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[摘 要]教师在开展教学之前，需要明確教材在教学中的重要性，认真研读教材。从分数的本质出发，解读知识之间的内在联系和教材编排的逻辑体系，引导学生认识分数的面积模型，理解分数的集合模型，感受分数的数线模型，为学生的进一步学习奠定基础。
[关键词]研读教材；分数的认识；有效策略
[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2018）11-0011-03
在区青年教师研讨班的一次教材研读活动中，我整理的内容是“分数与小数的认识及运算”，在整理的过程中发现，如果没有对教材进行充分的挖掘与深刻的研读，课堂教学再华丽也是徒然的。作为数学教师，如果没能在课堂上真正理解并呈现数学教学的本质，那么，教学设计越是精致，课堂实施越是完美，给学生带来的唯有更加严重的“南辕北辙”。秉着“对教材的挖掘再充分一些、再深刻一些”的原则，我对“分数的认识”的教学进行了深入的研究。
何谓分数？这是教师教学前首先要思考的问题。
分数概念就是起源于“分”，在表达平均分结果的时候，遇到了分的结果比1还要小的情况，这时候只用自然数显然是不够的，于是引进了分数，这时的分数是把一个物体平均分成若干份，表示这样的一份或几份，这就是分数的初步认识。后来分数扩展到可以把一个物体平均分，如果把一些物体、一个计量单位等看成一个整体，平均分后，其中的一份或者几份，可以用自然数来表示，但也可以理解为是这个整体的几分之一或几分之几。
至此，分数的概念就完整了，但这还没能体现引进分数的本质：分数是一个不同于自然数的新数，又与小数、百分数、比、除法和概率等概念有着紧密的联系。因此定义分数时，还可以再充分一点，再深刻一点，以a/b为例，至少可以从下列六种角度来讨论分数的意义。
（1）平均分：把单位“1”平均分成b份，再取出a份。例如：将一个蛋糕切成五等份，取出其中的三份。
（2）部分与全体的比较：全体为b时，a是b的部分。例如：“一块蛋糕的一半”或“三个苹果中的两个”。
（3）小数的另一种记法。例如：0.6=3/5。
（4）除法运算的结果：表示a除以b的商。例如：“5÷3”的结果是“5/3”。
（5）比的意义：两个自然数a和b，b≠0，把比值a/b叫作分数。例如：“一根6米的竿子”和“一根3米的竿子”的长度比为1/2。
（6）测量：用来测量一个不满一个单位量的量的数值问题。例如：1米和2米的中间到底有多长呢？结果是1又1/2米。
教学，需要一种智慧。我渴望拥有它，但它却总是与我若即若离，因为它不可言说、无以言传。然而，在对“分数的认识”的教材进行深刻研读后，我却有了新的领悟——教学的智慧在于对教材的把握。
1. 要联系自然数来初步认识分数
在“分数的初步认识”这一课中，学生第一次建立分数的概念。教材编排有以下特点：（1）由一个物体组成单位“1”。如一个月饼、一个纸片等。（2）只出现常见的分母比较小的分数（分母一般不超过10）。（3）只出现真分数以及分子分母相等的假分数。（4）不正式定义分数，只通过直观手段建立初步的分数概念。
考虑到学生的年龄特点和思维能力，教师不必对分数的本质挖掘过深，只要让学生理解分数的“面积模型”即可：三年级学生只要“知其然”，等到五年级再“知其所以然”。因此，课堂结构一般是：
（1）巧设生活情境，引出分数。
（2）借助整数经验，创造分数。
（3）在丰富的数学活动中深化认识，理解分数。
[案例1]情境与冲突
出示主题情境图（图略），并引导学生思考：
