后进行统计与分析，体验事件的频率与概率的关系。 第四环节是教师引导学生学会区分不太可能但还是可能发生的事件与不可能事件。例如，组织学生讨论事件“用玻璃能够造雨伞”和“用空气能够造雨伞”会不会发生。其中，制作玻璃伞是不太可能但还是有可能发生的事件，制作空气伞则是不可能事件。
最后一个环节的教学内容是在一个袋子中放两种不同颜色的弹珠，摸出一个后，放回与不放回，讨论下一次摸出弹珠的颜色。
教学干预前后，对学生进行测试，测试问题采用的是Chiesi和Primi设计的问题。虽然前测时，对照组的学生平均成绩高于实验组。但是后测表明，不管是即时后测还是延迟后测，实验组学生的成绩均高于对照组，如表2所示。
实验结果表明，对于摸球实验，9～10岁的小学生能初步感知事件的随机性；能够判断在不同的初始条件下，事件发生的可能性大小；初步理解放回与不放回对结果的影响。总的来说，大多数9～10岁的学生对随机序列中连续事件的独立性也有很好的理解。
三、基于师生理解，开展概率教学
（一）给教师的教学建议
对于随机性的教学，教师可以设计多样的游戏或情境来辅助教学。例如，一开始的情境可以先让学生体验事件的随机性；接着对游戏或情境补充数据，扩展学生对随机序列的理解；然后，慢慢地对学生提高要求，感受事件的可能性大小，體会频率与概率的区别等；最后，可利用摸球游戏，初步领悟放回和不放回小球对结果的影响。
另外，Gómez-Torres等人在概率和抽样知识教学上，也给出了以下建议。首先，教师可利用一些小程序进行模拟活动使得情境更加具体化；其次，教师要引导学生列出用于解决每个问题的概念和属性，并且在解决每个问题时要清楚学生可能存在的困难。学生可能会考虑到事件的随机性，但是不可能对总体进行准确预测；接着，在活动结束之后，教师可以写一个教学活动的总结，包括每个问题的正确和不正确的答案，模拟活动的总结和教学分析。这种做法有助于教师对后续概率和抽样知识的教学。
（二）给学生的学习建议
对于学生的学，一方面，教师讲授概率内容的直观性会影响学生对概率概念、公式的理解。所以教师需要从不同角度、不同方式进行多元表征，用多种数学语言表达同一个概念和公式，突出概念、公式的本质属性；另一方面，概率中的概念、公式众多、零散，并且多数概念表面上差异不明显，容易混淆，同时概念之间或多或少存在内在联系。这就要求学生不仅要善于用文字语言、图像语言和符号语言对概率知识进行表征，而且要善于对概念、公式进行比较、归纳和概括，形成清晰的网络图示或知识网络。
为了促进自己对概率问题的理解能力，学生也可经常反思。比如在概念学习中，一般可提以下问题：这个概念老师设计了什么情境引入？我能用自己的语言进行概括吗？这个题目中哪些是关键字？要特别注意什么？在运用这个概率公式时可能容易忽略什么而出现错误？这个题目要求的是什么？与已经学过的哪个概念有点相似，易混淆，它们的区别是什么？怎样区分这两个概念？等等。
参考文献：
[1]Estrada，Batanero，Comas