①把4个苹果平均分给2人，每人分得几个？
②把2瓶矿泉水平均分给2人，每人分得几瓶？
（结合学生的交流，教师揭示：每份分得同样多，数学上叫作“平均分”）
③把1个蛋糕平均分给2人，每人分得多少？
（学生在交流中自然得出“一半”）
④每人分得的苹果、矿泉水可以用以前学过的数来表示，那“一半”该用怎样的数来表示呢？
（学生交流各自的想法，教师结合学生的交流，揭示课题：认识分数）
“平均分”是初步认识分数的基础，在分配苹果、矿泉水和蛋糕的过程中，教师巧妙地唤醒了学生“平均分”的经验，为学生初步认识分数做好了铺垫。同时，随着问题的发展，学生的思维视角能从“自然数”中突围，实现了由自然数到分数的和谐过渡。
[案例2]探索与建构
（1）直观感知，初步认识
①引导：我们把蛋糕平均分成了几份？“一半”是其中的几份？
揭示：“一半”正好是2份中的1份，可以用1/2来表示。
②追问：这一份（指2份中的1份）是蛋糕的1/2，另一份（指2份中的另1份）呢？
小结：把一个蛋糕平均分成2份，每份都是它的1/2。
（2）动手操作，深化认识
①出示一张长方形纸，引导学生思考：怎样表示它的1/2呢？
②出示操作要求：先折一折，再把它的1/2涂上颜色。
③在学生表示出长方形纸的1/2后，组织学生交流各自的表示方法。
④深究：折法不同，涂色部分的形状也不同，为什么涂色部分都是长方形的1/2？
小结：不管怎样对折，只要平均分成2份，每份都是长方形的1/2。
（3）观察判断，拓展认识
出示如图1所示四个图形，引导学生思考：下列图形中，哪些图形的涂色部分可以用1/2表示？ 小结：只有把一个图形平均分成2份，每份才是這个图形的1/2。
教师在教学1/2时如此浓墨重彩、层层推进，其意图在于：这样认识1/2，学生便可以很好地建构分数的概念，从而形成较强的知识迁移能力，为自主认识其他的几分之一做好铺垫。在每一层次的教学中，教师让学生反复理解“把一个物体平均分成2份，每份就是这个物体的1/2”，这里的“2份”和“每份”都是学生已经熟识的自然数，能借助自然数帮助学生理解1/2，是教师对三年级学生思维水平有了准确把握。
2.分数的意义教学要从单位“1”的意义建构着手
“分数的意义”这一课的主要特点是：（1）单位“1”变成了一些物体；（2）正式定义分数，用规范化的数学语言建构分数的意义。
教学时，重点突出单位“1”的抽象性，通过建构分数的“面积模型”“集合模型”和“数线模型”，使学生理解单位“1”作为标准量和单位量的内涵；不仅要学生用形式化和规范化的数学语言表达对分数意义的认识，更应引导学生深入建构每一个具体分数的意义。课堂结构一般为：（1）回顾面积模型（一个物体）；（2）建立集合模型（一些物体）；（3）感受数线模型（分数的本质）；（4）深化对分数意义的理解。
[案例3] 分数的“面积模型”→“集合模型”
师（往学生面前一站）：认识张老师吗？能用自然数来表示张老师吗？
生1： 用“1”表示。（板书：1 ）
师：除了人以外，还有什么也可以用“1”来表示呢？
生2：一个班级也能用“1”来表示。
师：这时候的“1”和我们一年级的“1”一样吗？
生3：一年级的“1”表示的是一个代号，这时候的“1”是一个整体。
师：3个苹果能用“1”吗？怎么能让3个苹果看起来就是“1”？
生4：放在一个盘子里。
师：把3个苹果看作一个整体，就能看成“1”。
师：那6个、9个、18个苹果……也能看成“1”吗？
生5：能。
师：一旦把3个苹果看作“1”，那6个苹果应该看作几？
生6：2。3个苹果是“1”，6是2个“1”，就是“2”。
师（出示12个苹果）：有4个这样的“1”，就是几？
生7：4。
师：有5个这样的“1”，一共是几个苹果？
生8：15个。
师：3个苹果看成的“1”就成了一个计量单位。在数学上，可以称作单位“1”。
单位“1”的含义应建立在对“1”（面积模型）的理解上，因此教师由表示一个物体的自然数1引入，过渡到可以表示一些物体（集合模型）组成的整体的自然数“1”，“1”的内涵获得了一次重要的拓展和提升。那么如何帮助学生实现由“1”向单位“1”的实质性跨越？教师将学生置身于实际计量的数学活动中，让学生通过观察和比较认识到，无论把什么看作“1”，只要包括几个这样的“1”，就可以用“几”来表示，丰富了学生对单位“1”内涵的认识。
[案例4]建构分数的数线模型
师（在学生认识了3/4后，出示数轴）：你能在数轴上找到3/4吗？
生1：把0～1之间的线段平均分成4份，取其中的3份，就是3/4。
师（出示图2）：1/4和2/4都能在这上面找到位置。那2在哪里？
生2：把数轴延长，在2个“1”这么长的地方，就是2。
师：如果不满单位“1”，就用分数来表示，如果满了单位“1”，有几个单位“1” 就是几。
师（在学生认识了更多分数后）：认识了这些分数的含义，那它们在刚才的数轴上也能找到相应的位置吗？如果我们还是把0到1这一段看作单位“1”（出示图3），1/3又该如何表示呢？
生3：很简单！只要把它平均分成3份，再表示出这样的1份就行了。
师：既然1/3表示的就是0到这里的一段，有时我们就直接用这一个点（指第一个三等分点）来表示1/3。
师：既然这样，那2/5、5/8又分别在什么位置呢？在自己的作业纸上找一找、标一标。
三年级学习分数，是建立在面积模型（部分-整体）的维度上，但随着分数学习的不断深入，在五年级就应该让学生体会到分数的集合模型和数线模型，实现由分数的无量纲性到有量纲性转变。上述片段中，教师在学生认识3/4的同时，借助数轴这个载体，通过将3/4纳入数轴体系，使学生直观地认识到，和1、2、3等自然数一样，分数同样可以在数轴上找到相应的位置。随后教师又进一步引导学生认识1/3、2/5、5/8等分数，建构每一个分数的含义，在数轴上找到这些分数相应的位置，这是将分数的集合模型上升到数线模型，在抽象层面上建构起一般分数的意义。
苏轼曾语：“博观而约取，厚积而薄发。” 这句话对于数学教学同样适用。只有通过别人的实践和自己的亲身体验，去芜存精、去伪存真，才能获取有价值的知识。
1.博观而约取，领会知识内涵
教材研读要着眼于对文本内涵的挖掘，从而抓住知识的本质。张奠宙教授说过：“数学教学设计的核心是如何体现‘数学的本质’‘精中求简’‘返朴归真’，呈现数学特有的‘教育形态’，使得学生高效率、高质量地领会和体验数学的价值和魅力。” 因此，在教学之前，教师首先要明确教材在教学中的重要性，深入探究知识的本质。
2.厚积而薄发，发展深度课堂
教师在领会知识的内涵后，才能更好地梳理教学体系，把教材中零碎的数学知识进行归类，明确知识在体系中的地位，分析不同学段的教学要求，确定每节课的具体目标，并且落实到位。
教师用数学的魅力，轻轻地打开学生心灵的窗户，让学生可以洞察这门学科的奥秘。这一切，正是因为教师有了知识“博观”——对文本的多角度理解，课前“厚积”——能在不断变化的课堂情境中以不同的教法解读教材，学生才能自然地理解数学知识，感受数学思想方法，走向有深度的课堂。
综上所述，一名优秀教师的成长不是靠华丽的教学设计，而是得益于他们对教材的深刻解读。我们想要教得清楚，想要学生学得到位，就要在尊重与学习教材的基础上深入理解教材，弄清教材内容前后的联系，领会教材中每一个知识点呈现的意图，使学生获得更深、更广、更高效的知识。
（责编 金 铃）
[关键词]研读教材；分数的认识；有效策略
[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2018）11-0011-03
在区青年教师研讨班的一次教材研读活动中，我整理的内容是“分数与小数的认识及运算”，在整理的过程中发现，如果没有对教材进行充分的挖掘与深刻的研读，课堂教学再华丽也是徒然的。作为数学教师，如果没能在课堂上真正理解并呈现数学教学的本质，那么，教学设计越是精致，课堂实施越是完美，给学生带来的唯有更加严重的“南辕北辙”。秉着“对教材的挖掘再充分一些、再深刻一些”的原则，我对“分数的认识”的教学进行了深入的研究。
一、尽博观，积累厚识，探求分数本质
何谓分数？这是教师教学前首先要思考的问题。
分数概念就是起源于“分”，在表达平均分结果的时候，遇到了分的结果比1还要小的情况，这时候只用自然数显然是不够的，于是引进了分数，这时的分数是把一个物体平均分成若干份，表示这样的一份或几份，这就是分数的初步认识。后来分数扩展到可以把一个物体平均分，如果把一些物体、一个计量单位等看成一个整体，平均分后，其中的一份或者几份，可以用自然数来表示，但也可以理解为是这个整体的几分之一或几分之几。
至此，分数的概念就完整了，但这还没能体现引进分数的本质：分数是一个不同于自然数的新数，又与小数、百分数、比、除法和概率等概念有着紧密的联系。因此定义分数时，还可以再充分一点，再深刻一点，以a/b为例，至少可以从下列六种角度来讨论分数的意义。
（1）平均分：把单位“1”平均分成b份，再取出a份。例如：将一个蛋糕切成五等份，取出其中的三份。
（2）部分与全体的比较：全体为b时，a是b的部分。例如：“一块蛋糕的一半”或“三个苹果中的两个”。
（3）小数的另一种记法。例如：0.6=3/5。
（4）除法运算的结果：表示a除以b的商。例如：“5÷3”的结果是“5/3”。
（5）比的意义：两个自然数a和b，b≠0，把比值a/b叫作分数。例如：“一根6米的竿子”和“一根3米的竿子”的长度比为1/2。
（6）测量：用来测量一个不满一个单位量的量的数值问题。例如：1米和2米的中间到底有多长呢？结果是1又1/2米。
二、巧约取，小贴金泥，另辟教学蹊径
教学，需要一种智慧。我渴望拥有它，但它却总是与我若即若离，因为它不可言说、无以言传。然而，在对“分数的认识”的教材进行深刻研读后，我却有了新的领悟——教学的智慧在于对教材的把握。
1. 要联系自然数来初步认识分数
在“分数的初步认识”这一课中，学生第一次建立分数的概念。教材编排有以下特点：（1）由一个物体组成单位“1”。如一个月饼、一个纸片等。（2）只出现常见的分母比较小的分数（分母一般不超过10）。（3）只出现真分数以及分子分母相等的假分数。（4）不正式定义分数，只通过直观手段建立初步的分数概念。
考虑到学生的年龄特点和思维能力，教师不必对分数的本质挖掘过深，只要让学生理解分数的“面积模型”即可：三年级学生只要“知其然”，等到五年级再“知其所以然”。因此，课堂结构一般是：
（1）巧设生活情境，引出分数。
（2）借助整数经验，创造分数。
（3）在丰富的数学活动中深化认识，理解分数。
[案例1]情境与冲突
出示主题情境图（图略），并引导学生思考：
①把4个苹果平均分给2人，每人分得几个？
②把2瓶矿泉水平均分给2人，每人分得几瓶？
（结合学生的交流，教师揭示：每份分得同样多，数学上叫作“平均分”）
③把1个蛋糕平均分给2人，每人分得多少？
（学生在交流中自然得出“一半”）
④每人分得的苹果、矿泉水可以用以前学过的数来表示，那“一半”该用怎样的数来表示呢？
（学生交流各自的想法，教师结合学生的交流，揭示课题：认识分数）
“平均分”是初步认识分数的基础，在分配苹果、矿泉水和蛋糕的过程中，教师巧妙地唤醒了学生“平均分”的经验，为学生初步认识分数做好了铺垫。同时，随着问题的发展，学生的思维视角能从“自然数”中突围，实现了由自然数到分数的和谐过渡。
[案例2]探索与建构
（1）直观感知，初步认识
①引导：我们把蛋糕平均分成了几份？“一半”是其中的几份？
揭示：“一半”正好是2份中的1份，可以用1/2来表示。
②追问：这一份（指2份中的1份）是蛋糕的1/2，另一份（指2份中的另1份）呢？
小结：把一个蛋糕平均分成2份，每份都是它的1/2。
（2）动手操作，深化认识
①出示一张长方形纸，引导学生思考：怎样表示它的1/2呢？
②出示操作要求：先折一折，再把它的1/2涂上颜色。
③在学生表示出长方形纸的1/2后，组织学生交流各自的表示方法。
④深究：折法不同，涂色部分的形状也不同，为什么涂色部分都是长方形的1/2？
小结：不管怎样对折，只要平均分成2份，每份都是长方形的1/2。
（3）观察判断，拓展认识
出示如图1所示四个图形，引导学生思考：下列图形中，哪些图形的涂色部分可以用1/2表示？ 小结：只有把一个图形平均分成2份，每份才是這个图形的1/2。
教师在教学1/2时如此浓墨重彩、层层推进，其意图在于：这样认识1/2，学生便可以很好地建构分数的概念，从而形成较强的知识迁移能力，为自主认识其他的几分之一做好铺垫。在每一层次的教学中，教师让学生反复理解“把一个物体平均分成2份，每份就是这个物体的1/2”，这里的“2份”和“每份”都是学生已经熟识的自然数，能借助自然数帮助学生理解1/2，是教师对三年级学生思维水平有了准确把握。
2.分数的意义教学要从单位“1”的意义建构着手
“分数的意义”这一课的主要特点是：（1）单位“1”变成了一些物体；（2）正式定义分数，用规范化的数学语言建构分数的意义。
教学时，重点突出单位“1”的抽象性，通过建构分数的“面积模型”“集合模型”和“数线模型”，使学生理解单位“1”作为标准量和单位量的内涵；不仅要学生用形式化和规范化的数学语言表达对分数意义的认识，更应引导学生深入建构每一个具体分数的意义。课堂结构一般为：（1）回顾面积模型（一个物体）；（2）建立集合模型（一些物体）；（3）感受数线模型（分数的本质）；（4）深化对分数意义的理解。
[案例3] 分数的“面积模型”→“集合模型”
师（往学生面前一站）：认识张老师吗？能用自然数来表示张老师吗？
生1： 用“1”表示。（板书：1 ）
师：除了人以外，还有什么也可以用“1”来表示呢？
生2：一个班级也能用“1”来表示。
师：这时候的“1”和我们一年级的“1”一样吗？
生3：一年级的“1”表示的是一个代号，这时候的“1”是一个整体。
师：3个苹果能用“1”吗？怎么能让3个苹果看起来就是“1”？
生4：放在一个盘子里。
师：把3个苹果看作一个整体，就能看成“1”。
师：那6个、9个、18个苹果……也能看成“1”吗？
生5：能。
师：一旦把3个苹果看作“1”，那6个苹果应该看作几？
生6：2。3个苹果是“1”，6是2个“1”，就是“2”。
师（出示12个苹果）：有4个这样的“1”，就是几？
生7：4。
师：有5个这样的“1”，一共是几个苹果？
生8：15个。
师：3个苹果看成的“1”就成了一个计量单位。在数学上，可以称作单位“1”。
单位“1”的含义应建立在对“1”（面积模型）的理解上，因此教师由表示一个物体的自然数1引入，过渡到可以表示一些物体（集合模型）组成的整体的自然数“1”，“1”的内涵获得了一次重要的拓展和提升。那么如何帮助学生实现由“1”向单位“1”的实质性跨越？教师将学生置身于实际计量的数学活动中，让学生通过观察和比较认识到，无论把什么看作“1”，只要包括几个这样的“1”，就可以用“几”来表示，丰富了学生对单位“1”内涵的认识。
[案例4]建构分数的数线模型
师（在学生认识了3/4后，出示数轴）：你能在数轴上找到3/4吗？
生1：把0～1之间的线段平均分成4份，取其中的3份，就是3/4。
师（出示图2）：1/4和2/4都能在这上面找到位置。那2在哪里？
生2：把数轴延长，在2个“1”这么长的地方，就是2。
师：如果不满单位“1”，就用分数来表示，如果满了单位“1”，有几个单位“1” 就是几。
师（在学生认识了更多分数后）：认识了这些分数的含义，那它们在刚才的数轴上也能找到相应的位置吗？如果我们还是把0到1这一段看作单位“1”（出示图3），1/3又该如何表示呢？
生3：很简单！只要把它平均分成3份，再表示出这样的1份就行了。
师：既然1/3表示的就是0到这里的一段，有时我们就直接用这一个点（指第一个三等分点）来表示1/3。
师：既然这样，那2/5、5/8又分别在什么位置呢？在自己的作业纸上找一找、标一标。
三年级学习分数，是建立在面积模型（部分-整体）的维度上，但随着分数学习的不断深入，在五年级就应该让学生体会到分数的集合模型和数线模型，实现由分数的无量纲性到有量纲性转变。上述片段中，教师在学生认识3/4的同时，借助数轴这个载体，通过将3/4纳入数轴体系，使学生直观地认识到，和1、2、3等自然数一样，分数同样可以在数轴上找到相应的位置。随后教师又进一步引导学生认识1/3、2/5、5/8等分数，建构每一个分数的含义，在数轴上找到这些分数相应的位置，这是将分数的集合模型上升到数线模型，在抽象层面上建构起一般分数的意义。
三、细回味，满树幽香，教材研读味无穷
苏轼曾语：“博观而约取，厚积而薄发。” 这句话对于数学教学同样适用。只有通过别人的实践和自己的亲身体验，去芜存精、去伪存真，才能获取有价值的知识。
1.博观而约取，领会知识内涵
教材研读要着眼于对文本内涵的挖掘，从而抓住知识的本质。张奠宙教授说过：“数学教学设计的核心是如何体现‘数学的本质’‘精中求简’‘返朴归真’，呈现数学特有的‘教育形态’，使得学生高效率、高质量地领会和体验数学的价值和魅力。” 因此，在教学之前，教师首先要明确教材在教学中的重要性，深入探究知识的本质。
2.厚积而薄发，发展深度课堂
教师在领会知识的内涵后，才能更好地梳理教学体系，把教材中零碎的数学知识进行归类，明确知识在体系中的地位，分析不同学段的教学要求，确定每节课的具体目标，并且落实到位。
教师用数学的魅力，轻轻地打开学生心灵的窗户，让学生可以洞察这门学科的奥秘。这一切，正是因为教师有了知识“博观”——对文本的多角度理解，课前“厚积”——能在不断变化的课堂情境中以不同的教法解读教材，学生才能自然地理解数学知识，感受数学思想方法，走向有深度的课堂。
综上所述，一名优秀教师的成长不是靠华丽的教学设计，而是得益于他们对教材的深刻解读。我们想要教得清楚，想要学生学得到位，就要在尊重与学习教材的基础上深入理解教材，弄清教材内容前后的联系，领会教材中每一个知识点呈现的意图，使学生获得更深、更广、更高效的知识。
（责编 金 铃）